“悟”從“誤”中來

李辰婷

（浙江省義烏市江東中學(xué)）

摘 要：“悟”可以理解為悟性、頓悟，它是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的能力，也是學(xué)生智力高低的表現(xiàn)。在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生的悟性培養(yǎng)非常重要。學(xué)生悟性的提高需要有一個從“無”到“有”的過程，在這個過程中，學(xué)生的認(rèn)識是一個由感性到理性的過程，所以，錯誤的產(chǎn)生無法避免。受應(yīng)試教育的影響，學(xué)生往往害怕錯誤，其實，學(xué)生在學(xué)習(xí)中難免會出現(xiàn)錯誤，作為一名初中數(shù)學(xué)教師，應(yīng)該正視學(xué)生的錯誤資源，有效利用這種資源引導(dǎo)學(xué)生頓悟，提高學(xué)生的悟性。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；錯誤資源；概念；模型；運(yùn)算

悟，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中可以解釋為對數(shù)學(xué)概念的理解、對數(shù)學(xué)公式和定理的運(yùn)用、對數(shù)學(xué)問題的覺醒。學(xué)生的悟必須建立在豐富的數(shù)學(xué)知識和思維能力的基礎(chǔ)上，是一種自信積極的數(shù)學(xué)信息加工。在“悟”的過程中難免會出現(xiàn)各種錯誤，如果此時教師斥責(zé)學(xué)生，指責(zé)學(xué)生馬虎或者腦子笨，不僅傷害了學(xué)生的自尊心，而且容易打擊學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，使其最終產(chǎn)生厭學(xué)情緒。其實，學(xué)生學(xué)習(xí)的進(jìn)步正是從錯誤到正確的過程，這是學(xué)生數(shù)學(xué)成績提高的必經(jīng)過程，因此，教師要善于分析和利用學(xué)生學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的錯誤，引導(dǎo)學(xué)生在錯誤中提高悟性。筆者結(jié)合自身多年的教學(xué)經(jīng)驗，分析了教學(xué)中常見的幾種錯誤資源，指出如何有效利用錯誤資源。

一、教學(xué)中常見的錯誤資源

1.由于聯(lián)想混淆，產(chǎn)生錯誤的認(rèn)知

聯(lián)想指學(xué)生在看到某一數(shù)學(xué)知識時，會將原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的一個相關(guān)知識作為節(jié)點來理解新知識。由于原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的差別，有些學(xué)生往往會走入“浮想聯(lián)翩”的誤區(qū)，進(jìn)而導(dǎo)致對新知識理解得模棱兩可，導(dǎo)致錯誤的產(chǎn)生。例如，2（x+y）=2x+2y這一數(shù)學(xué)知識學(xué)生掌握得很熟練，當(dāng)?shù)谝淮螌W(xué)習(xí)平方時，學(xué)生會不自覺聯(lián)想（x+y）2=2x+2y，這是一種錯誤聯(lián)想導(dǎo)致的新舊知識的混淆。

2.學(xué)生的思維定式，產(chǎn)生錯誤

思維定式可以理解為人們通常用已經(jīng)成功解決某一問題的經(jīng)驗去解決已經(jīng)變化的另一個問題。同樣的，有些思維定式會束縛學(xué)生的思維，使其產(chǎn)生錯誤認(rèn)識。例如，小學(xué)時期學(xué)的數(shù)不包括負(fù)數(shù)，所以a+b≥a在小學(xué)數(shù)學(xué)中是正確的，但初中學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)后，這個不等式就是錯的。再比如，小學(xué)生習(xí)慣用列算式解應(yīng)用題，干擾了初中的列方程解應(yīng)用題。比如學(xué)習(xí)完方程后，要求學(xué)生列方程解決以下問題：甲乙兩個工程隊分別從東、西方向鋪設(shè)管道。甲每天鋪設(shè)120米，乙每天鋪設(shè)130米，管道總長1000米，問幾天后兩個工程隊能完工？學(xué)生往往將方程列為：x=1000/（120+130），這也是受到原有知識的思維定式導(dǎo)致的。

3.由于學(xué)生對概念理解不清所導(dǎo)致的錯誤資源

在學(xué)習(xí)時，很多學(xué)生會對教師教授的概念模棱兩可，導(dǎo)致經(jīng)常出現(xiàn)錯誤。比如在講解幾何部分三角形的相似和全等的概念及判定條件記憶混淆時，會認(rèn)為邊長分別為3、4、5的直角三角形和邊長分別為9、12、15的直角三角形全等，這是根據(jù)形狀判定全等，脫離了全等的概念。再比如冪的運(yùn)算性質(zhì)有am·an=a（m+n），（am）n=amn，很多學(xué)生錯誤地理解為am·an=amn或者am+an=am+n等，都是由于概念的理解不到位導(dǎo)致的錯誤。

二、巧用錯誤資源，引領(lǐng)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識

以上分析了學(xué)生在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常常出現(xiàn)的錯誤類型，教師應(yīng)該怎樣對待這些資源，引領(lǐng)學(xué)生從錯誤中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識呢？以下是我結(jié)合自身經(jīng)驗提出的幾點措施，望拋磚引玉。

