駐波的瞬時(shí)能流密度

章 文 張 玉 張子云 衡太驊

(安徽大學(xué) 1物理與材料科學(xué)學(xué)院； 2生命科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230601)

駐波的瞬時(shí)能流密度

章 文1張 玉2張子云1衡太驊1

(安徽大學(xué)1物理與材料科學(xué)學(xué)院；2生命科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230601)

本文首先指出了人們利用瞬時(shí)能流密度解釋駐波能量的認(rèn)識(shí)誤區(qū)。之后論證了兩列簡(jiǎn)諧波在相遇區(qū)域任一點(diǎn)的瞬時(shí)能流密度等于兩列波各自的瞬時(shí)能流密度之和的條件是兩列波必須相向傳播，從而嚴(yán)格證明了駐波瞬時(shí)能流密度的結(jié)論。最后從受力的角度分析了駐波的能量只能在相鄰波腹和波節(jié)間流動(dòng)。

駐波；瞬時(shí)能流密度；疊加原理

駐波是振幅相同的兩列相干簡(jiǎn)諧波，沿同一直線(xiàn)相向傳播時(shí)，在相遇區(qū)域內(nèi)形成的一種特殊的干涉現(xiàn)象。關(guān)于駐波的能量流動(dòng)，多數(shù)大學(xué)物理教材僅簡(jiǎn)單介紹了結(jié)論，而解釋得不夠透徹。目前已有部分文獻(xiàn)分別用圖示法[1,2]和解析法[3-5]探討了駐波的能量流動(dòng)問(wèn)題。關(guān)于駐波能量的解析，人們將兩列相干簡(jiǎn)諧波的瞬時(shí)能流密度相加得到駐波的瞬時(shí)能流密度[3]，并依此分析駐波能量的傳播規(guī)律。然而，這種方法雖能正確地解釋駐波能量的流動(dòng)，卻容易使讀者對(duì)瞬時(shí)能流密度的認(rèn)識(shí)產(chǎn)生一定的誤區(qū)，即兩列簡(jiǎn)諧波疊加時(shí)波線(xiàn)上任一點(diǎn)的瞬時(shí)能流密度一定等于兩列波各自的瞬時(shí)能流密度之和。這種理解正確與否還需要從理論上嚴(yán)格論證。本文首先討論了上述問(wèn)題并嚴(yán)格證明了駐波的瞬時(shí)能流密度等于入射波和反射波瞬時(shí)能流密度之和。之后定性分析了駐波的波腹和波節(jié)處沒(méi)有能量傳播的原因。

1 瞬時(shí)能流密度的認(rèn)識(shí)誤區(qū)

1.1 文獻(xiàn)[3]中駐波瞬時(shí)能流密度的推導(dǎo)

設(shè)形成駐波的入射波和反射波(沿x軸方向傳播)的波函數(shù)分別為

式中,ρ為介質(zhì)的密度，負(fù)號(hào)表示瞬時(shí)能流密度沿x軸負(fù)方向。故駐波瞬時(shí)能流密度的大小為

I12=I1+I2=-uρω2A2sin2ωtsin2kx

(5)

1.2 能流密度的認(rèn)識(shí)誤區(qū)

文獻(xiàn)[3]中駐波瞬時(shí)能流密度的推導(dǎo)直接運(yùn)用了I12=I1+I2這個(gè)結(jié)論，這會(huì)讓我們對(duì)瞬時(shí)能流密度的認(rèn)識(shí)產(chǎn)生一定的偏差。從后面2.2節(jié)的論證就能看出I12=I1+I2這個(gè)結(jié)論并不總是成立。眾所周知，能流密度是矢量。通常一個(gè)物理量能被定義為矢量需滿(mǎn)足兩個(gè)條件，一是該物理量有大小有方向，二是兩個(gè)物理量的加法滿(mǎn)足平行四邊形法則，例如力F、速度、電場(chǎng)強(qiáng)度E等。但對(duì)于瞬時(shí)能流密度，其加法是否與矢量的加法相同？因?yàn)樵趦闪?或多列)波相遇時(shí)需滿(mǎn)足波的疊加原理。波的疊加原理僅能保證在相遇區(qū)域內(nèi)，任一質(zhì)元振動(dòng)的位移是各列波單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)引起位移的矢量和。而由此并不一定能推出總的瞬時(shí)能流密度等于兩列波各自的瞬時(shí)能流密度之和，所以需從波的疊加原理嚴(yán)格證明1.1中式(5)的結(jié)論。

