鋼筋混凝土梁撓度計(jì)算方法適用性分析

摘 要：文章討論了鋼筋混凝土梁受彎撓度常見的幾種計(jì)算方法，簡單地闡述了國內(nèi)外現(xiàn)行規(guī)范對鋼筋混凝土梁撓度理論計(jì)算的依據(jù)，并通過具體例子分別采用中美俄各國規(guī)范短期撓度計(jì)算進(jìn)行了對比分析，綜合分析了各種方法的適用性。

關(guān)鍵詞：鋼筋混凝土梁；規(guī)范；剛度；撓度計(jì)算；對比分析

鋼筋混凝土梁在使用的過程中，在自重和外力的作用下會產(chǎn)生撓曲變形，而過大的撓曲變形將影響結(jié)構(gòu)的正常使用。因此，為了保證結(jié)構(gòu)正常的使用功能，延長結(jié)構(gòu)的使用壽命，就必須要求鋼筋混凝土梁具有足夠的剛度來抵抗外部的荷載作用，使得構(gòu)件在使用荷載作用下跨中的最大撓度計(jì)算值不超過容許的限值最大值。文章根據(jù)不同國家對《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》計(jì)算跨中撓度的規(guī)定，明確了鋼筋混凝土矩形梁變形性能的主要因素，綜合分析了撓度的計(jì)算方法，并通過試驗(yàn)驗(yàn)證來對比分析各種規(guī)范的之間的差異性以及各種規(guī)范的適用性。

1 幾種主要的撓度計(jì)算方法

對普通鋼筋混凝土梁跨中撓度的計(jì)算，國內(nèi)外很多研究學(xué)者進(jìn)行了大量的試驗(yàn)研究，并提出了不少的撓度計(jì)算方法，總的來說主要有：有效慣性矩法、剛度解析法、雙線性法以及曲率積分法四大類。

1.1 有效慣性矩法

一般認(rèn)為，混凝土彈性模量在整個(gè)使用過程中是恒定不變的，鋼筋混凝土梁的截面剛度主要取決于慣性矩的大小，而有效慣性矩法就是使用整個(gè)構(gòu)件的平均慣性矩來計(jì)算的。假定混凝土開裂前的慣性矩Ig是其上限值，鋼筋屈服、受拉混凝土開裂完全退出工作后的慣性矩Icr是其下限值，那么平均慣性矩Ie就介于兩者之間。因此，采用一個(gè)介于未開裂和全開裂之間的慣性矩Ie將能產(chǎn)生比較合理的抗彎剛度來計(jì)算構(gòu)件撓度的精確度。

該方法最初是由D.E.Branson在1965年提出來的，對于已開裂構(gòu)件在正常使用范圍內(nèi)的撓度計(jì)算采用下列的有效慣性矩來確定抗彎剛度：

式中Mcr為首次開裂時(shí)的彎矩值；Ma為構(gòu)件中當(dāng)擬計(jì)算其撓度時(shí)的最大彎矩；Ie為用以撓度計(jì)算的有效慣性矩；Ig忽略配筋的混凝土毛截面對其形心軸的慣性矩；Icr換算成混凝土的已開裂截面的慣性矩；m=3。該式被《美國房屋建筑混凝土結(jié)構(gòu)規(guī)范》AIC318-05采納。

1.2 剛度解析法

剛度解析法就是根據(jù)截面的變形條件、材料的本構(gòu)關(guān)系和力學(xué)方程得到截面的平均剛度。由于鋼筋混凝土梁的純彎段在彎矩作用下出現(xiàn)裂縫后，受拉鋼筋的拉應(yīng)變和受壓區(qū)混凝土的壓應(yīng)變沿縱向是不均勻分布的，裂縫截面處最大，裂縫間則為曲線變化；這就表明即使在純彎區(qū)段，各個(gè)截面雖然承受的彎矩相同，但是各截面抗彎剛度卻不相同，裂縫截面處的小些，裂縫間截面處的大些。所以，驗(yàn)算其變形時(shí)采用的截面抗彎剛度是指純彎區(qū)段內(nèi)平均截面抗彎剛度。根據(jù)大量的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行回歸分析得到平均抗彎剛度的最終計(jì)算公式為：

