底錐張角對(duì)陀螺轉(zhuǎn)動(dòng)穩(wěn)定性的影響

余小英，李凡生，周采宜

（1.廣西民族師范學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，廣西 崇左532200；2.廣西師范大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，廣西 桂林 541004）

打陀螺運(yùn)動(dòng)是一項(xiàng)少數(shù)民族傳統(tǒng)體育運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目。陀螺的樣式五花八門，圖1所示的平頭陀螺為少數(shù)民族傳統(tǒng)體育運(yùn)動(dòng)會(huì)比賽用陀。對(duì)打陀螺運(yùn)動(dòng)的研究主要是從體育學(xué)的角度研究打陀螺技術(shù)的特點(diǎn)和分析陀螺技術(shù)的動(dòng)作結(jié)構(gòu)［1-3］，也有學(xué)者在其文化作用和健身作用方面做研究［4-5］。從物理學(xué)角度研究探討陀螺，主要集中在陀螺儀方面，如微機(jī)械陀螺儀［6］、光纖陀螺儀［7］和振動(dòng)陀螺儀［8］。

圖1 平頭陀螺

打陀螺比賽中的防守和進(jìn)攻姿勢(shì)繁多，技術(shù)的運(yùn)用五花八門，但不管是何種技術(shù)的運(yùn)用都離不開陀螺的本質(zhì)——旋轉(zhuǎn)時(shí)間長(zhǎng)和打得準(zhǔn)。其中陀螺的旋轉(zhuǎn)時(shí)間取決于陀螺轉(zhuǎn)動(dòng)的初速度。陀螺在旋轉(zhuǎn)的時(shí)候，不但圍繞本身的軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，而且還圍繞一個(gè)垂直軸作錐形運(yùn)動(dòng)。也就是說，陀螺一面圍繞本身的軸線作“自轉(zhuǎn)”，一面圍繞垂直軸作“公轉(zhuǎn)”。陀螺圍繞自身軸線作“自轉(zhuǎn)”運(yùn)動(dòng)速度的快慢，決定著陀螺擺動(dòng)角的大小。轉(zhuǎn)得越慢，擺動(dòng)角越大，穩(wěn)定性越差；轉(zhuǎn)得越快，擺動(dòng)角越小，因而穩(wěn)定性也就越好。但在實(shí)際的打陀螺運(yùn)動(dòng)中，陀螺在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中要克服與地面之間的摩擦力做功。陀螺轉(zhuǎn)動(dòng)的初動(dòng)能為為陀螺的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，轉(zhuǎn)動(dòng)的初始角速度。在具有相同的轉(zhuǎn)動(dòng)初動(dòng)能和相同的地面狀況下，底錐張角對(duì)陀螺的穩(wěn)定性是否有影響？采用極限法來思考：陀螺正常時(shí)是可以靠慣性轉(zhuǎn)動(dòng)，因?yàn)橥勇菁舛私佑|地面幾乎為一個(gè)點(diǎn)，阻力作用效果很小，需要較長(zhǎng)時(shí)間才能停下來；陀螺倒過來，底錐朝上，阻力作用效果很明顯，幾乎不可能靠慣性繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)。這一上一下的區(qū)別就在于陀螺的底錐張角不同，是否有一個(gè)合適的角度，使得陀螺轉(zhuǎn)動(dòng)最穩(wěn)定？筆者帶著這個(gè)疑問，通過制作不同規(guī)格的陀螺及其轉(zhuǎn)速控制裝置，研究底錐張角對(duì)陀螺轉(zhuǎn)動(dòng)穩(wěn)定性的影響。

1 陀螺及其轉(zhuǎn)速控制裝置的設(shè)計(jì)與制作

1.1 陀螺的制作

1.1.1 制作材料與用具

制作陀螺的材料是半徑不同的圓柱狀尼龍棒和鐵釘以及鐵板，使用到的工具有機(jī)床、臺(tái)鉆、打磨儀、量角器、電子秤、直尺、游標(biāo)卡尺和螺絲批。常見的陀螺通常是木質(zhì)的，筆者采用尼龍棒作為材料，主要是尼龍棒有比較規(guī)則的形狀且在加工的過程中不易出現(xiàn)開裂的情況。

1.1.2 制作過程

為了探究影響陀螺底錐張角對(duì)陀螺旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定的影響，設(shè)計(jì)了制作質(zhì)量相同但底錐張角不同的陀螺，陀螺底錐張角設(shè)計(jì)的角度范圍是50°～140°，角度間隔 10°。