1.轉(zhuǎn)變態(tài)度，正視學(xué)生的錯誤

受考試壓力和成績的影響，很多教師難以正視學(xué)生的錯誤，當(dāng)發(fā)現(xiàn)學(xué)生出現(xiàn)錯誤時，很多教師會這樣訓(xùn)斥：“這個講了幾遍了你還錯？這個公式你還記不住？你怎么這么笨？”看似嚴(yán)肅地對待學(xué)生的錯誤，其實學(xué)生收到這樣的反饋時，并不知道自己具體錯在哪里，遇到不會的問題也不敢問，而且很有挫敗感，長此以往，很多學(xué)生會麻木。因此，教師要善待學(xué)生出現(xiàn)的錯誤，從學(xué)生的角度思考，并追問學(xué)生：“你錯題時是怎么理解的？沒關(guān)系，說出來大家一起解決，我可以幫助你。”“大家有好的辦法避免類似的錯誤再出現(xiàn)嗎？”教師用這樣的方式和態(tài)度和學(xué)生交流，學(xué)生才能大膽正視自己的錯誤，發(fā)現(xiàn)問題并避免錯誤，這樣學(xué)生的數(shù)學(xué)能力才能慢慢提高。

2.促使深度理解概念，利用錯誤培養(yǎng)逆向思維

概念在初中數(shù)學(xué)中占有舉足輕重的地位，因此，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該重視概念的教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生對概念的深度理解，對概念的外延進(jìn)行變式，加強(qiáng)對概念的辨別，進(jìn)而減少錯誤的產(chǎn)生。例如，在教學(xué)浙教版初中數(shù)學(xué)“幾何和圖形”部分中的矩形和菱形時，矩形的四個角都是直角、對角線相等，而菱形四條邊相等、對角線互相垂直，兩個概念相似度高，很多學(xué)生容易混淆。為加深對概念的理解，我結(jié)合“中點四邊形”這一數(shù)學(xué)知識進(jìn)行講解：（1）依次連接任意四邊形的中點；（2）順次連接矩形的四邊中點；（3）順次連接菱形的四邊中點。我出示以上要求，并讓學(xué)生思考得到的三個四邊形是什么形狀。我引導(dǎo)學(xué)生動手畫一畫、量一量并證明得到的結(jié)論，通過畫輔助線和中位線的性質(zhì)，學(xué)生不難證明，它們分別是：平行四邊形、矩形、菱形。我繼續(xù)追問：“回想剛才的證明過程，你認(rèn)為什么特征的四邊形的中點四邊形是矩形？什么形狀的四邊形的中點四邊形是菱形？”通過交流討論，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)對角線垂直的四邊形的中點四邊形是矩形，對角線相等的四邊形的中點四邊形是菱形。最后，我提問：“那什么樣的四邊形的中點四邊形是正方形呢？”通過層層追問，引導(dǎo)學(xué)生深思，在思考和證明的過程中不斷運(yùn)用矩形和菱形的性質(zhì)，加深學(xué)生對概念的理解，同時也從結(jié)論引導(dǎo)學(xué)生思考概念，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維。

3.利用錯誤幫助學(xué)生進(jìn)行新知識的學(xué)習(xí)

學(xué)生對新知識的理解需要一個過程，開始可能只關(guān)注了知識的某一個特征，并不能全面理解，因此會產(chǎn)生各種錯誤。此時，教師要抓住學(xué)生學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的錯誤，把它當(dāng)作情境或者場景進(jìn)行教學(xué)，這樣能吸引學(xué)生興趣，引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)規(guī)律。例如，我出示問題：（1）一條直線上有兩點，那有幾條線段呢？（2）直線上有3個點，你能找到幾條線段？（3）直線上有4個點，你能找到幾條線

段……我讓學(xué)生交流自己是怎么找的，并讓學(xué)生找一找怎樣數(shù)才能不遺漏不重復(fù)，學(xué)生在找一找、數(shù)一數(shù)的過程中，能發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)等差數(shù)列的規(guī)律學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)：當(dāng)直線上點的個數(shù)為n時，線段的條數(shù)是n（n-1）/2。這樣學(xué)生在錯誤中發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，學(xué)習(xí)了新知識，當(dāng)然也增加了戰(zhàn)勝錯誤的勇氣。

4.培養(yǎng)模型意識，增強(qiáng)解題能力

數(shù)學(xué)是一門有規(guī)律的學(xué)科，其中蘊(yùn)含著很多數(shù)學(xué)模型，有時候?qū)W生不會解題，很大一部分原因是不熟悉這類模型。因此，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該有意識地培養(yǎng)學(xué)生的模型意識，引導(dǎo)學(xué)生從某一事物的數(shù)量關(guān)系或者特點，用數(shù)學(xué)語言概括事物的內(nèi)在聯(lián)系，這樣學(xué)生遇到類似的情況時會事半功倍。如，8個班打籃球賽，需要舉行幾場比賽？4個人握手需要握幾次？一塊木頭鋸成6塊需要鋸幾次？這些類似的問題放在一起，能讓學(xué)生在規(guī)律中發(fā)現(xiàn)聯(lián)系，提高解決問題的能力和水平。

總之，學(xué)生出錯是在所難免的，教師應(yīng)珍視學(xué)生的錯誤，把犯錯誤的權(quán)利交給學(xué)生，讓學(xué)生在無苛責(zé)、無恐懼的數(shù)學(xué)課堂中思維飛揚(yáng)。作為初中數(shù)學(xué)教師，要巧用錯題資源，讓思維跳動，讓思想躍然紙上，這樣學(xué)生學(xué)得輕松，教師教得快樂，何樂而不為？

參考文獻(xiàn)：

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[2]易涌軍.淺談初中數(shù)學(xué)解題錯誤成因及其應(yīng)對策略[J].讀書文摘，2014（16）.

編輯 鄭曉燕