2 兩列簡(jiǎn)諧波相遇區(qū)域內(nèi)的瞬時(shí)能流密度

2.1 瞬時(shí)能流密度的普適公式

(6)

運(yùn)用式(6)亦可得出式(3,4)的結(jié)果。

2.2 兩列簡(jiǎn)諧波相遇區(qū)域內(nèi)的瞬時(shí)能流密度

本小節(jié)以沿x軸傳播的兩列簡(jiǎn)諧波為例來(lái)說(shuō)明總的能流密度不一定等于兩列波的能流密度之和。設(shè)沿x軸傳播的兩列簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)分別為

式(7,8)中k和k′前的正負(fù)號(hào)分別對(duì)應(yīng)簡(jiǎn)諧波沿x軸負(fù)向和正向傳播。則由式(6)可知，兩列簡(jiǎn)諧波的瞬時(shí)能流密度分別為

(9)

根據(jù)波的疊加原理可得兩列波的合成為y34=y3+y4，因此從式(6)可得兩列波在相遇區(qū)域內(nèi)的瞬時(shí)能流密度為

(10)

式中

(11)

式(11)中的I′是兩列波的疊加項(xiàng)。從式(9-11)可明顯看出，當(dāng)且僅當(dāng)式(10)中的疊加項(xiàng)I′=0時(shí)才有I34=I3+I4成立。將式(7,8)代入式(11)可得

(12)

2.3 討論

從式(7,8,12)可以看出：

1) 若兩列簡(jiǎn)諧波都沿x軸正向傳播，且ωt-kx+φ=nπ或ω′t-k′x+φ′=nπ時(shí)，有I′=0，從而I34=I3+I4；

2) 若兩列簡(jiǎn)諧波都沿x軸正向傳播，但ωt-kx+φ≠nπ，且ω′t-k′x+φ′≠nπ時(shí)，I′≠0，從而I34≠I(mǎi)3+I4；

3) 當(dāng)兩列簡(jiǎn)諧波都沿x軸負(fù)向傳播時(shí)，經(jīng)過(guò)相同的計(jì)算也可得出與1)和2)類(lèi)似的結(jié)論；

4) 而當(dāng)兩列簡(jiǎn)諧波相向傳播時(shí)，始終會(huì)有疊加項(xiàng)I′=0成立，從而I34=I3+I4；

5) 駐波不僅滿(mǎn)足4)中的條件，而且還需要滿(mǎn)足A=A′，ω=ω′ 以及k=k′。所以對(duì)于駐波而言，總的瞬時(shí)能流密度等于入射波和反射波各自的瞬時(shí)能流密度之和。

從1)和2)可看出，對(duì)于特定時(shí)刻只有一些特殊的點(diǎn)I34=I3+I4，對(duì)于波線(xiàn)上任一特定的點(diǎn)，只在某些特殊的時(shí)刻有I34=I3+I4。至此，我們不僅嚴(yán)格證明了式(5)，而且還得出結(jié)論，即當(dāng)且僅當(dāng)兩列任意的簡(jiǎn)諧波相向傳播時(shí)，波線(xiàn)上任一點(diǎn)的瞬時(shí)能流密度始終等于兩列波各自的瞬時(shí)能流密度之和。

利用式(5)可清楚地分析出駐波中的能量?jī)H在相鄰的波腹和波節(jié)間流動(dòng)。具體的分析見(jiàn)文獻(xiàn)[3]。下一節(jié)我們將從受力的角度定性解釋駐波能量流動(dòng)的特點(diǎn)。

3 駐波能量流動(dòng)的定性解釋

考慮式(1)和式(2)中兩列簡(jiǎn)諧波形成的駐波。駐波方程為

y-{12}=y1+y2=2Acosωtcoskx

(13)

