原子干涉儀相對論效應(yīng)的理論分析

劉琳霞，董蘊(yùn)華

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原子干涉儀相對論效應(yīng)的理論分析

劉琳霞，董蘊(yùn)華

（河南工學(xué)院，河南 新鄉(xiāng) 453003）

利用高靈敏度的原子干涉儀開展廣義相對論效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)研究，需要考慮各種相對論效應(yīng)對原子干涉的影響。結(jié)合量子力學(xué)與廣義相對論，分析了原子干涉儀中的廣義相對論效應(yīng)，以及相對論效應(yīng)中的引磁效應(yīng)。初步分析計(jì)算結(jié)果表明，在牛頓力學(xué)框架下，地球自轉(zhuǎn)引起原子的科里奧利加速度的量級為~10-4g，其相對論修正，即引磁效應(yīng)的量級約為~10-13g。

原子干涉儀；相對論效應(yīng)；原子波

0 引言

原子干涉儀的工作原理類似于光學(xué)干涉儀，它是利用物質(zhì)波的特性來實(shí)現(xiàn)干涉的。但物質(zhì)波的原子運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)小于光速，其相干性較好，因此，原子干涉儀比光學(xué)干涉儀的靈敏度更高。由于其高靈敏度性，原子干涉儀在精密測量領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用,如牛頓引力常數(shù)、重力加速度與轉(zhuǎn)動(dòng)、導(dǎo)航定位等方面[1]。高精度的原子干涉儀也用來開展廣義相對論效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)，包括等效原理的實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)、引力波的探測等[2]。

對于檢驗(yàn)廣義相對論效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)，需要考慮各種廣義相對論效應(yīng)對原子干涉的影響。目前，雖然已有不少文獻(xiàn)分析和討論了原子干涉儀中的廣義相對論效應(yīng)，但這些工作只關(guān)注某些特定的相對論效應(yīng)[3]。在本文中，我們介紹了原子干涉儀廣義相對論效應(yīng)及其研究方法，并結(jié)合量子力學(xué)與廣義相對論，初步分析了廣義相對論中的引磁效應(yīng)對原子干涉的影響。

1 原子干涉儀的廣義相對論效應(yīng)

1.1 研究現(xiàn)狀

對于原子干涉中廣義相對論效應(yīng)的研究，早期的研究者有Varju小組[4]，主要是為解釋原子或中子干涉儀中的相對論效應(yīng)。但是，要想全面分析原子干涉儀中與自旋相關(guān)的相對論效應(yīng)，需要考慮實(shí)驗(yàn)過程中激光與原子自旋的耦合效應(yīng)。Wajima 和 Anandan等人分析了量子干涉儀中相對論的引力效應(yīng)[5]，主要是用來估算中子干涉儀中由地球引力場的相對論修正部分帶來的干涉相移。Audretsch小組考慮了利用原子干涉儀測時(shí)空彎曲[6]，主要關(guān)注的是牛頓引力的主要階效應(yīng)。Borde等人討論了物質(zhì)波干涉儀與弱引力場作用的相對論相移，但方程的計(jì)算非常困難，且不能直接計(jì)算出與原子相關(guān)的廣義相對論效應(yīng)。后來的Dimopoulos小組，利用廣義相對論分析了無自旋原子的干涉相移[7],他們考慮了光子與原子的相互作用，由于計(jì)算非常復(fù)雜，借助計(jì)算機(jī)平臺，給出了忽略地球自轉(zhuǎn)效應(yīng)的干涉相移標(biāo)量表達(dá)式。

以上對于原子干涉儀相對論效應(yīng)的討論，都不是針對特定的、切實(shí)可行的實(shí)驗(yàn)，而是側(cè)重于計(jì)算方法。因此，對于原子干涉儀，除了需要研究有限光速效應(yīng)的分歧，還要研究適用于原子三維運(yùn)動(dòng)的相對論理論計(jì)算模型，來分析具體的某個(gè)實(shí)驗(yàn)。

1.2 引磁效應(yīng)

