談概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)

吳艷華

《統(tǒng)計(jì)與概率》是初中數(shù)學(xué)四個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域之一，但由于這部分內(nèi)容較少，在中考中所占的比分較少，要求也不高，所以在實(shí)際教學(xué)中，沒(méi)有得到充分的重視。實(shí)際教學(xué)中，教師往往讓學(xué)生背公式，熟記計(jì)算，卻沒(méi)有真正理解教材，按照學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律安排教材。事實(shí)上，對(duì)概率統(tǒng)計(jì)的接受需要經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)，檢驗(yàn)并調(diào)整自己的直覺(jué)等過(guò)程，這需要延續(xù)較長(zhǎng)的時(shí)間，才能形成較為完整的概率統(tǒng)計(jì)意識(shí)。那么，教師如何講好統(tǒng)計(jì)與概率呢？筆者以一節(jié)《方差》為例，談一談對(duì)《統(tǒng)計(jì)與概率》教學(xué)的認(rèn)識(shí)。

教材、學(xué)情分析和教學(xué)目標(biāo)

方差是蘇科版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)（上冊(cè)）第三章第四節(jié)的內(nèi)容，此前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，這三個(gè)數(shù)據(jù)是刻畫(huà)數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的主要統(tǒng)計(jì)量。數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)僅僅是數(shù)據(jù)分布的一個(gè)特征，反映的是一組數(shù)據(jù)向其中心值聚集的程度。本節(jié)課就是要研究數(shù)據(jù)之間的差異，考查數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況，即數(shù)據(jù)的離散程度，這是對(duì)數(shù)據(jù)分析的另一重要指標(biāo)。這是對(duì)前面八年級(jí)所學(xué)有關(guān)統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的延續(xù)。

知識(shí)與技能：掌握極差、方差的概念，會(huì)計(jì)算極差、方差，理解它們的統(tǒng)計(jì)意義；了解極差、方差是刻畫(huà)數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計(jì)量，并在具體情境中加以應(yīng)用。

過(guò)程與方法：通過(guò)一系列富有啟發(fā)性、層層深入的問(wèn)題，經(jīng)歷對(duì)數(shù)據(jù)的分析，能用樣本方差估計(jì)總體方差。

情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真、耐心、細(xì)致的學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)習(xí)慣；培養(yǎng)學(xué)生探求知識(shí)的勇氣，體會(huì)教學(xué)活動(dòng)的探索性和創(chuàng)造性。

案例解析

教學(xué)設(shè)計(jì) 10月中旬，我校將要舉行校運(yùn)動(dòng)會(huì)了，同學(xué)們都踴躍報(bào)名。但由于每個(gè)項(xiàng)目都有人數(shù)限制。為了我們班級(jí)能取得更好的成績(jī)，現(xiàn)在要從報(bào)名參加100米跑步比賽的兩位同學(xué)中選拔一人參加比賽。老師特意要來(lái)了他們兩個(gè)人平時(shí)的訓(xùn)練成績(jī)，請(qǐng)看下表（單位：秒）。你會(huì)選誰(shuí)？（設(shè)計(jì)意圖：利用學(xué)生熟悉的情境體現(xiàn)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又服務(wù)于生活。）

探究活動(dòng) 課堂上，有學(xué)生說(shuō)：分別計(jì)算兩個(gè)人的平均成績(jī)，誰(shuí)的平均成績(jī)好，就選誰(shuí)。教師肯定地說(shuō)：好主意！分小組計(jì)算兩位選手的百米賽跑平均成績(jī)，通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)兩位選手的百米賽跑平均成績(jī)均為10.9秒。平均成績(jī)相同，兩位選手的水平就一模一樣嗎？觀察這些數(shù)據(jù)，我們還可以從哪些方面來(lái)考量這兩位選手的成績(jī)，比如成績(jī)的穩(wěn)定性、最好成績(jī)等。最后，學(xué)生小組討論，得出兩組數(shù)據(jù)特點(diǎn)：小爽的成績(jī)波動(dòng)幅度大，小兵的波動(dòng)幅度小。

教師問(wèn)：波動(dòng)幅度大小是怎么看的？有學(xué)生回答：小爽的最好成績(jī)是10.7秒，最慢的成績(jī)是11.1秒，相差0.4秒。小兵的最好成績(jī)是10.8秒，最慢成績(jī)是11.1秒，相差0.3秒。

教師總結(jié)：我們把一組數(shù)據(jù)的最大值和最小值的差叫做極差。極差反映了一組數(shù)據(jù)的變化范圍，在一定程度上描述了這組數(shù)據(jù)的離散程度。（板書(shū)）在有些情況下，我們只需要知道極差就夠了，如天氣預(yù)報(bào)只報(bào)最高氣溫和最低氣溫，因?yàn)閷?duì)于一般人來(lái)說(shuō)，只需要知道這兩個(gè)極端值，氣溫的變化范圍就可以了。但是極差只是利用了一組數(shù)據(jù)兩端的信息，不能反映出中間數(shù)據(jù)的分散情況，那么怎樣才能衡量整個(gè)一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小呢？老師提供一種方案供大家參考：將兩位選手的成績(jī)以點(diǎn)的形狀標(biāo)注在平面直角坐標(biāo)系里，然后用折線連接，確定平均數(shù)為中心線，從而觀察波動(dòng)情況。散點(diǎn)（如下圖）可以比較明顯的看到有多少數(shù)據(jù)在波動(dòng)，數(shù)據(jù)偏離中心的幅度有多少。但這種繪制圖像的方法仍然是定性的綜合印象。怎樣才能定量的計(jì)算整個(gè)數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小呢？（設(shè)計(jì)意圖：為了直觀地看出兩組數(shù)據(jù)的離散程度（波動(dòng)情況），繪制了兩個(gè)“散點(diǎn)圖”使學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的情況有一個(gè)直觀的認(rèn)識(shí)，為引入“方差”的概念做好鋪墊。）

