關(guān)于Pell方程x2-18y2=1與y2-Pz2=16公解的研究

趙 建 紅

(麗江師范高等專科學校數(shù)學與計算機科學系，云南 麗江 674199)

關(guān)于Pell方程x2-18y2=1與y2-Pz2=16公解的研究

趙 建 紅

(麗江師范高等?？茖W校數(shù)學與計算機科學系，云南 麗江 674199)

目的 Pell方程的公解是數(shù)論中的一個重要問題。設(shè)P=2p1…ps(1≤s≤4)，p1,…,ps(1≤s≤4)是互異的奇素數(shù)，關(guān)于Pell方程組x2-18y2=1與y2-Pz2=16的整數(shù)解的初等解法至今仍未解決。方法 主要利用同余的性質(zhì)、Pell方程解的性質(zhì)和遞歸序列等方法。結(jié)果 得出Pell方程組x2-18y2=1與y2-Pz2=16僅當D=2×577時有非平凡公解(x,y,z)=(±19601,±4620,±136)。結(jié)論 推進了該類Pell方程組整數(shù)解的研究。

Pell方程；公解；整數(shù)解；同余；遞歸序列

Pell方程

x2-D1y2=m(D1∈Z+,m∈Z)與y2-D2z2=m(D2∈Z+,m∈Z)

(1)

是一類重要的方程，其公解問題一直受到數(shù)論愛好者的關(guān)注。目前主要結(jié)論集中在m=1，n=1及m=1，n=4，具體詳見文獻[1～8]。

m=1,n=16時Pell方程(1)成為：

x2-D1y2=1與y2-D2z2=16

(2)

關(guān)于Pell方程(2)的公解的情況，目前無相關(guān)結(jié)果。本文主要討論D1=5，D2為偶數(shù)時Pell方程(2)的公解的情況,

即方程

x2-18y2=1 與y2-D2z2=16

(3)

公解的情況。

1 關(guān)鍵性引理

引理2[10]當a>0且是一個平方數(shù)時，方程ax4-by2=1至多只有一組正整數(shù)解。

引理3[11]若D是一個非平方的正整數(shù)，則方程x2-Dy4=1至多有1組正整數(shù)解(x,y)，而且方程恰有2組正整數(shù)解的充要條件是D=1785或D=28560或2x0和y0都是平方數(shù)，這里的(x0,y0)是方程x2-Dy2=1的基本解。

證明 設(shè)(xn,yn),n∈Z是Pell方程x2-18y2=1的整數(shù)解，若xn=a2，代入方程x2-18y2=1得a4-18y2=1。由引理1知，方程a4-18y2=1僅有平凡解(a,y)=(±1，0)，此時xn=1，從而n=0；反之，顯然。

2 定理及證明

定理 設(shè)P=2p1…ps(1≤s≤4)，p1,…,ps(1≤s≤4)是互異的奇素數(shù)，

則Pell方程

x2-18y2=1與y2-Pz2=16

(4)

當D=2×577時有非平凡公解(x,y,z)=(±19601,±4620,±136)和平凡公解(x,y,z)=(±17,±4,0)；當D≠2×577時僅有平凡公解(x,y,z)=(±17,±4,0)。

即

(5)

由(4)式得

Pz2=ym+1ym-1

(6)

設(shè)(x1,y1)為Pell方程x2-18y2=1的基本解，則有(x1,y1)=(17,4)，故Pell方程x2-18y2=1的全部整數(shù)解為：

容易驗證以下性質(zhì)成立：

(Ⅰ)xn≡1(mod2)，x2n≡±1(mod17) ，x2n+1≡0(mod17)；

(Ⅱ)y2n+1≡4(mod)，y2n≡0(mod17),y2n+1≡±4(mod17)；

(Ⅲ)gcd(xn,yn)=1，gcd(xn,xn+1)=1,gcd(yn,yn+1)=4；

(Ⅳ)gcd(x2n,y2n+1)=gcd(x2n+2,y2n+1)=1，gcd(x2n+1,y2n)=gcd(x2n+1,y2n+2)=17；

(Ⅴ)xn+2=34xn+1-xn,x0=1,x1=17；yn+2=34yn+1-yn,y0=0,y1=4。

情形1m為偶數(shù)

