三角解答題集錦

■江蘇省鹽城市時楊中學 劉長柏

三角解答題集錦

■江蘇省鹽城市時楊中學 劉長柏

三角函數(shù)具有完備的函數(shù)性質(zhì),又因其本身具備三角公式及其變換,使三角函數(shù)問題層次分明、富于變化。因此,有關(guān)三角函數(shù)的解答題是歷屆高考的命題熱點,以三角函數(shù)為載體的立意新穎的應(yīng)用問題一直受到命題者的青睞。

考點1：考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)

三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)是三角函數(shù)內(nèi)容的重要組成部分,主要涉及三角函數(shù)的解析式的探求、圖像變換、三角函數(shù)的性質(zhì)(如定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性等)。具體可以從兩個角度來理解和求解有關(guān)的性質(zhì)問題。一是從“數(shù)”的角度,一定要將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì)記清楚。二是從“形”的角度,即能夠通過函數(shù)圖像來描述相應(yīng)的函數(shù)性質(zhì),能夠通過圖像的運動情況來研究和解決相應(yīng)的性質(zhì)問題。

圖1

(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式;

解析：(1)由圖像知A=2。

練習題1已知函數(shù)f(x)=

(Ⅰ)求f(x)的最大值和最小值;

解析：(Ⅰ)

所以f(x)max=3,f(x)min=2。

故m＞f(x)max-2且m＜f(x)min+2,得1＜m＜4,即m的取值范圍是(1,4)。

考點2：三角函數(shù)與三角形“接觸”以三角函數(shù)為載體,考查解三角形的問題,給出邊角的三角關(guān)系,求角或邊的取值范圍、最值問題,以及判斷三角形的形狀等,主要考查三角變換及正弦定理、余弦定理的運用。主要求解思路是利用三角形的基礎(chǔ)知識(如內(nèi)角和定理、大邊對大角等)、正(余)弦定理、面積公式等,并結(jié)合三角公式進行三角變換,從而獲解,注意隱含條件的挖掘。

(2)已知△A B C的內(nèi)角A,B,C對應(yīng)的邊分別為a,b,c,若且a=4,b+ c=5,求△A B C的面積。

解析：(1)

由余弦定理知a2=b2+c2-2b cc o sA,即1 6=b2+c2-b c,即1 6=(b+c)2-3b c,因為b+c=5,所以b c=3。

點評:三角函數(shù)與解三角形的綜合性問題,是近幾年高考的熱點。這類題型難度比較低,一般出現(xiàn)在第1 7或1 8題的位置,屬于送分題,估計以后這類題型仍會保留,不會有太大改變。解決此類問題,要根據(jù)已知條件,靈活運用正弦定理或余弦定理,求邊角或?qū)⑦吔腔セ?/p>

練習題2在銳角三角形A B C中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知s i nA=

(1)求t a nB;

(2)若b=5,求c。

解析：(1)在銳角三角形A B C中,由 s i nA=,得

所以s i nC=s i n(A+B)=s i nAc o sB+

點評:處理解三角形的綜合性問題時,要根據(jù)已知條件,靈活運用正弦定理、余弦定理及三角公式,求邊角或?qū)⑦吔腔セ?/p>

考點3：三角函數(shù)與平面向量“牽手”

以平面向量知識為平臺考查三角函數(shù)問題,是近幾年高考題中比較“搶眼”的一種題型。主要涉及平面向量的平行、垂直、數(shù)量積、模長等與三角函數(shù)相結(jié)合,探求三角函數(shù)的值、最值、值域、單調(diào)性等問題。此類題的解題思路是轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題,其轉(zhuǎn)化途徑主要有三種:一是利用向量平行或垂直的充要條件;二是利用向量數(shù)量積的公式和性質(zhì);三是利用向量模長公式。

已知向量a=(1+s i n2x, s i nx-c o sx),b=(1,s i nx+c o sx),函數(shù)f(x)=a·b。

(1)求f(x)的最大值及相應(yīng)的x的值;

