關于一類熱傳導方程的間斷擴散系數(shù)的穩(wěn)定方法

曾 劍,劉 云,甄葦葦

(蘭州交通大學 數(shù)理學院,甘肅 蘭州 730070)

關于一類熱傳導方程的間斷擴散系數(shù)的穩(wěn)定方法

曾 劍,劉 云,甄葦葦

(蘭州交通大學 數(shù)理學院,甘肅 蘭州 730070)

考慮了一類利用終端觀測值反演熱傳導方程中間斷擴散系數(shù)的反問題, 此類問題無論是在理論討論還是在實際應用中都有極其重要的研究意義。相較于擴散系數(shù)連續(xù)的文獻, 間斷的情形鮮有文獻涉足,由于控制泛函非凸,一般來說沒有唯一性,在假設T比較小的情況下,證明了極小元的唯一性和穩(wěn)定性。

熱傳導方程;間斷擴散系數(shù);非凸;穩(wěn)定性;唯一性

通常擴散系數(shù)可作為表征擴散的一個參量，它不僅與擴散機構(gòu)也與擴散介質(zhì)和外部條件有關。在許多實際問題中,擴散物質(zhì)可以在多種介質(zhì)中傳播,擴散系數(shù)在介質(zhì)交界面處是不連續(xù)的。

本文考慮一類特殊的擴散系數(shù)的反問題,這里的擴散系數(shù)可能是間斷的。具體的數(shù)學模型如下:

(1)

其中：f和φ是兩個給定的光滑函數(shù)且滿足如下條件

(2)

在a>0的情況下,假設φ(x)一致滿足齊次Neumann邊界條件。

函數(shù)a(x)在x=ε上有第一類間斷點,即a(ε+0)=a(ε-0)。在間斷線上滿足如下的聯(lián)結(jié)條件

(3)

假設給定如下的附加條件：

(4)

其中：g(x)是一個已知函數(shù)。利用條件(1)/條件(4)來同時確定u和a。

鑒于不適定問題的研究是偏微分方程的一個重要分支[1-2]。許多學者針對類似于條件(1)/條件(3)的問題求解做了大量的研究工作[3-8],該問題的難度在于擴散系數(shù)的不連續(xù)和問題的不適定。文獻[3-4]中作者運用最優(yōu)控制理論框架反演了方程ut-a(x)uxx+b(x)ux+c(x)u=f(x,t),(x,t)∈Q中的首項系數(shù)a(x)。而對于反演方程中源項f=f(x)的情況可參見文獻[5]。文獻[6]利用觀測數(shù)據(jù)從數(shù)值計算的角度對拋物型方程中未知源項的反演問題做了研究。文獻[8]研究了一類時間分數(shù)階擴散方程的源項反演問題。

目前,國內(nèi)外對一般拋物型方程的系數(shù)反演問題的研究成果已經(jīng)很多[3-8],但是對拋物型方程的間斷系數(shù)識別問題還很少。主要難點在于問題的強不適定性(定解數(shù)據(jù)的微小變化將導致解的巨大變化),完全非線性性(盡管本文的方程是線性的,但反問題是完全非線性的)以及系數(shù)的間斷性。由于附加數(shù)據(jù)偏少,很難得到最優(yōu)解的唯一性。本文利用Tikhonov正則化方法,在優(yōu)化理論的基礎上將一個強不適定問題轉(zhuǎn)化為一個適定問題,然后證明了極小元的存在性、唯一性和穩(wěn)定性。

1 最優(yōu)化問題

由于問題是嚴重不適定的,故將原系數(shù)反演問題轉(zhuǎn)化為如下的一個優(yōu)化控制問題。

(5)

其中

(6)

(7)

u(x,t;a)是對應于任意給定的系數(shù)a(x)∈Α,方程(1)的解;N是正則化參數(shù),α、β是兩個給定的正數(shù)。

首先,對正問題做一些討論。

(8)

引理1.1[9]當u(x,t)是方程(8)的解且a(x)∈A是一個給定的函數(shù)時,對u(x,t)有如下的估計:

其中C是常數(shù)。

另外,要求觀測數(shù)據(jù)g(x)滿足

g(x)∈L2(0,l)。

(9)

顯然,由條件(9)及引理1.1可知,對任意的a∈A,控制泛函(6)是適定的。

2 存在性

3 必要條件

定理3.1 令a是最優(yōu)控制問題(5)的極小元,則存在三元函數(shù)組(u,v;a)滿足下面條件：

(10)

