從“向量”內(nèi)容談高中大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)銜接

劉欣欣，蘇 麗

（大連科技學(xué)院，遼寧 大連 116000）

從“向量”內(nèi)容談高中大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)銜接

劉欣欣，蘇 麗

（大連科技學(xué)院，遼寧 大連 116000）

本文以“向量”內(nèi)容為例，將高中數(shù)學(xué)教材與大學(xué)數(shù)學(xué)教材的知識點行歸納分析，并針對兩種教材中出現(xiàn)的重復(fù)、說法不一致及大學(xué)教材獨有的內(nèi)容提出教學(xué)建議，并對整個高中和大學(xué)數(shù)學(xué)教材內(nèi)容以及教學(xué)方法的銜接問題上提出解決的辦法，以供大學(xué)數(shù)學(xué)教師和教學(xué)管理者參考.

向量；高中；大學(xué)；銜接

高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)在內(nèi)容和思想方法上有很大的區(qū)別，比方說：高等數(shù)學(xué)研究的對象是變量，而初等數(shù)學(xué)研究的對象是不變的量；高等數(shù)學(xué)中的函數(shù)除了一元函數(shù)還有多元函數(shù)，而初等數(shù)學(xué)只研究一元函數(shù)；高等數(shù)學(xué)處處體現(xiàn)著極限的思想方法，而初等數(shù)學(xué)卻很少使用這種思想方法.

但是具體到大學(xué)數(shù)學(xué)教材和高中數(shù)學(xué)教材，卻有相當(dāng)部分的重復(fù)和前后說法不一致的現(xiàn)象.比方說在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》實施后，高中數(shù)學(xué)教材的內(nèi)容增加了微積分初步、算法初步、概率、簡單邏輯、統(tǒng)計等.其中由于導(dǎo)數(shù)和積分被大量引入到高中教材，使得大學(xué)數(shù)學(xué)“微積分”部分近五分之一的內(nèi)容都在高中講過，于是有很多人批判大學(xué)老師不了解中學(xué)教材，說大學(xué)老師在這部分的處理上“一帶而過”或是“二次講授”.其實大學(xué)數(shù)學(xué)教師在面對這一情況時很為難：如果把重復(fù)的部分重新講一遍，學(xué)生就會認(rèn)為大學(xué)數(shù)學(xué)只不過是高中內(nèi)容的重復(fù)，學(xué)生的求知欲受到嚴(yán)重打擊，于是在聽課時積極性不高、對重復(fù)部分中需要重點掌握的核心知識一知半解；教師如果將重復(fù)的部分一帶而過，又有很多高中數(shù)學(xué)知識不扎實的學(xué)生聽不懂、跟不上課堂節(jié)奏，出現(xiàn)高中和大學(xué)知識的銜接空擋.這種現(xiàn)象在經(jīng)濟管理專業(yè)表現(xiàn)更為明顯，因為這一專業(yè)在招生時是文理兼收的，學(xué)生在數(shù)學(xué)水平上有很大的差異，所以在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上兩極分化的現(xiàn)象非常突出.

因此，如何在教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法上和諧地處理高中和大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接，是大學(xué)數(shù)學(xué)教師需要思考和研究的問題，本文將以人民教育出版社出版的《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)4必修（B版）》（2007年4月第二版）和高等教育出版社出版、同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系編寫的《高等數(shù)學(xué)》（2007年4月第六版）為研究依據(jù)，以“向量”內(nèi)容為例，將高中數(shù)學(xué)教材與大學(xué)數(shù)學(xué)教材的知識點行歸納分析，并針對兩種教材中重復(fù)、說法不一致以及大學(xué)教材獨有的內(nèi)容提出教學(xué)建議，并對整個高中和大學(xué)數(shù)學(xué)教材內(nèi)容以及教學(xué)方法的銜接問題上提出解決的辦法，以供大學(xué)數(shù)學(xué)教師和教學(xué)管理者參考.

1 存在的具體問題及建議

1.1 向量的概念

高中和大學(xué)教材在開篇都介紹了自然界中的兩種量：數(shù)量和向量，并都用物理學(xué)中的概念“位移”來引入“向量”這種“既有大小、又有方向的量”.接下來又都對于“向量的表示”、“自由向量”、“向量的相等”、“向量的?！?、“單位向量”、“零向量”、“向量的夾角”、“向量的垂直”以及“向量的平行”加以定義.