解析：(1)因為a=(1+s i n2x,s i nxc o sx),b=(1,s i nx+c o sx),所以f(x)= a·b=1+s i n2x+s i n2x-c o s2x=1+

(2)由f(θ)=1+s i n2θ-c o s 2θ=,得s i n 2θ-c o s 2θ=,兩邊平方得1-s i n4θ=,即s i n 4θ=

點評:很多問題中的向量數(shù)量積都是“曇花一現(xiàn)”,其實質(zhì)作用就是構(gòu)造三角恒等式,為解題提供三角方程。本小題主要考查向量的基本概念,同時考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角的正弦、兩角和的正弦與余弦公式,考查運算和證明的基本能力。

練習題3 已知兩個向量m=(c o sθ, s i nθ),n=(2+s i nθ,2-c o sθ),其中,且滿足m·n=1。

解析：(1)依題意,得m·n= c o sθ(2+s i nθ)+s i nθ(2-c o sθ)= 2(s i nθ+c o sθ)=4 s i n =1,則

考點4：三角函數(shù)與實際應(yīng)用“共舞”

三角函數(shù)應(yīng)用題是以解三角形、正(余)弦定理、正(余)弦函數(shù)等知識為核心,以測量、航海、筑路、天文等為代表的實際應(yīng)用問題,是高考應(yīng)用題的熱點題型之一。求解這類問題時,應(yīng)仔細審題,提煉題目信息,恰當引入角作為參變量,將圖形語言轉(zhuǎn)化為與三角函數(shù)有關(guān)的符號語言,構(gòu)造三角形,借助正弦定理、余弦定理、勾股定理、三角函數(shù)、不等式等知識求解。

如圖2,某市擬在長為8k m的道路O P的一側(cè)修建一條運動賽道,賽道的前一部分為曲線O S M,該曲線為函數(shù)y= As i nω x(A＞0, ω＞0),x∈[0,4]的圖像,且圖像的最高點為S(3, 2);賽道的后一部分為折線段MN-P,為保證參賽運動員的安全,限定∠MNP=1 2 0°。

圖2

(1)求A,ω的值和M,P兩點間的距離;

(2)應(yīng)如何設(shè)計,才能使折線段賽道MN-P最長?

解析：(1)依題意,有又所以

(2)在△MNP中,∠MNP=1 2 0°, MP=5,設(shè)∠PMN=θ,則0°＜θ＜6 0°,由正弦定理得,所以

因為0°＜θ＜6 0°,所以當θ=3 0°時,折線段賽道M-N-P最長,即將∠PMN設(shè)計為3 0°時,折線段賽道M-N-P最長。

點評:求解應(yīng)用問題時,應(yīng)仔細讀題,細嚼慢咽,理解重點字詞,抓住主干,去偽存真,真正領(lǐng)會條件的內(nèi)涵。第(2)問中易忽視∠PMN的取值范圍為(0°,6 0°),從而出現(xiàn)解題不嚴密的錯誤。

練習題4 如圖3,游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑。一種是從A沿直線步行到C,另一種是先從A沿索道乘纜車到B,然后從B沿直線步行到C。現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山,甲沿A C勻速步行,速度為5 0 m/m i n。在甲出發(fā)2m i n后,乙從A乘纜車到B,在B處停留1 m i n后,再勻速步行到C。假設(shè)纜車勻速直線運動的速度為1 3 0m/m i n,山路A C的長為12 6 0m,經(jīng)測量,

圖3

(1)求索道A B的長。

(2)問:乙出發(fā)多少分鐘后,乙在纜車上與甲的距離最短?

(3)為了使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3m i n,乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?

解析：(1)因為所以所以

(2)設(shè)乙出發(fā)tm i n后,甲、乙的距離為d,則d2=(1 3 0t)2+(1 0 0+5 0t)2-2×5 0)。

乙從B出發(fā)時,甲已經(jīng)走了5 0(2+8+ 1)=5 5 0(m),還需走7 1 0m才能到達C。

為了使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3m i n,所以乙步行的速度應(yīng)控制在范圍內(nèi)。

(責任編輯 王福華)