高中數(shù)學教學需要注意學生思維的連貫性

吳飛飛

[摘 要] 應試背景下的高中數(shù)學教學，容易讓學生的思維處于非連貫的狀態(tài). 而基于學生的思維特點與認知習慣，設計問題的表述方式與提出順序，可以讓學生的思維保持良好的連貫性. 長期進行這樣的訓練，可以讓學生形成良好的思維習慣.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學；思維；連貫性

數(shù)學是思維的科學，數(shù)學教學是思維的教學，特別是對于高中數(shù)學而言，由于學生已經(jīng)有了充分的數(shù)學基礎知識，而高中數(shù)學知識又是以這些知識作為建構(gòu)基礎的，因此建構(gòu)過程中的學生思維就受到高度重視. 但目前面臨的實際是，由于高考壓力的存在，學生在數(shù)學知識學習中更多的是知識的積累與習題的重復訓練，真正基于思維教學，真正以思維為主線的教學并不多見（當然在此過程中學生的思維會有所發(fā)展，但這種發(fā)展近乎是自然發(fā)生的，教學所起的作用尚待進一步發(fā)掘）. 筆者以為，這樣的教學取向是有問題的. 當然，認識到這個問題本身并不難，難的是如何在當前應試評價的前提下，更有效地培養(yǎng)學生的數(shù)學思維. 考慮到當前已有的努力，筆者以為在注重思維的基礎上進一步注重思維的連貫性，可以讓學生的數(shù)學素養(yǎng)得到進一步的提升.

■為什么要注重思維的連貫性

為什么要注重思維的連貫性？這似乎是一個不需要問的問題. 但在教學實際中可以發(fā)現(xiàn)，學生在構(gòu)建很多數(shù)學概念的時候，思維其實都是不連貫的. 舉一個簡單的例子，在“圓與圓的位置關(guān)系”這一內(nèi)容的教學中，很多時候教師都會提出這樣的一些問題：在同一個平面內(nèi)如果有兩個圓，那這兩個圓可能存在哪些關(guān)系？你能舉出這樣的例子嗎？你能用作圖的方法表示你的想法嗎？應當說這些問題在這一知識的教學中，可能不少教師都問過，但是我們有沒有注意到在這三個問題的作用下，學生的思維可能會是什么樣子的呢.

根據(jù)筆者結(jié)合教學經(jīng)驗去猜想，同時筆者找了教學班中不同層次的學生分別進行了調(diào)查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)不同層次的學生在遇到這三個問題的時候想法既有相同的地方，也有不同的地方. 先說不同的地方，通常情況下，優(yōu)秀的學生在聽到第一個問題之后，會自動地在大腦中構(gòu)思兩個圓的位置關(guān)系，并能判斷出相交、相離等關(guān)系. 即使他們窮盡自己的思考而沒有新的發(fā)現(xiàn)之后，心里仍然存在疑慮：有沒有自己沒有考慮到的可能？而中等生需要通過自己畫圖或者討論的方式去尋找結(jié)果，他們也能夠發(fā)現(xiàn)最基本的位置關(guān)系，但并不能有效地拓展思維. 也就是說，當他們無法再發(fā)現(xiàn)新的位置關(guān)系時，就認為自己已經(jīng)找全了圓與圓的位置關(guān)系. 至于學困生，他們往往是下意識地去生活中尋找圓的關(guān)系，此過程中有一個細節(jié)值得研究：很多學困生都能夠想到奧運五環(huán)的圖形，也能想到兩個圓相離的情形，但這個時候他們所舉的例子有空中的兩個氣球等（這種將立體圖形簡化成平面圖形并獲得認知，也是一種有趣的現(xiàn)象）.

由此可以看出，不同層次的學生在思考相同的問題的時候，思路是不一樣的，尤其是思維的出發(fā)點是不一樣的. 當然，這個過程中也有相同的地方，根據(jù)筆者的研究，不同層次的學生盡管形象思維或抽象思維出現(xiàn)的順序不同，但都不約而同地用到了形象思維，都能有意識地去生活中尋找圓的原型. 這也說明了即使是高中學生，即使抽象思維能力已經(jīng)有了充足的發(fā)展，但是形象思維仍然是他們慣用的思維方式.

更重要的是，上面三個問題的提出，實際上無法讓不同層次的學生的思維處于一種連貫的狀態(tài)，這也說明在提出問題的時候，要注意問題的方式與提出順序. 只有這樣，才能讓學生的數(shù)學知識的構(gòu)建更為順利.

■怎樣實現(xiàn)數(shù)學思維的連貫性

事實上，在實際的高中數(shù)學教學中，像上面這樣的例子并不少見，因此可以不夸張地講，很多情況下學生思維其實都處于不連貫的狀態(tài)，這對于學生構(gòu)建數(shù)學知識來說不是什么好的現(xiàn)象. 那么，學生思維不連貫的原因到底在哪里呢？又如何讓學生的思維在高中數(shù)學學習的過程中更好地處于連貫的狀態(tài)呢？筆者做出了這樣的解釋：

第一個問題. 筆者以為學生的思維不連貫更多的是由教師的“啟發(fā)”引起的. 這里所說的啟發(fā)既指教師有意識的問題的提出，也指教師在教學中可能的無意識的影響. 因為教師對于問題的設計，往往都是基于自己的教學經(jīng)驗的，比如說在上面的“圓與圓的位置關(guān)系”這一內(nèi)容的教學中，包括筆者在內(nèi)，都是從需要教學的內(nèi)容倒推出來的問題：既然要學圓與圓的位置關(guān)系，那就問學生圓與圓可能存在什么樣的關(guān)系；既然需要強調(diào)數(shù)學與生活的聯(lián)系，那就讓學生到生活中尋找這樣的例子；既然要培養(yǎng)學生的思維能力，那就讓學生自己去舉例. 問題在于，學生的思維習慣或者說順序，并不由教師所決定，因此問題提問不當或順序不當，學生的思維自然就極有可能處于不連貫的狀態(tài).