陀螺的制作過程：1.利用電子秤、直尺和游標(biāo)卡尺等工具測(cè)量出尼龍棒的密度備用；2.切出7cm長(zhǎng)的尼龍棒，在機(jī)床上設(shè)定底錐張角的角度，把尼龍棒放在機(jī)床上制作底錐張角為50°～140°的陀螺；3.設(shè)定陀螺質(zhì)量，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)值切割掉多余的質(zhì)量，切割出相同質(zhì)量的尼龍棒（計(jì)算切割質(zhì)量的方法，利用步驟1計(jì)算出的密度來求取切割長(zhǎng)度）。

為了方便研究，筆者用同一尼龍棒制作質(zhì)量相同而底錐張角不同的陀螺。為了避免陀螺底錐尖端過快磨損，在陀螺底錐用臺(tái)鉆打了一個(gè)小孔，然后再旋入小陀釘。因?yàn)榭刂仆勇菪D(zhuǎn)的初速度的系統(tǒng)是利用電磁鐵吸附陀螺旋的，所以還必須在陀螺的頂部安裝一塊與陀身半徑相同的鐵塊（如圖2所示）。最后加工出來的陀螺如圖3所示。

圖2 實(shí)驗(yàn)陀螺示意圖

圖3 陀螺成品

1.2 陀螺轉(zhuǎn)速控制裝置的設(shè)計(jì)與制作

研究不同底錐張角對(duì)陀螺穩(wěn)定性的影響，就要對(duì)陀螺的初始轉(zhuǎn)動(dòng)速度進(jìn)行控制。筆者設(shè)計(jì)并制作了如圖4（a）所示陀螺轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)裝置，它的主要部分是電磁鐵，通電給電磁鐵就可以把帶有鐵塊的陀螺吸住，由電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)電磁鐵旋轉(zhuǎn)，電磁鐵斷電后即可釋放陀螺。

裝置實(shí)物如圖4（b）所示，裝置構(gòu)成包括一個(gè)280w的可調(diào)轉(zhuǎn)速的電動(dòng)機(jī)、2個(gè)皮帶輪、1根皮帶、14V的電磁鐵、可調(diào)學(xué)生電源、2個(gè)相同同的軸承、2個(gè)大小相同的軸承座、1根長(zhǎng)度為50cm軸（塑料水管）、支架（由1.2m的槽鋼2根、60cm的槽鋼2根和50cm槽鋼2根焊接而成）和HT-4200型非接觸式數(shù)字手持式轉(zhuǎn)速表。若干螺母組裝而成。

圖4 陀螺轉(zhuǎn)速控制裝置

在制作這個(gè)裝置的過程中，電磁鐵的連線是一個(gè)技術(shù)難關(guān)：接在電磁鐵上的導(dǎo)線必須能隨著電磁鐵一起轉(zhuǎn)動(dòng)，但其供電電源卻是固定的，如果直接連線是行不通的，這就需要用電刷。但在實(shí)際制作中，筆者發(fā)現(xiàn)電刷的制作比較麻煩，且容易出現(xiàn)導(dǎo)電不良的現(xiàn)象。

如圖5所示，利用金屬軸承內(nèi)外層實(shí)現(xiàn)電刷功能，電磁鐵的兩個(gè)接線柱分別和兩個(gè)金屬軸承的內(nèi)層相連（轉(zhuǎn)動(dòng)軸是塑料水管制成，連接導(dǎo)線可以從水管內(nèi)穿過），金屬軸承的外層與電磁鐵的電源相連。因?yàn)榻饘佥S承的外層與內(nèi)層接觸是較為緊密的，當(dāng)控制電磁鐵電源通斷就可以控制電磁鐵磁性的有無，從而實(shí)現(xiàn)陀螺的吸附或釋放。這一動(dòng)作不會(huì)受到電磁鐵轉(zhuǎn)動(dòng)的影響。

2 陀螺穩(wěn)定性影響的實(shí)驗(yàn)研究

陀螺圍繞自身軸線作“自轉(zhuǎn)”速度的快慢，決定陀螺穩(wěn)定性，轉(zhuǎn)得越快，穩(wěn)定性越好。陀螺轉(zhuǎn)動(dòng)的能量損失主要用來克服摩擦力做功，能量損失越多，轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間越短，因此，可以通過比較相同情況下陀螺的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間來比較其穩(wěn)定性。為了方便比較，筆者選用旋轉(zhuǎn)半徑相同，不同底錐張角的陀螺來進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。陀螺質(zhì)量為190g，鐵塊的質(zhì)量為86.2g，半徑為3.1cm。

由圖2可知，陀螺可以分為鐵塊、陀身和底錐三部分，則整體的陀螺等于這三部分對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和，由理論公式知：

鐵塊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

陀身的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

底錐的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

則

其中，R為鐵塊、陀身和底錐的半徑，ρ為尼龍棒的密度，h2和h3為陀身和底錐的高度，將上文陀螺制作過程中實(shí)驗(yàn)步驟1得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)代入以上各式可算得各個(gè)陀螺的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，具體數(shù)據(jù)如表1。

