淺析求高中數(shù)學(xué)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的解題技巧

王李嘉

摘要：在高中數(shù)學(xué)中，函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題是高中學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性我們往往可以知道很多的知識(shí)，這樣可以讓我們更有效的解決問(wèn)題。我們同樣也可以通過(guò)對(duì)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的研究求解出參數(shù)方程中的參數(shù)范圍。除此之外，我們對(duì)函數(shù)進(jìn)行一定的轉(zhuǎn)換，那么我們就可以求解一些特殊的不等式，這些難以解決的問(wèn)題大都能夠利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)進(jìn)行解決。我們知道數(shù)學(xué)是一門神奇的學(xué)科，它可以鍛煉人的思維能力，使人的視野開(kāi)闊。因此，函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，我們同樣也會(huì)有多種方法對(duì)其進(jìn)行解決。解決函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題的方法不是單一的，但是萬(wàn)變不離其宗，函數(shù)單調(diào)性的定義是最為基本的，當(dāng)然根據(jù)各種各樣巧妙的方法來(lái)解決問(wèn)題也不是很容易的。我們就對(duì)于函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題的解題方法進(jìn)行了探究，將以實(shí)際例子的形式展現(xiàn)。

關(guān)鍵詞：函數(shù)的單調(diào)性；區(qū)間；解題技巧

一、函數(shù)單調(diào)性定義的運(yùn)用

在數(shù)學(xué)對(duì)于函數(shù)單調(diào)性的研究與討論，我們最應(yīng)該而且是首先考慮到的一種方法就是定義法。有些刁鉆的題目就會(huì)指定用定義法進(jìn)行證明，那么我們就不能使用其他的方法。所以我們就應(yīng)該使用定義法。對(duì)于無(wú)理式的函數(shù)，我們?cè)谶M(jìn)行論證的過(guò)程中要將無(wú)理式進(jìn)行有理化，有理化式子有利于是用定義法對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分析。

假定函數(shù) g（x） ，x∈N 有意義，存在任意兩個(gè)自變量x1，x2，且存在一個(gè)區(qū)間M（M∈N） x1，x2∈M，并且x1>x2時(shí)，若g（x1）>g（x2），稱之為g（x）在區(qū)間段M是嚴(yán)格單調(diào)遞減的。相反，g（x1） < g（x2）稱之為g（x）在區(qū)間段M是嚴(yán)格的單調(diào)遞增的。對(duì)于函數(shù)單調(diào)性的研究，我們要嚴(yán)格的控制單調(diào)區(qū)間。

假設(shè)函數(shù)g（x）=1/x，試判斷該函數(shù)的單調(diào)性，并寫(xiě)出其單調(diào)區(qū)間。

解： 由題意可得出，g（x）的定義域?yàn)椋海?∞，0）U（0，+∞）。假設(shè)存在x1，x2∈（-∞，0） 并且x1>x2，設(shè)g（x）= g（x1）-g（x2） = 1/x1- 1/x2=（x2-x1） /x1x2，由于 x1x2>0，x1>x2，則 g（x） = g（x1）-g（x2）<0，可得出g（x1）

二、函數(shù)單調(diào)性的解題方法

（一）函數(shù)單調(diào)性的定義

函數(shù)單調(diào)性的研究，從其定義來(lái)講，一般是分為以下幾個(gè)步驟來(lái)完成的。第一，確定函數(shù)的定義域區(qū)間，我們所研究的函數(shù)是在其有意義的范圍內(nèi)對(duì)其進(jìn)行一系列的而研究，超出的部分沒(méi)有任何的意義；第二，在所劃分的區(qū)間之內(nèi)確定兩個(gè)任意的值x1，x2，求出g（x1），g（x2）的值并比較兩者的大小；第三，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義以及所標(biāo)注的區(qū)間，確定其單調(diào)性，下結(jié)論。

（二）利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性

導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)的工具，開(kāi)辟了許多新途徑。特別是對(duì)于具體函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性，思路清晰，步驟明確，既快捷又易于掌握.

假設(shè) g（x）在區(qū)間M范圍內(nèi)具有倒數(shù)，假如它的一階導(dǎo)數(shù)為零，那么這個(gè)函數(shù)就是一個(gè)常數(shù)函數(shù)；假設(shè)它的一階導(dǎo)數(shù)大于零，那么這個(gè)函數(shù)在它的區(qū)間范圍內(nèi)就是增函數(shù)，假設(shè)它的一階導(dǎo)數(shù)小于零，那么這個(gè)函數(shù)在它的區(qū)間范圍內(nèi)就是減函數(shù)。同理，假設(shè)g（x）在區(qū)間M內(nèi)具有一階導(dǎo)數(shù)并且在這個(gè)區(qū)間范圍內(nèi)是減函數(shù)，那么就一定有g(shù)（x） ≤0。假如g（x）在區(qū)間M內(nèi)具有一階導(dǎo)數(shù)且在其區(qū)間范圍內(nèi)是增函數(shù)，那么就一定有g(shù)（x）≥0；從導(dǎo)數(shù)的角度來(lái)看這個(gè)問(wèn)題，函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題就變成了對(duì)導(dǎo)數(shù)的研究。假如函數(shù)可導(dǎo)，求其導(dǎo)數(shù)就能夠輕而易舉的解決單調(diào)性的問(wèn)題了。由此看來(lái)，一些復(fù)雜高難度及含有參數(shù)的函數(shù)可以通過(guò)簡(jiǎn)單的求導(dǎo)的方法來(lái)解決。

（三） 運(yùn)用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的法則，對(duì)復(fù)合函數(shù)進(jìn)行求解運(yùn)算

在高中數(shù)學(xué)中，復(fù)合函數(shù)是由內(nèi)外兩個(gè)函數(shù)組合而成的。它的定義是函數(shù)y=g（t（x））是用函數(shù)y=g（t）和函數(shù)f=t（x）組合而成的，其中f=t（x）是內(nèi)層函數(shù)，y = g（t） 是外層函數(shù)。

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是由兩個(gè)函數(shù)共同決定的，假如內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性不同，那么整個(gè)函數(shù)就是遞減函數(shù)。相反，假如內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性相同，那么復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性就是遞增函數(shù)。

（四） 對(duì)函數(shù)的基本圖像進(jìn)行分析，解決函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題

圖像是最基本也是最直觀的方式，我們?cè)趫D像中能夠直接的看出函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)然這些都應(yīng)該是在我們對(duì)各種基本函數(shù)的具體圖像熟練掌握的基礎(chǔ)之上。我們除了可以直接的看出函數(shù)的單調(diào)性之外，我們也可以看出函數(shù)的對(duì)稱性，這是一種新型的解題思路，我們可以利用函數(shù)自身的對(duì)稱性以及兩個(gè)函數(shù)之間的對(duì)稱性來(lái)解決問(wèn)題。

結(jié)語(yǔ)：在高中數(shù)學(xué)中，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是最常見(jiàn)的問(wèn)題，因?yàn)檫@方面的題型涉及的范圍比較廣，所以對(duì)函數(shù)單調(diào)性的考察也是越來(lái)越熱門。除此之外，我們可以利用函數(shù)的單調(diào)性對(duì)其進(jìn)行一般的轉(zhuǎn)化，也有求解方程參數(shù)的范圍以及不等式恒成立求參數(shù)的問(wèn)題。函數(shù)單調(diào)性還可以對(duì)一些特殊的不等式進(jìn)行解答，但是，熟練地掌握函數(shù)單調(diào)性是解決這些問(wèn)題的一個(gè)必要前提。

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