則(6)式為

(7)

(7)式右邊為平方數(shù)的奇數(shù)倍。又P=2p1…ps(1≤s≤4)，p1,…,ps(1≤s≤4)是互異的奇素數(shù)，則(7)式左邊為平方數(shù)的偶數(shù)倍，顯然矛盾，故(7)式不成立，此時Pell方程(4)無公解。

情形2m為奇數(shù)

令m=2k+1，K∈Z則(7)式為

Pz2=y2ky2(k+1)

(8)

由y2k=2xkyk，y2(k+1)=2xk+1yk+1知，

(8)式可化為

Pz2=4xk+1yk+1xkyk

(9)

情形2.1k為偶數(shù)

令k=2l，l∈Z,此時(9)式為

Pz2=4x2l+1y2l+1x2ly2l

(10)

由y2l=2xlyl知，(10)式可化為

Pz2=8x2l+1y2l+1x2lxlyl

(11)

即

(12)

l=1時，由(Ⅴ)式知，(11)式為Pz2=8x1x2x3y1y3=8×4×17×577×4620×19601=27×5×7×11×172×577×1153，則P=2×3×5×7×11×577×1153，z=8×17，與“P=2p1…ps(1≤s≤4)，p1,…,ps(1≤s≤4)是互異的奇素數(shù)”相矛盾，故此時方程(11)無整數(shù)解，因此Pell方程(4)無公解。

情形2.2 為奇數(shù)

仿情形2.1的證明可知此情形Pell方程(4)僅有平凡公解(x,y,z)=(±17,±4,0)。

綜上所述，定理得證。

[1]Ljunggren W.Littom Simultane Pellske Ligninger[J].Norsk Mat Tidsskr,1941,(23):132-138.

[2]胡永忠,韓清.也談不定方程組x2-2y2=1與y2-Dz2=4[J].華中師范大學學報：自然科學版,2002,36(01)：17-19.

[3]管訓貴.關(guān)于Pell方程x2-2y2=1與y2-Dz2=4的公解[J].華中師范大學學報：自然科學版,2012,46(03)：267-269+278.

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[6]杜先存,李玉龍．關(guān)于不定方程x2-6y2=1與y2-Dz2=4的公解[J]．安徽大學學報：自然科學版,2015,39(06)：19-22.

[7]過靜，杜先存．關(guān)于不定方程x2-12y2=1與y2-Dz2=4的解[J]．數(shù)學的實踐與認識，2015,45(09)：289-293.

[8]過靜,杜先存．關(guān)于Pell方程x2-30y2=1與y2-Dz2=4的公解[J]．數(shù)學的實踐與認識，2015,45(01)：309-314.

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[11]Walsh G．A note on a theorem of Ljunggren and the Diophantine equationsx2-kxy2+y4=1 orx2-kxy2+y4=4 [J]．Arch Math,1999,73(2)：501-514．

[責任編輯：關(guān)金玉 英文編輯：劉彥哲]

Common Solution to Pell Equationsx2-18y2=1 andy2-Pz2=16

ZHAO Jian-hong

(Department of Mathematics and Computer Science,Lijiang Teachers College,Lijiang,Yunnan 330013,China)

Objective The common solution to Pell equations is a very important problem of Number theory.LetP=2p1…ps(1≤s≤4)，whereps(1≤s≤4) are distinct odd primes,the common solution to Pell equations ofx2-18y2=1 andy2-Pz2=16 still remains unresolved.Methods Congruence,some properties of the solutions to Pell equation and recursive sequence were used.Result The Pell equations in the title have two nontrival common solutions only whenD=2×577.Conclusion These results promote the study of the kind of Pell equations.

Pell equation;common solution;integer solution;congruence;recursive sequence

云南省教育廳科研基金項目(2014Y462)；紅河學院校級課題(XJ15Y22)

趙建紅(1981-)，男，云南巍山人，副教授，碩士，研究方向：數(shù)學教育及數(shù)論。

O 156.1

A

10.3969/j.issn.1673-1492.2017.01.001

來稿日期：2016.06.20