可以發(fā)現(xiàn)，在“向量的概念”這一內(nèi)容上，兩種教材基本是重復(fù)的，建議大學(xué)教師在講述這些內(nèi)容時，可以引導(dǎo)學(xué)生回憶高中的知識，教師對學(xué)生遺漏或者說錯的地方進行補充和強調(diào)，將關(guān)鍵的知識點在黑板板書，這樣不但會讓以前基礎(chǔ)不好的學(xué)生重新系統(tǒng)地學(xué)習(xí)，也會讓基礎(chǔ)好的同學(xué)積極參與到課堂討論中.

1.2 向量的加減法

“向量的加法”內(nèi)容上，高中和大學(xué)教材都詳細(xì)介紹了向量運算的“三角形法則”和“平行四邊形法則”以及“向量加法的運算律（交換律和結(jié)合律）”.

“向量的減法”內(nèi)容上，高中和大學(xué)教材都介紹

1.3 數(shù)與向量的乘法

1.4 向量的坐標(biāo)

高中教材首先定義了“軸上向量的坐標(biāo)”，指出“軸上任意向量，一定存在唯一實數(shù)x使，并定義“叫做軸的基向量”和“x叫做在軸上的坐標(biāo)”.然后又定義了“平面上向量的坐標(biāo)”：“如果和是一平面內(nèi)的兩個不平行的向量，那么該平面內(nèi)的任一向量，存在唯一的一對實數(shù)a1和a2，使，且稱不共線向量叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記作.最后，定義“向量的直角坐標(biāo)”：“如果基底的兩個基向量互相垂直，則稱這個基底為正交基底”，和“在正交基底下分解向量叫做正交分解”，以及“在直角坐標(biāo)系xoy內(nèi)分別取與x軸和y軸方向相同的兩個單位向量建立正交基底，”從而“在坐標(biāo)平面xoy內(nèi)，任作一向量，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(a1,a2)，使就是向量在基底下的坐標(biāo)，即.”可以看出，高中教材用循序漸進的方式給出“向量坐標(biāo)的定義”，并反復(fù)提到“基向量”、“基底”等概念.

大學(xué)教材也是采取類似的思路，首先定義“軸上點P的坐標(biāo)為x的充分必要條件是（其中是數(shù)軸ox上的單位向量）.接著在空間直角坐標(biāo)系中設(shè)，并由定義“向量r的坐標(biāo)分解式進而定義“有序數(shù)x、y、z為向量r在坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)，記作”.可以看出，大學(xué)教材從軸上的向量坐標(biāo)直接過渡到了空間中向量的坐標(biāo)，中間沒有介紹“平面上向量的坐標(biāo)”，而且只是說是ox、oy、oz軸上的單位向量，并沒有提到“基向量、基底”這些概念，且大學(xué)公共數(shù)學(xué)課直到《線性代數(shù)》這門課才提到了“基”，且是“n維線性空間的一組基”這一復(fù)雜的概念.

從高中和大學(xué)教材對向量坐標(biāo)的處理方式可以看出高中在這一部分內(nèi)容講得比較復(fù)雜而大學(xué)教材講得比較通俗易懂，另外學(xué)生會發(fā)現(xiàn)到在中學(xué)向量坐標(biāo)中一直提到的概念“基”在大學(xué)突然不見了，再次遇到“基”的時候，這一概念已經(jīng)變得相當(dāng)復(fù)雜了.教材內(nèi)容的突然斷層，讓學(xué)生很難將前后知識很好地貫穿到一起，在目前高中和大學(xué)教材還沒有改版的情況下，建議大學(xué)教師在處理這一內(nèi)容時，捎帶提一下高中時學(xué)過的“基”的概念，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容保持一致性.

1.5 兩向量的內(nèi)積和外積

兩向量的內(nèi)積在高中教材里也有，而外積則是大學(xué)數(shù)學(xué)才講的內(nèi)容，這兩種向量的乘積在本質(zhì)上完全不一樣，但是又有很多內(nèi)容可以進行對比，所以建議講授此部分內(nèi)容時，把兩向量的內(nèi)積和外積放在一起對比講授.例如，介紹內(nèi)積的概念時，教師會講到：內(nèi)積又稱作“數(shù)量積”、“點乘”，此時馬上介紹外積又稱作“向量積”、“叉乘”，并及時將兩種符號進行板書，學(xué)生會對這兩種向量的乘積符號印象非常深刻，一下子就理解了“點乘”和“叉乘”這兩個概念的差別，并且由“數(shù)量積”和“向量積”這兩個詞的差別記住了的結(jié)果是一個數(shù)，而的結(jié)果是一個向量.教師這個時候可以強調(diào)，雖然在中學(xué)時“·”和“×”的差別大，但是在大學(xué)數(shù)學(xué)中卻“失之毫厘謬以千里”.

