考慮水輪機(jī)特性項的尾水調(diào)壓室臨界穩(wěn)定斷面公式研究

楊 飛，李路明，李高會

(中國電建集團(tuán)華東勘測設(shè)計研究院有限公司，杭州 311100)

0 引 言

調(diào)壓室穩(wěn)定斷面的確定對于電站的穩(wěn)定運行具有至關(guān)重要的作用。1910年，Thomas通過簡化數(shù)學(xué)模型[1]，給出了最早的調(diào)壓室穩(wěn)定斷面公式：

(1)

該公式的推導(dǎo)建立在理想水輪機(jī)和理想調(diào)速器的方程下，并假定調(diào)壓室與壓力引水道聯(lián)通點的下游一端的水頭與流量之積為常數(shù)；隨后，Garden、Evangelisti等[1]對該公式進(jìn)行了進(jìn)一步的研究，并給出了包含水輪機(jī)效率項的調(diào)壓室穩(wěn)定斷面公式，但二者給出的公式中效率項均為微分形式，求解過程較為復(fù)雜；楊建東等[2]進(jìn)一步研究了水輪機(jī)特性等因素對于調(diào)壓室臨界穩(wěn)定斷面的影響，但其計算仍需對水輪機(jī)綜合特性曲線進(jìn)行插值等計算，過程較為煩瑣。由此可見，以上學(xué)者均未給出可以直接用于計算水輪機(jī)特性影響的調(diào)壓室穩(wěn)定斷面表達(dá)公式，而水輪機(jī)特性對于調(diào)壓室穩(wěn)定斷面的影響不可忽略。因此，本文將結(jié)合調(diào)壓室及水道局部模型、發(fā)電機(jī)及負(fù)荷局部模型、調(diào)速器局部模型等，利用傳遞函數(shù)[3]的思想，力求推導(dǎo)出一個可以直接用于計算水輪機(jī)特性影響的尾水調(diào)壓室穩(wěn)定斷面表達(dá)公式，并進(jìn)一步探討水輪機(jī)特性對于尾水調(diào)壓室穩(wěn)定斷面的影響。

1 公式推導(dǎo)

1.1 尾水調(diào)壓室及水道局部模型

包括尾水調(diào)壓室在內(nèi)的水道基本方程分別為調(diào)壓室連續(xù)方程、壓力尾水道水流運動方程和壓力管道水流運動方程：

Tgzs=qP-qT

(2)

TwqTs=z-k1qT

(3)

h=-z-TeqPs-k2qp

(4)

聯(lián)合式(2)、式(3)、式(4)并消去變量z和qT得：

(5)

研究表明，壓力管道水流加速時間常數(shù)Te對調(diào)壓室穩(wěn)定斷面影響極小，完全可忽略。因此，式(5)可簡化為：

(6)

1.2 水輪機(jī)局部模型

根據(jù)水輪機(jī)出力、單位流量與單位轉(zhuǎn)速方程不難得出水輪機(jī)局部模型：

(7)

1.3 理想孤網(wǎng)條件下發(fā)電機(jī)及負(fù)載局部模型

發(fā)電機(jī)組轉(zhuǎn)動部分運動方程、水輪機(jī)做功方程和負(fù)荷阻力矩方程分別為：

(8)

求解上述方程組，得出機(jī)組轉(zhuǎn)速對水輪機(jī)出力的傳遞函數(shù)在不計發(fā)電機(jī)損耗的情況下為：

(9)

1.4 調(diào)速器局部模型

當(dāng)不考慮調(diào)速器中的加速度環(huán)節(jié)和忽略液壓放大系統(tǒng)中的對計算結(jié)果影響較小的時間常數(shù)時，PI型軟反饋調(diào)速器方程可簡化為：

(10)

式中：y為接力器行程或?qū)~開度相對值；nref為轉(zhuǎn)速給定相對值；bp為調(diào)速器的永態(tài)轉(zhuǎn)差系數(shù)；bt為暫態(tài)轉(zhuǎn)差系數(shù)；Td為緩沖時間常數(shù)。