最近實(shí)驗(yàn)證實(shí)了廣義相對論預(yù)言的引磁（時(shí)空拖曳）效應(yīng)。當(dāng)一個(gè)宏觀物體(尤其是大質(zhì)量物體)旋轉(zhuǎn)時(shí)，會(huì)引起周圍時(shí)空的扭曲,這在形式上類似于電動(dòng)力學(xué)的磁現(xiàn)象,根據(jù)廣義相對論，這種效應(yīng)被稱為引力磁場（引磁）效應(yīng)。引磁場可通過兩種方式影響物體的運(yùn)動(dòng)，一是產(chǎn)生一個(gè)作用在旋轉(zhuǎn)物體質(zhì)心的引磁力，改變物體的運(yùn)動(dòng)軌跡[8]；二是產(chǎn)生一個(gè)力矩作用在旋轉(zhuǎn)物體上，使物體轉(zhuǎn)動(dòng)軸的指向在自由落體過程中發(fā)生改變[9]。這些經(jīng)典系統(tǒng)的理論和實(shí)驗(yàn)研究進(jìn)展，啟發(fā)人們開始思考經(jīng)典時(shí)空背景引力場中的量子系統(tǒng)的引力效應(yīng)，如原子干涉儀實(shí)驗(yàn)。原子干涉儀實(shí)驗(yàn)可高精度地檢驗(yàn)等效原理和其他微弱的廣義相對論效應(yīng)。目前對量子系統(tǒng)引磁效應(yīng)的研究工作較少，初步的估計(jì)表明引磁效應(yīng)對量子系統(tǒng)的影響非常微弱，因此實(shí)驗(yàn)上利用量子系統(tǒng)對引磁效應(yīng)進(jìn)行探測也應(yīng)該十分困難。

1.3 計(jì)算方法

原子干涉儀通過激光操控原子測量引力場，是非常獨(dú)特的量子系統(tǒng)。引力場既影響原子的運(yùn)動(dòng)，也改變著激光的相位。關(guān)于原子干涉儀相對論效應(yīng)的常用計(jì)算方法是由Kasevich提出的測地線計(jì)算法[10]，這一方法通過在原子干涉相位的半經(jīng)典近似計(jì)算基礎(chǔ)上直接引入相對論的修正。早期原子干涉儀的實(shí)驗(yàn)精度不是很高，通常采用半經(jīng)典近似法計(jì)算干涉相位，這一方法在處理原子自由演化時(shí)，將原子作為點(diǎn)粒子計(jì)算其經(jīng)典軌跡。

考慮相對論效應(yīng)時(shí)，Kasevich將原子和光子的經(jīng)典軌跡用測地線代替，從而可以計(jì)算干涉儀的相對論效應(yīng)。這種半經(jīng)典近似方法的精度一般都不高，采用測地線方程雖然包含了相對論效應(yīng)，但原子畢竟不能作為點(diǎn)粒子，原子的演化應(yīng)由量子力學(xué)描述，原子波函數(shù)的極值點(diǎn)可近似為經(jīng)典軌跡。高精度計(jì)算干涉儀相位的方法需采用Borde的ABCD矩陣法計(jì)算原子演化的波函數(shù)[11]。

2 引磁效應(yīng)計(jì)算分析

原子干涉儀的原子波函數(shù)的演化方程為

Dirac拉氏量為

相互作用表象下的哈密頓算符為

對于低速運(yùn)動(dòng)的質(zhì)量源，如轉(zhuǎn)動(dòng)的地球，線性化場方程和洛倫茲條件進(jìn)一步寫為

引磁效應(yīng)源于地球的自轉(zhuǎn)，由上式初步估計(jì)，在牛頓力學(xué)中，地球自轉(zhuǎn)引起原子的科里奧利加速度的量級為~10-4g，其相對論修正，即引磁效應(yīng)的量級約為~10-13g。

結(jié)合原子干涉儀的工作原理，如果要嚴(yán)格計(jì)算引磁效應(yīng)產(chǎn)生的相移，其計(jì)算過程非常復(fù)雜，需要借助計(jì)算軟件對過程進(jìn)行編程計(jì)算，后續(xù)研究工作正在進(jìn)行。