式中Es鋼筋彈性模量；As受拉鋼筋面積；h0截面有效高度；αE鋼筋混凝土彈性模量之比；ρ受拉鋼筋配筋率；γ′f T型，工字型截面受壓翼緣面積與腹板有效面積之比，矩形時(shí)γ′f=0；Mq由永久荷載效應(yīng)組合控制的作用下正常使用極限狀態(tài)的大??；ψ為裂縫間縱向受拉鋼筋應(yīng)變不均勻系數(shù)，取值范圍為0.2～1.0；該式被中國《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》GB50010-2010采用。

1.3 雙線性法

采用該方法首先要計(jì)算某一荷載值下的分配比系數(shù)ξ，再通過計(jì)算無裂縫狀態(tài)和全裂縫狀態(tài)下的曲率計(jì)算構(gòu)件跨中撓度，其計(jì)算公式為：

式中β為分布系數(shù)，Mcr為特征截面上的開裂彎矩；M為作用在特征截面上的彎矩；f1，f2分別為在荷載M作用下未開裂狀態(tài)和全開裂狀態(tài)計(jì)算的撓度。歐洲規(guī)范EN1992-1-1：2004采用該方法計(jì)算構(gòu)件的短期撓度。

1.4 曲率積分法

該方法是通過計(jì)算構(gòu)件的截面曲率而得到各面的撓度值。計(jì)算公式如下：

式中：Mx沿所求位移方向作用的單位力在截面x處引起的彎矩，x沿需確定撓度的構(gòu)件跨度l變化；（1/r）x由確定撓度的外荷載在截面x處引起的構(gòu)件總曲率；該公式被俄羅斯標(biāo)準(zhǔn)《鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)》CΠ52-101-2003采用。

2 國內(nèi)外規(guī)范中短期撓度計(jì)算方法

2.1 美國《房屋建筑混凝土結(jié)構(gòu)規(guī)范》ACI 318-08

美國規(guī)范ACI 318-08的剛度計(jì)算方法采納的是有效慣性矩法。有效慣性矩法公式見公式（1），其中對于普通容重混凝土：

式中fr為混凝土拉斷模量；yt為從毛截面形心軸到受拉邊的距離；fc為混凝土規(guī)定抗壓強(qiáng)度；χ為混凝土開裂后中性軸高度；Ιg、Ιcr、Ιe分別為未開裂慣性矩、開裂后慣性矩以及等效慣性矩。

美國規(guī)范ACI 318-08建議，受彎構(gòu)件長期撓度可取為瞬時(shí)撓度和附加撓度之和。在進(jìn)行加載破壞荷載時(shí)，不存在長期荷載作用下的附加撓度，只需計(jì)算全部荷載作用下的瞬時(shí)撓度δT，則：

2.2 歐洲規(guī)范2：《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)》EN 1992-1-1

歐洲規(guī)范中關(guān)于鋼筋混凝土構(gòu)件的短期剛度計(jì)算方法同預(yù)應(yīng)力混凝土構(gòu)件一致，采用的是雙線性法。計(jì)算公式見1.3節(jié)式（3）和（4）。

關(guān)于歐洲規(guī)范EN1992-1-1：2004，對非預(yù)應(yīng)力和預(yù)應(yīng)力構(gòu)件采用統(tǒng)一的計(jì)算模型，在計(jì)算撓度時(shí)還需要考慮混凝土的收縮和徐變，且與我國對預(yù)應(yīng)力混凝土受彎構(gòu)件撓度的計(jì)算方法相近，由于文章主要探討各種規(guī)范對普通混凝土構(gòu)件撓度計(jì)算方法，故文章暫不對該規(guī)范關(guān)于撓度計(jì)算深入探討。

2.3 俄羅斯標(biāo)準(zhǔn)《鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)》CΠ52-101-2003

俄羅斯標(biāo)準(zhǔn)《鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)》（CΠ52-101-2003）中關(guān)于鋼筋混凝土梁的撓度計(jì)算采用的是曲率法。對于工程中常見的受拉區(qū)有裂縫的等截面受彎構(gòu)件，標(biāo)準(zhǔn)指出，在彎矩不變號的每個(gè)區(qū)段，允許按應(yīng)力最大的截面計(jì)算曲率。根據(jù)規(guī)范規(guī)定簡支或懸臂構(gòu)件的最大撓度按下式確定：

式中s為與構(gòu)件計(jì)算圖形和荷載類型有關(guān)的系數(shù)；（1/r）max為由荷載引起最大彎矩截面的總曲率（針對該截面確定撓度）；l為計(jì)算長度。

由相應(yīng)于上述荷載作用引起的鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的曲率（1/r）按下式確定：