對式(10)進(jìn)行拉普拉斯變換可得其傳遞函數(shù)表達(dá)式為：

(11)

1.5 系統(tǒng)整體模型

1.5.1 帶調(diào)壓室的水輪發(fā)電機(jī)組開環(huán)傳遞函數(shù)

將式(6)、式(7)和式(9)聯(lián)立：

(12)

應(yīng)用剛性水擊理論，可以認(rèn)為壓力管道流量與水輪機(jī)流量相等，即qp=q。整理上面的聯(lián)立方程組，消去h、q、p后可得到帶調(diào)壓室的水輪發(fā)電機(jī)組的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

(13)

式中：b2=TgTwQy[(1+eq)-k2(1+eh)]；b1=k1TgQy[(1+eq)-k2(1+eh)]-TwQy(1+eh)；b0=Qy(1+eq)-Qy(k1+k2)(1+eh)；a3=(1+0.5k2)TgTwTa；a2=k1TgTa(1+0.5k2)+0.5TwTa；a1=(1+0.5k1+0.5k2)Ta；a0=0。

1.5.2 帶調(diào)壓室的水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)

為推導(dǎo)方便計，令b′t=bt+bp, 式(11)可寫為：

(14)

根據(jù)單位反饋系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)計算公式，帶調(diào)壓室的水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

(15)

式中：B3=[1-k2δ]TdTgTwQy；B2=k1(1-k2δ)TgTdQy-δTwTdQy+(1-k2δ)TwTgQy；B1=[1-(k1+k2)δ]TdQy+k1(1-k2δ)TgQy-δTwQy；B0=Qy[1-(k1+k2)δ]；C4=γ(1+0.5k2)TgTwTab′tTd；C3=[1-k2δ]TdTgTwQy+k1(1+0.5k2)γb′tTgTaTd+0.5γb′tTwTaTd+(1+0.5k2)γbpTgTaTw；C2=k2[1-k2δ]TgTdQy-δTwTdQy+(1+0.5k1+0.5k2)γb′tTaTd+[1-k2δ]TwTgQy+k1(1+0.5k2)λbpTgTa+0.5γbpTwTa；C1=[1-(k1+k2)δ]TdQy+k1[1-k2δ]TgQy-δTwQy+(1+0.5k1+0.5k2)γbpTa；C0=Qy[1-(k1+k2)δ]。

1.6 包含水輪機(jī)效率的調(diào)壓室穩(wěn)定斷面公式

式(15)就是本文建立的在理想孤網(wǎng)運行條件下用于作調(diào)壓室小波動穩(wěn)定分析的整體數(shù)學(xué)模型。這個模型用傳遞函數(shù)表達(dá)，是一個4階動態(tài)模型。一個閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母即為該系統(tǒng)的特征多項式，因此該系統(tǒng)的特征方程為：

C4s4+C3s3+C4s4+C1s+C0=0

(16)

如果假定調(diào)速器為理想調(diào)速器，即可令b′t=0，bp=0，Td=0，系統(tǒng)的特征方程式由四次變?yōu)槎危?/p>

C2s2+C1s+C0=0

(17)

式中：C0=Qy[1-(k1+k2)δ]；C1=k1(1-k2δ)TgQy-δTwQy；C2=(1-k2δ)TeTgQy。根據(jù)Routh-Hurwiz穩(wěn)定判據(jù)，對于一個二階系統(tǒng)，系統(tǒng)穩(wěn)定應(yīng)滿足的充分必要條件是特征多項式的三個系數(shù)均大于零，即C0>0，C1>0，C2>0 。通過對本文中定義的無量綱參數(shù)k1,k2的分析我們知道，在一般的水電站中它們的值都遠(yuǎn)小于1。而相關(guān)分析表明δ是一個1.0到1.3左右的值，因此C0>0和C2>0這兩個條件的滿足是不成問題的。因此，系統(tǒng)的穩(wěn)定只要滿足C1>0 即可。而該系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界條件為C1=0，即：

k1(1-k2δ)Tg-δTw=0

(18)