駐波的波形見(jiàn)圖1。

圖1 駐波波形

腹左邊的介質(zhì)對(duì)右邊的介質(zhì)沒(méi)有力的作用，因而波腹處不存在能量的傳播。波節(jié)處有形變，但從對(duì)稱(chēng)性(見(jiàn)圖1)可知任意時(shí)刻波節(jié)左邊介質(zhì)和右邊介質(zhì)對(duì)波節(jié)的作用力始終大小相等而方向相反，同時(shí)波節(jié)永遠(yuǎn)是靜止的，因此波節(jié)處也沒(méi)有能量的傳播。所以駐波的能量只能在相鄰的波節(jié)和波腹間流動(dòng)。駐波動(dòng)能和勢(shì)能間的轉(zhuǎn)化見(jiàn)文獻(xiàn)[4]。

4 結(jié)語(yǔ)

本文指出了人們對(duì)瞬時(shí)能流密度的認(rèn)識(shí)誤區(qū)，證明了任意兩列波相遇區(qū)域的瞬時(shí)能流密度不一定等于兩列波各自的瞬時(shí)能流密度之和。最后從受力的角度定性解釋了駐波能量只能在相鄰波節(jié)和波腹間流動(dòng)的原因。

[1] 吳穎,謝遠(yuǎn)亮.關(guān)于駐波能量的圖示法分析[J].沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào),2007,24(1):84-86. Wu Ying, Xie Yuanliang. Illustration analysis of standing wave energy[J]. Journal of Shenyang Institute of Aeronautical Engineering, 2007, 24(1): 84-86. (in Chinese)

[2] 盧艷,董慎行.用計(jì)算機(jī)模擬駐波能量的變化[J].物理與工程,2003,13(4):47-49. Lu Yan, Dong Shenxing. Imitating the energy variety of standing wave[J]. Physics and Engineering, 2003, 13(4): 47-49. (in Chinese)

[3] 郭建軍.關(guān)于駐波能量的分析[J].大學(xué)物理,2005,24(5):23-25. Guo Jianjun. An analysis of the energy of standing wave[J]. College Physics, 2005, 24(5): 23-25. (in Chinese)

[4] 李平.駐波的能量[J].大學(xué)物理,1995,14(6):46-47. Li Ping. Energy of standing wave[J]. College Physics, 1995, 14(6): 46-47. (in Chinese)

[5] 蔣練軍,李木林.駐波能量探究[J].湖南理工學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版.2004,(04):56-58. Jiang Lianjun, Li Mulin. Probe into standing wave energy[J]. Journal of Hunan Institute of Science and Technology(Natural Sciences) , 2004,(04): 56-58. (in Chinese)

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INSTANTANEOUS ENERGY FLUX DENSITY OF STANDING WAVE

Zhang Wen1Zhang Yu2Zhang Ziyun1Heng Taihua1

(1School of Physics and Materials Science，2School of Life Science, Anhui University, Hefei Anhui 230601)

Firstly, we point out the misunderstanding of people, who use the instantaneous energy flux density to explain the energy of standing wave. Then we strictly prove that the instantaneous energy flux density of two harmonic waves at arbitrary point in the crossed region is equal to the sum of the two corresponding instantaneous energy flux densities if and only if the two waves are travelling oppositely. Thus, the conclusion of instantaneous energy flux density of standing wave is strictly proved. At last, by using the force analysis, we explain the energy of standing wave can only be transited between the adjacent wave loop and wave node.

standing wave; instantaneous energy flux density; superposition principle

2015-10-15；

2016-06-30

安徽大學(xué)本科教育質(zhì)量提升計(jì)劃項(xiàng)目(xjjyxm14030，ZLTS2015054) ；安徽省省級(jí)質(zhì)量工程項(xiàng)目(2015jyxm051)。

章文，副教授，主要從事大學(xué)物理和量子信息方面的教學(xué)科研工作,wenzhang@ahu.edu.cn。

章文，張玉，張子云，等. 駐波的瞬時(shí)能流密度[J]. 物理與工程，2017，27(1)：44-46.