在上面分析的基礎上回答第二個問題，就會發(fā)現(xiàn)保證學生在數(shù)學課堂上思維連貫性的關(guān)鍵，在于教師基于對學生認知規(guī)律的把握，去認真設計問題的表述方式與提出順序等. 仍然以“圓與圓的位置關(guān)系”為例，考慮到學生構(gòu)建這一知識時表現(xiàn)出的對形象思維的需要，筆者以為第一個問題或許應當這樣提出：在生活中總會有一個面上出現(xiàn)兩個圓的情形，大家先想想這些情形都有哪些具體的例子. 在學生尋找到生活中自行車輪圈、奧運五環(huán)、同心圓（此時非指數(shù)學意義上的同心圓圖形，而是學生在生活中形成的同心圓認知）等例子之后，再提出第二個問題：如果給你一大一小兩個圓圈，你會如何構(gòu)建出不同類型的圓與圓的位置關(guān)系？這是一個讓學生動手體驗及動腦思考的過程. 在這個過程中，學生對圓與圓的位置關(guān)系可能不是很清晰，但一定可以在體驗的過程中不斷有新的發(fā)現(xiàn)，而每一個新的發(fā)現(xiàn)其實又是在前面思考的基礎上，經(jīng)過邏輯思考形成的. 這個過程中的思維非常充分. 最后提出問題：如果讓你用數(shù)學語言來描述自己的體驗、收獲與所舉的例子，你能發(fā)現(xiàn)圓與圓之間存在著哪些關(guān)系呢？

以上同樣是三個問題，但是這樣的提出順序是符合學生認知邏輯與思維習慣的，是可以滿足學生思維的連貫性的，因為從生活中尋找事例是全體學生的思維起點，而讓學生動手體驗同是全體學生構(gòu)建數(shù)學知識的基本習慣. 這兩個環(huán)節(jié)可以保證所有學生都有一個良好的圓與圓的位置關(guān)系的構(gòu)建基礎，同時也能激活學生的原有思維. 只有到了第三個環(huán)節(jié)，也就是用數(shù)學語言描述體驗的時候，尤其是將數(shù)學符號表示不同的圓與圓的位置關(guān)系的時候，學生才有可能因為能力差異以及數(shù)學知識基礎的不同而出現(xiàn)水平的高低. 這種情況某種程度上講是不可避免的，而這樣的問題與提出順序，實際上將千萬學生學習困難的影響降低到了最小，應當說是一種較好的保證學生思維連貫性的策略.

■如何判斷學生思維的連貫性

這里還有另外的一個重要問題，那就是教師在課堂上如何判斷學生的思維是不是連貫的. 畢竟，在教學之前根據(jù)自己的教學經(jīng)驗去設計教學，并預設學生思維可能的情形是簡單的；而到了實際的課堂上，學生的思維是不是真的連貫，那就很難判斷了，畢竟思維是學生內(nèi)在的東西，不是一個可以直接觀測的對象. 根據(jù)筆者的教學經(jīng)驗，學生思維在高中數(shù)學課堂上是不是保持連貫，可以從這樣的兩個角度來判斷.

一是學生在課堂上的上課表情. 必須承認，如果教師能夠讓學生的思維集中到學習上來，那不同層次的學生在遇到同一個問題時，同一個學生在遇到不同難度的問題或者說知識建構(gòu)的過程時，表現(xiàn)一定會有所不同. 這種不同是可以通過學生的學習表情來判斷的：如果說學生在構(gòu)建數(shù)學知識的時候，表情比較輕松，常常有微笑或會心一笑或得意一笑的時候，就說明學生的思維是處于連貫狀態(tài)的；如果說學生在上課的時候愁眉緊鎖，那么自然就是思維遇到了障礙.

二是學生與同伴討論的情形. 當前提倡自主合作探究的學習方式，高中數(shù)學通過合作學習來促進不同層次的學生之間互通學習收獲，現(xiàn)已經(jīng)成為一種新常態(tài). 在學生討論的過程中，教師要深入到各個小組，聽聽不同層次的學生是怎么說的. 具體一點說，優(yōu)秀的學生在講某個知識點的時候思路是不是清晰，邏輯是不是合理（這可是高中數(shù)學最重視的兩個內(nèi)容）；而在聽課時學生是不是真的聽得懂，尤其是在聽的過程中是完全被動地接受，還是有問題提出. 這些不同表現(xiàn)的背后，往往就反映著學生思維的差異，而思維的連貫與否就可以在此過程中判斷出來.

當然，這兩點只是筆者的經(jīng)驗之談，而注重此話題的同行也一定有新的視角. 在這里筆者還有一點想強調(diào)一下，那就是學生思維的連貫性在高中數(shù)學學習的過程中是存在積極的遷移作用的，也就是說一旦學生的思維能夠真正連貫起來，可以保證他們在其他數(shù)學知識的學習中會有一個更好的思維習慣，而這對于當前的高中數(shù)學教學來說，顯然是一個不小的福音.