對(duì)一道解析幾何模擬試題的研究與推廣

姜 文盧焱堯

1.貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(550001)2.貴州省貴陽(yáng)市第二中學(xué)(550001)

對(duì)一道解析幾何模擬試題的研究與推廣

姜 文1,2盧焱堯2

1.貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(550001)2.貴州省貴陽(yáng)市第二中學(xué)(550001)

研究一道模擬試題及解法,并對(duì)其結(jié)果進(jìn)行推廣,形成兩個(gè)定理;在應(yīng)用定理的基礎(chǔ)上對(duì)其作適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換和延伸,得到三個(gè)有用的結(jié)論.研究成果對(duì)解決圓錐曲線的難題起到積極作用.

圓錐曲線 模擬試題 軌跡方程 推廣

一、試題呈現(xiàn)

試題1(四川宜賓2015屆第一次診斷)已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓=1(a＞b＞0),焦距為長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.

圖1

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)如圖1,過(guò)點(diǎn)O(O是橢圓的中心)作兩條互相垂直的射線,與橢圓交于A,B兩點(diǎn).

二、試題研究

就本題第(2)問(wèn)的第①小問(wèn)來(lái)說(shuō),它給我們傳遞兩個(gè)信息：第一,直線AB的自由度很大,只要它與橢圓相交就行,沒(méi)有其它限制條件;第二,只要直線與橢圓的交點(diǎn)A,B滿足OA⊥OB,橢圓的中心O到直線AB的距離就是定值.這就啟示我們思考兩方面的問(wèn)題：其一,若直線與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),且橢圓的中心O到直線AB的距離為定值時(shí),OA和OB有什么關(guān)系?其二,對(duì)于任何一條與橢圓(a＞b＞0)相交的直線l,是否依舊存在上述的關(guān)系?通過(guò)對(duì)這兩個(gè)問(wèn)題的探究,得到以下一般性的結(jié)論,現(xiàn)以定理的形式呈現(xiàn).

三、結(jié)論推廣

定理1 設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn),直線l與橢圓1(a＞b＞0)相交于不同的A,B兩點(diǎn),則OA⊥OB的充要條件是O到直線l的距離為定值

對(duì)于焦點(diǎn)位于y軸的橢圓,結(jié)論是一樣的.

定理2 設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn),直線l與雙曲線1(a＞0,b＞0)相交于不同的A,B兩點(diǎn),則當(dāng)b＞a＞0時(shí), OA⊥OB的充要條件是O到直線l的距離為定值當(dāng)a≥b＞0時(shí),不存在OA⊥OB的可能.

四、應(yīng)用與延伸

以上述結(jié)論為背景命制的高考試題是常見(jiàn)的,如下是眾多試題中的一例：

試題2 (2009年山東卷理科22題)設(shè)橢圓

(1)求橢圓E的方程;

(2)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且若存在,寫出該圓的方程,并求|AB|的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

這是一道典型的圓錐曲線探索性問(wèn)題,難度很大.如果熟悉上述結(jié)論,則會(huì)相對(duì)容易些.事實(shí)上,如果存在滿足條件的圓,則該圓的半徑應(yīng)該等于于是可以類似于定理的證明給出該題（2）的解答.這里給出第(2)問(wèn)第一部分的解答如下：

結(jié)合試題2及其解法,我們不難將上述定理延伸成下面的結(jié)論：

結(jié)論1 設(shè)直線l:y=kx+m與橢圓1(a＞b＞0)相交于不同的A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),當(dāng)OA⊥OB時(shí),作OM⊥AB交AB于M,則點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)以O(shè)為圓心,為半徑的圓.

結(jié)論2 設(shè)直線l:y=kx+m與雙曲線1(b＞a＞0)相交于不同的A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),當(dāng)且OA⊥OB時(shí),作OM⊥AB交AB于M,則點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)以O(shè)為圓心,為半徑的圓.

結(jié)論3 設(shè)直線l:y=kx+m與拋物線y2=2px(p＞0)相交于不同的A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),當(dāng)OA⊥OB時(shí),作OM⊥AB交AB于M,則點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)以(p,0)為圓心,p為半徑的圓(去掉原點(diǎn)O).

以上結(jié)論請(qǐng)讀者自證.

[1]楊文彬主編.高考必刷題合訂本(數(shù)學(xué))[M].北京：外語(yǔ)教學(xué)與研究出版社,2015,