M為外荷載（考慮縱向力N引起的力矩）對與彎矩作用面垂直、并通過構(gòu)件換算截面重心軸的彎矩；D為構(gòu)件換算截面的彎曲剛度，D=EbI，I=bh3/12。無裂縫時(shí)，D=0.85EbI；有裂縫出現(xiàn)后D=Eb.redIred1=Ired1Rb/εb1.red.Rb為棱柱混凝土軸心抗壓強(qiáng)度，應(yīng)變εb.red值在短期荷載時(shí)為0.0015，Ired1的計(jì)算詳見文獻(xiàn)。

2.4 中國《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》GB50010-2010

中國規(guī)范GB50010-2010中剛度計(jì)算方法采用的是剛度解析法，規(guī)范中的短期剛度計(jì)算公式是根據(jù)國內(nèi)外大量試驗(yàn)所證實(shí)的平均應(yīng)變符合平截面假定這一事實(shí)推導(dǎo)出來的。開裂前剛度計(jì)算公式為Bs=0.85EcIc；構(gòu)件開裂后剛度計(jì)算公式見式（2），則鋼筋混凝土梁短期撓度計(jì)算公式為：

式中Mq為按荷載效應(yīng)準(zhǔn)永久組合計(jì)算的彎矩，l0為構(gòu)件的計(jì)算長度。

3 中美俄關(guān)于短期撓度計(jì)算規(guī)范的實(shí)例對比

為了更好的比較各種標(biāo)準(zhǔn)之間對鋼筋混凝土構(gòu)件的短期撓度計(jì)算的差異性，現(xiàn)通過實(shí)例進(jìn)行分析。

某鋼筋混凝土梁為適筋梁，尺寸為b×h×l=100mm×200mm× 1200mm，混凝土設(shè)計(jì)強(qiáng)度為C25，縱向受拉鋼筋外邊緣距梁底邊緣的距離為25mm，受拉鋼筋為HRB335直徑14mm；受壓鋼筋和箍筋為HPB235直徑8mm，箍筋間距為150mm；鋼筋的屈服強(qiáng)度按普通鋼筋設(shè)計(jì)值取值。試件尺寸及配筋情況，如圖1所示，并對該混凝土梁進(jìn)行四點(diǎn)加載破壞，加載方式如圖2所示。

根據(jù)上述構(gòu)件資料和各國規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)并假定混凝土等級C25與俄羅斯規(guī)范中的B25等級相同，通過計(jì)算得到各國規(guī)范計(jì)算的短期撓度隨跨中彎矩的變化規(guī)律與實(shí)際測量的跨中撓度對比圖如圖3所示。

通過計(jì)算，在正常使用極限狀態(tài)下，中國規(guī)范GB50010-2010對構(gòu)件計(jì)算的撓度值是1.294mm，而美國規(guī)范ACI 318-08計(jì)算的撓度值是1.302mm以及俄羅斯規(guī)范CΠ52-101-2003是1.194mm。對于同一構(gòu)件，采用不同的計(jì)算方法得到的短期撓度計(jì)算結(jié)果偏差較小，俄羅斯規(guī)范比中國規(guī)范偏大7%，而中國規(guī)范比美國規(guī)范計(jì)算結(jié)果均吻合較好。而實(shí)際測得構(gòu)件跨中撓度為1.488mm，較中美俄規(guī)范偏大12.5%-19.8%，但前期實(shí)測值與計(jì)算值較吻合，后期實(shí)測值偏大的主要原因可能是由于構(gòu)件開裂較大，混凝土彈性模量迅速降低造成的。由此可以看出，規(guī)范GB50010-2010在短期撓度的計(jì)算上已經(jīng)與國際接軌，有利于更好的參與國際工程的競標(biāo)，并且該規(guī)范相比美國和俄羅斯規(guī)范形式簡單，易懂易記，便于計(jì)算。

4 結(jié)語

文章討論了撓度常見的幾種計(jì)算方法，并綜合分析了各種計(jì)算方法的適用性，以期相關(guān)結(jié)果給工程研究和設(shè)計(jì)人員提供參考。隨著各國高強(qiáng)鋼筋在混凝土建筑物中的普遍推廣應(yīng)用，構(gòu)件的截面面積會相對減小，結(jié)構(gòu)構(gòu)件的剛度在很大程度上會有不利影響。所以，構(gòu)件撓度的理論的正確計(jì)算和控制在鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)變形性能驗(yàn)算上是非常重要的。

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作者簡介：梁桂林（1984- ），男，湖北隨州人，研究方向：工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。