2 解決的辦法

從“向量”內(nèi)容的高中和大學(xué)教材比較來看，這兩種教材在此部分內(nèi)容的銜接方面存在著很多值得改進的地方，“管中窺豹”可見整個高中和大學(xué)數(shù)學(xué)的銜接上一定有很多問題急需解決，針對這些問題，筆者提出如下一些解決辦法：

2.1 學(xué)校應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的具體情況進行班級編排

大學(xué)的數(shù)學(xué)課堂很多都是大班授課，經(jīng)常有不同專業(yè)的學(xué)生被編入了一個教學(xué)班，比如經(jīng)濟管理類有的專業(yè)招生時只招理科，而有的專業(yè)絕大多數(shù)都是文科生，而教務(wù)排課人員在排課時只注意到了這些專業(yè)學(xué)的都是同一層次的高等數(shù)學(xué)課，于是就把這兩種專業(yè)的學(xué)生編排到了一個教學(xué)班，這樣就導(dǎo)致了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不一樣的文科生和理科生混在了一起，教師在上課時沒有辦法兼顧兩種學(xué)生.

建議學(xué)校在給學(xué)生排課時，要了解當(dāng)年學(xué)校的具體招生情況，盡量把招文科生的專業(yè)和招理科生的專業(yè)編排在不同的教學(xué)班，讓同一個教學(xué)班學(xué)生的數(shù)學(xué)水平基本相當(dāng)，這樣教師在上課時可以針對不同水平的學(xué)生做到有的放矢.

2.2 教師應(yīng)充分了解學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，對不同基礎(chǔ)的學(xué)生采取不同的教學(xué)手段

教師在課前可以通過談話等方式對本教學(xué)班的學(xué)生情況進行了解，對于招文科生的專業(yè)可以針對文科生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差的特點補充他們在高中時缺失的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，課堂上以教師為主導(dǎo)做到精講多練，讓文科生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)盡快提高.對于招理科生的專業(yè)可以偶爾采取“翻轉(zhuǎn)課堂”的方式，對高中和大學(xué)內(nèi)容重復(fù)的部分讓學(xué)生來講，老師適時地進行解釋和補充，并對以后要用到的知識點加以重點強調(diào)，并且在每堂課的結(jié)尾提出思考題讓學(xué)生查閱資料，讓學(xué)生了解到以前在高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識雖然跟大學(xué)有重復(fù)，但是大學(xué)數(shù)學(xué)研究的角度以及可以用來解決的問題卻跟高中不一樣，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、拓寬學(xué)生的眼界.

2.3 注重數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用

現(xiàn)在很多高校都開始注意到Matlab、Mathematica、Maple等數(shù)學(xué)軟件在學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時所起的作用，許多高等數(shù)學(xué)教材也配備相關(guān)的“數(shù)學(xué)實驗”內(nèi)容，如普通高等教育“十二五”規(guī)劃教材——池春姬、郭山主編，由中國傳媒大學(xué)出版社出版的《經(jīng)濟應(yīng)用數(shù)學(xué)（微積分）》，就大量加入了Matlab數(shù)學(xué)實驗，這些數(shù)學(xué)實驗的引入，為學(xué)生提供了直觀的感受，讓學(xué)生學(xué)會利用計算機和數(shù)學(xué)軟件深刻理解數(shù)學(xué)知識，引導(dǎo)學(xué)生積極主動地利用現(xiàn)代信息技術(shù)解決數(shù)學(xué)問題.

〔1〕同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第六版）下冊[M].北京：高等教育出版社,2007.6.

〔2〕人民教育出版社課程教材研究所中學(xué)數(shù)學(xué)教材實驗研究組.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)4必修 （B版）[M].北京：人民教育出版社, 2007.4.

〔3〕池春姬,郭山.經(jīng)濟應(yīng)用數(shù)學(xué)（微積分）(第二版) [M].北京：中國傳媒大學(xué)出版社，2015.7.

O1-4

：A

：1673-260X（2017）05-0017-03

2017-02-23

2012年度遼寧省高等學(xué)?？茖W(xué)研究一般項目（W2012279）