表1 質(zhì)量相同底錐張角不同陀螺的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

從表1表可知，當(dāng)旋轉(zhuǎn)半徑相同的情況下，質(zhì)量相同而底錐張角不同陀螺的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相差不多。根據(jù)陀螺轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能計(jì)算公式可知，當(dāng)陀螺具有相同的轉(zhuǎn)動(dòng)初速度時(shí)，其轉(zhuǎn)動(dòng)的初動(dòng)能大致相等。因此可以通過研究質(zhì)量相同而底錐張角不同陀螺的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)來研究其穩(wěn)定性。

為了研究底錐張角是否對(duì)陀螺轉(zhuǎn)動(dòng)的穩(wěn)定性有影響，筆者把質(zhì)量均為277.6g角度為50°～140°的陀螺吸附在電磁鐵下面，打開電動(dòng)機(jī)，帶動(dòng)電磁鐵旋轉(zhuǎn)，調(diào)節(jié)電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速，利用HT-4200型非接觸式數(shù)字手持式轉(zhuǎn)速表測(cè)量時(shí)電磁鐵轉(zhuǎn)速，確保陀螺獲得相同的轉(zhuǎn)動(dòng)初速度。待電磁鐵轉(zhuǎn)動(dòng)穩(wěn)定時(shí)，斷開電磁鐵的電源開關(guān)，釋放陀螺。用秒表記錄得各個(gè)陀螺在同一地面的旋轉(zhuǎn)時(shí)間。由實(shí)驗(yàn)得底錐為50°～70°的陀螺獲得相同的初速度時(shí)掉落地面立即倒下，無法旋轉(zhuǎn)，其他底錐張角的陀螺旋轉(zhuǎn)時(shí)間如表2所示。利用測(cè)量數(shù)據(jù)作底錐張角與平均時(shí)間的關(guān)系圖如圖6所示。

從表2和圖6中可以得到這樣的結(jié)論：相同旋轉(zhuǎn)半徑的陀螺的穩(wěn)定性與其底錐張角有關(guān)；在相同的初速度旋轉(zhuǎn)的陀螺，底錐張角與陀螺旋轉(zhuǎn)時(shí)間存在非線性關(guān)系，陀螺的旋轉(zhuǎn)時(shí)間在底錐張角為130°附近取得最大值。

3 研究結(jié)果分析

從所得的數(shù)據(jù)分析可知，底錐張角能影響陀螺的穩(wěn)定性，陀螺底錐張角在130°附近時(shí)陀螺的穩(wěn)定性最佳。在相同的速度旋轉(zhuǎn)和相近的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，陀螺底錐張角的角度越小，陀螺的穩(wěn)定性越弱。造成這一現(xiàn)象的原因是：在質(zhì)量相同的情況下，底錐張角越小的陀螺的重心距離地面越高，底錐張角越大的陀螺的重心距離地面越低，如圖7所示。

表2 質(zhì)量相同底錐張角不同的陀螺旋轉(zhuǎn)時(shí)間陀螺初速度100r/min

圖6 底錐張角——平均時(shí)間關(guān)系圖

圖7 陀螺重心位置示意圖

根據(jù)陀螺運(yùn)動(dòng)原理，當(dāng)其轉(zhuǎn)速不足時(shí)，陀螺將會(huì)出現(xiàn)擺動(dòng)，這時(shí)底錐張角小的陀螺的重力矩大于底錐張角大的陀螺的重力矩，所以底錐張角小的陀螺容易翻倒。而底錐張角過大，陀螺旋轉(zhuǎn)時(shí)間也會(huì)減少，雖然它們的重心距離地面的高度低，重力矩影響較小，但是這個(gè)底錐張角的陀螺，與地面接觸面積大，壓力的作用效果不明顯，陀螺可以在地面四處游動(dòng)，除了要克服轉(zhuǎn)動(dòng)過程中的摩擦力做功之外，還要克服平移時(shí)的摩擦力做功，損耗更多的動(dòng)能，使得陀螺旋轉(zhuǎn)的時(shí)間減少。陀螺的轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，與地面的任意接觸點(diǎn)摩擦力，都可以看作一種滑動(dòng)摩擦。陀螺底錐張角越大，陀螺與地面的接觸面積越大，阻力相對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)中心的力矩越大，陀螺就越難轉(zhuǎn)動(dòng)，且一旦陀螺出現(xiàn)擺動(dòng)，阻力矩的作用就更明顯。這也正是文章前言所述“陀螺倒過來，底錐朝上，陀螺幾乎不可能靠慣性繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)”的原因所在。

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