原子干涉儀的相對論效應(yīng)可分為狹義相對論效應(yīng)和廣義相對論效應(yīng)。在實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)方面，狹義相對論效應(yīng)由光速的有限性引起，通過改變原子初速度，可直接檢驗(yàn)。廣義相對論效應(yīng)的主要項(xiàng)由引力的非線性特征引起，主要效應(yīng)為牛頓引力效應(yīng)，實(shí)驗(yàn)探測主要采用差分測量方式。

3 結(jié)論

分析了原子干涉儀中的相對論效應(yīng)和計(jì)算方法，主要計(jì)算了原子干涉儀中由地球自轉(zhuǎn)引起的引磁效應(yīng)。利用彎曲時(shí)空中的協(xié)變狄拉克方程，結(jié)合原子干涉儀的工作原理，初步估算出了引磁效應(yīng)的量級約為~10-13g。雖然初步計(jì)算結(jié)果表明引磁效應(yīng)比較小，但對于高精度的原子干涉儀相對論實(shí)驗(yàn)還是有一定的影響，需要更嚴(yán)格的計(jì)算。

（責(zé)任編輯王 磊）

[1] Borde C J. Atomic clocks and inertial sensors[J]. Metrologia.2002,39(5):435-463.

[2] Herrmann S, Dittus H, Lammerzahl C. Testing the equivalence principle with atomic interferometry[J]. Class. Quantum Grav. 2012,29(18):329-346.

[3] Dimopoulos S, Graham P W, Hogan J M, Kasevich M A. Testing General Relativity with Atom Interferometry[J]. Phys. Rev. Lett. 2007,98(11):111102-111105.

[4] Varju K, Ryder L H. Comparing the effects of curved space and noninertial frames on spin 1/2 particles[J]. Physical Review D, 2000,62(2):1-5.

[5] Wajima S, Kasai M, Futamase T. Post-Newtonian effects of gravity on quantum interferometry[J].Physical Review D, 1997,55(4):1964-1970.

[6] Audretsch J, Marzlin K P. Ramsey fringes in atomic interferometry: Measurability ofthe influence of space-time curvature[J]. Physical Review A,1994,50(3):2080-2095.

[7] Dimopoulos S, Graham P W, Hogan J M. General relativistic effects in atom interferometry[J]. Physical Review D, 2008,78(4):298-317.

[8] Ciufolini I, Pavlis E, Chieppa F. Test of General Relativity and Measurement of the Lense-Thirring Effect with Two Earth Satellites[J].Science,1998,279:2100-2103.

[9] Everitt C W F. Gravity Probe B: Final Results of a Space Experiment to Test General Relativity[J]. Phys. Rev. Lett., 2011,106: 221101-221104.

[10] Kasevich M, Chu S. Atomic interferometry using stimulated Raman transitions[J]. Physical review letters, 1991,67(2): 181-184.

[11] Borde C J, Houard J C, Karasiewicz A. Relativistic phase shifts for Dirac particles interacting with weak gravitational fields in matter—wave interferometers[J]. Lecture Notes in Physics,2001,562:403-438.

Theoretical Analysis of the Relativistic Effect of Atomic Interferometer

LIU Lin-xia，et al

(Henan Institute of Technology, Xinxiang 453003, China)

The effects of generalized relativistic effects on the atomic interferometer need to be considered, by using the highly sensitive atomic interferometer to carry out the experimental study of the general relativity effect. Combination of quantum mechanics and general relativity, the generalized relativistic effect in the atomic interferometer and the magnetic effect in the relativistic effect are analyzed. The results of preliminary analysis and calculation show that，in the Newtonian mechanics, Carioles acceleration of the atom causing by the rotation of the earth is about 10-4g. The relativistic correction, namely magnetic effect magnitude is about 10-13g.

atomic interferometer; relativistic effect; atomic wave

O412

A

1008–2093(2017)05–0001–04

2017-08-28

河南省高等學(xué)校青年骨干教師資助計(jì)劃項(xiàng)目(2014GGJS-132)

劉琳霞（1978―），女，河南開封人，副教授，博士，主要從事引力理論和實(shí)驗(yàn)研究。