(11)

且

(12)

對任意h∈A都成立。

4 局部唯一性與穩(wěn)定性

由于最優(yōu)控制問題P1是非凸的,一般地,無法得到它的唯一解。但是,在本節(jié)中證明了當T相對較小時,極小元具有局部唯一性和局部穩(wěn)定性。

引理4.1[9]對方程(10)有如下估計式:

引理4.2[9]對方程(11)有如下估計式:

引理4.3[7]對任意有界連續(xù)函數(shù)k(x)∈C(0,l),有

其中x0是(0,l)中的一個固定點。

令u1-u2=U,v1-v2=V,a1-a2=I。則U和V滿足

(13)

(14)

引理4.4 對方程(13)有如下的估計式成立：

(15)

這里C與T無關。

證明: 由方程(13),當0

(16)

分部積分,得到

(17)

即

(18)

這里用到了聯(lián)結(jié)條件和邊界條件。

由Gronwall不等式及式(18),得到

引理4.4證畢。

引理4.5 對方程(14)有如下估計式

(19)

這里C與T無關。

(引理4.5的證明與引理4.4的證明過程類似,此處略。)

證明:在式(12)中,當a=a1時取h=a2,而當a=a2時取h=a1,于是有

(20)

(21)

由式(20)及式(21)可得

(22)

由定理的假設知存在一點x0∈(0,l)使得

I(x0)=a1(x0)-a2(x0)=0。

(23)

由引理4.3及式(23)有

(24)

由式(22)、式(24)及cauchy不等式,并利用估計式(15)和式(19),有

由引理4.1和引理4.2得

(26)

由式(23)～式(26)有

(27)

選擇T<<1使得

(28)

聯(lián)立式(27)和式(28)可得

定理4.1證畢。

[1] 姜禮尚,陳亞浙.數(shù)學物理方程講義[M].3版.北京:高等教育出版社,2006:108-158.

[2] 劉繼軍.不適定問題的正則化方法及應用[M].北京:科學出版社,2005:51-55.

[3]JiangLS,ChenQH,WangLJ.Anewwell-posedalgorithmtorecoverimpliedlocalvolatility[J].QuantitativeFinance,2003,3(6):451-457.

[4]JiangLS,TaoYS.Identifyingthevolatilityofunderlyingassetsfromoptionprices[J].InverseProblems,2001,17(1):137-155.

[5]YangL,DengZC,YuJN.Optimizationmethodfortheinverseproblemofreconstructingthesourceterminaparabolicequation[J].MathComputSimul,2009,80(2):314-326.

[6]YangL,DehghanM,YuJN.Inverseprobemoftime-dependentheatsourcesnumericalreconstruction[J].MathComputSimul,2011,81(8):1656-1672.

[7]DengZC,YangL.Aninverseproblemofidentifyingtheradiativecoefficientinadegenerateparabolicequation[J].ChineseAnnalsMath,2014,35B(3):355-382.

[8]YangF,FuCL.Amollificationregularizationmethodfortheinversespatial-dependentheatsourceproblem[J].JComputApplMath,2014,255(2):555-567.

[9]FriedmanA.PartialDifferentialEquationsofParabolicType[M].NewJersey:Prentice-Hall,1964:11-26.

Stable Method for Discontinuous Diffusion Coefficient in Class of Heat Conduction Equations

ZENGJian,LIUYun,ZHENWeiwei

(LanzhouJiaotongUniversity,LanZhou730070,China)

Thispaperstudiesaninverseproblemofidentifyingthediscontinuousdiffusioncoefficientinaclassofheatconductionequationsfromthefinalobservation,whichisofgreatsignificancebothintheoryandpractice.Beingdifferentfromordinarycontinuousdiffusioncoefficientproblems,documentsconcernedthediscontinuouscaseareratherfew.Sincethecontrolfunctionalisnon-convex,theuniquenessoftheoptimalsolutioncannotbeguaranteed.AssumingthatTisrelativelysmall,itisprovedthattheminizerisuniqueandstable.

heatconductionequations;discontinuousdiffusioncoefficient;non-convex;stability;uniqueness

2016-11-01

曾劍(1991-),男,貴州畢節(jié)人,在讀碩士研究生,主要從事數(shù)學物理反問題方面的研究.

國家自然科學基金(11461039)

10.3969/i.issn.1674-5403.2017.01.021

O

A

1674-5403(2017)01-0080-04