學(xué)生：計(jì)算偏差，每個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差。

老師：如何累計(jì)偏差？

學(xué)生1：計(jì)算偏差的和。（學(xué)生先想到求代數(shù)和，但很快能自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題）

學(xué)生2：不能求和，正負(fù)偏差會(huì)相互抵消的。小爽的偏差和就為0，而小兵為-0.1，和剛才的觀察結(jié)果不符合。

老師：那如何使正負(fù)偏差不相互抵消呢？

學(xué)生：小組討論后得出兩種方法：①給每個(gè)偏差加上絕對(duì)值后再相加；②給每個(gè)偏差平方后再相加。

老師：我們以一組數(shù)據(jù)（下圖）為例來(lái)分析一下該選用哪種方案更好些。

（設(shè)計(jì)意圖：由學(xué)生提出方案后，學(xué)生會(huì)積極運(yùn)算，想快速得出結(jié)果，驗(yàn)證自己的方案）

學(xué)生分組計(jì)算，第一種方案各數(shù)據(jù)與平均數(shù)的偏差的絕對(duì)值的和均為20，但按照第二種方案求各組數(shù)據(jù)的偏差平方和，甲組為164，乙組為104.所以我們應(yīng)該選用第二種方案，給每個(gè)偏差平方后再相加。在很多問(wèn)題里，含有絕對(duì)值的式子不便于運(yùn)算，而且在衡量一組數(shù)據(jù)的離散程度（波動(dòng)大?。┑摹肮δ堋鄙?，將各偏差平方更強(qiáng)些。

老師：數(shù)據(jù)的偏差的平方和與什么還有關(guān)系？請(qǐng)分別計(jì)算下列兩組數(shù)據(jù)偏差的平方和。

讓學(xué)生自己動(dòng)手計(jì)算，求平均數(shù)時(shí)激發(fā)學(xué)生用簡(jiǎn)便方法計(jì)算，找一位學(xué)生到黑板上板演。

老師：觀察與計(jì)算為什么有矛盾？

學(xué)生：因?yàn)閮山M數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)不一樣。

老師：那么在數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)不一樣的情況下，如何合理計(jì)算偏差呢？

學(xué)生：計(jì)算偏差平方的平均數(shù)。

老師：請(qǐng)同學(xué)們分別計(jì)算上述兩組數(shù)據(jù)偏差平方的平均數(shù)。

學(xué)生：計(jì)算兩組數(shù)據(jù)偏差平方的平均數(shù)。

老師：現(xiàn)在觀察與計(jì)算還矛盾嗎？我們把一組數(shù)據(jù)偏差平方的平均數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的“方差”。（板書(shū)方差定義）

教師總結(jié)：一組數(shù)據(jù)的方差越大，說(shuō)明這組數(shù)據(jù)的離散程度越大，也就是數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大，越不穩(wěn)定。方差越小，說(shuō)明這組數(shù)據(jù)的離散程度越小，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越小，越穩(wěn)定。請(qǐng)同學(xué)們總結(jié)計(jì)算方差的步驟。

學(xué)生小組討論后給出下列步驟：①計(jì)算數(shù)據(jù)的平均數(shù)；②計(jì)算偏差；③計(jì)算偏差的平方和；④除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。

老師：學(xué)完方差的概念后，請(qǐng)同學(xué)們幫助老師一起來(lái)選拔一位同學(xué)參加校運(yùn)動(dòng)會(huì)的百米賽跑。

學(xué)生：通過(guò)計(jì)算，小爽的方差為0.018，小兵的為0.007。小兵的方差小，成績(jī)穩(wěn)定，選小兵。

（設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生深刻體會(huì)到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活。又反過(guò)來(lái)服務(wù)于生活，不僅使學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚興趣，而且培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。）

課堂小結(jié) 本節(jié)課你學(xué)到了什么？在利用本課知識(shí)時(shí)，你想提醒同學(xué)們注意哪些方面？你還有什么收獲？（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生的總結(jié)，不僅可以進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識(shí)，還可以培養(yǎng)學(xué)生以積極的情感態(tài)度，探索問(wèn)題，進(jìn)而體會(huì)數(shù)學(xué)應(yīng)用的科學(xué)價(jià)值。）

課后反思

在活動(dòng)過(guò)程中，教師要改變常規(guī)的教學(xué)法，采用實(shí)踐教學(xué)活動(dòng)來(lái)引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)，教師作為活動(dòng)的引導(dǎo)者和合作者，讓學(xué)生通過(guò)交流合作、主動(dòng)探究，在收集和處理數(shù)據(jù)的實(shí)踐中領(lǐng)悟、在概念講解中要多舉例子，讓抽象的概念和生活實(shí)際聯(lián)系起來(lái)，這樣便于學(xué)生理解。同時(shí)，教師還要注意培養(yǎng)學(xué)生正確的學(xué)習(xí)方法，提倡合作、探究、實(shí)踐、創(chuàng)新的學(xué)習(xí)精神，充分體現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位。只有這樣，才能不斷培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念。

（作者單位：江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)婁葑學(xué)校）