根據(jù)前文中對k2、k3的定義，上式可整理為：

(19)

式(19)就是本文得到的目前較為完整的考慮水輪機(jī)特性的尾水調(diào)壓室臨界穩(wěn)定斷面公式。比較式(19)與規(guī)范中的尾水調(diào)壓室臨街穩(wěn)定斷面公式[4]：

(20)

可以看出，當(dāng)不考慮水輪機(jī)特性的影響時，水輪機(jī)特性相關(guān)項δ=1，式(19)與規(guī)范公式(20)一致。

1.7 關(guān)于公式中δ參數(shù)的討論

由δ的定義可以看出，δ值可以根據(jù)實際的水輪機(jī)特性曲線通過數(shù)值差分進(jìn)行求解，而反映水輪機(jī)特性的數(shù)據(jù)往往來自模型試驗數(shù)據(jù)，模型試驗數(shù)據(jù)是離散的，因此，通過數(shù)值差分計算的δ值結(jié)果的準(zhǔn)確性較差。研究表明，δ值與水輪機(jī)的比轉(zhuǎn)速存在一定的相關(guān)性。1994年Norconsult用數(shù)理統(tǒng)計方法來找其中的相關(guān)性，并給出了δ的經(jīng)驗計算公式：

δ=0.000 9ns+1.044

(21)

由此，式(19)可直接用于計算考慮水輪機(jī)特性影響下的尾水調(diào)壓室穩(wěn)定斷面積。需要注意的是，式(21)中的δ值是在額定凈水頭下接近滿開度運行時δ的經(jīng)驗公式，因此在實際應(yīng)用中存在一定的近似。

2 算例分析

為了對進(jìn)一步說明式(19)中水輪機(jī)特性項對于尾水調(diào)壓室穩(wěn)定斷面的影響，選取國外某低水頭電站為例，分別采用規(guī)范公式(20)與本文推導(dǎo)的式(19)計算3種典型工況下的臨界穩(wěn)定斷面，并對計算結(jié)果進(jìn)行分析。電站基本資料如下：電站共6臺機(jī)，單機(jī)容量102 MW，引水單洞單機(jī)，尾水三機(jī)一洞共用一尾水調(diào)壓室。額定水頭60 m，上游正常蓄水位1 030.00 m，上游死水位1 028.00 m，下游六臺機(jī)發(fā)電水位961.23 m，實測歷史最高洪水位963.3 m。壓力尾水道長8 672.5 m，壓力尾水道斷面積141.56 m2，單機(jī)引用流量182.1 m3/s，壓力尾水道流速3.86 m/s，壓力尾水道水頭損失6.6 m，壓力管道水頭損失1.12 m，尾水管延伸段水頭損失1.18 m。采用規(guī)范公式(20)與本文推導(dǎo)公式(19)計算的尾水調(diào)壓室結(jié)果如表1所示。

表1 本文公式與規(guī)范公式臨界穩(wěn)定斷面計算結(jié)果Tab.1 Critical stable area of the tailrace surge chamber caculatedby stanfard formula (20) and (19) derived in this paper

注：均用額定流量算便于比較。由于水頭差異，在同一流量下，開度與出力都不相同。

比較表1中規(guī)范公式與本文公式計算結(jié)果可以看出，對于本電站目前所采用的尾水調(diào)壓室斷面，采用規(guī)范公式計算的安全系數(shù)均大于1，即在三種工況下，調(diào)壓室均是穩(wěn)定的；而采用本文公式的計算結(jié)果表明，三種典型工況下尾水調(diào)壓室安全系數(shù)均小于1，即考慮了水輪機(jī)特性之后，尾水調(diào)壓室不穩(wěn)定。由此可以看出，在這三種工況下，水輪機(jī)特性對調(diào)壓室穩(wěn)定是不利的。為了進(jìn)一步確定三種工況下調(diào)壓室的穩(wěn)定性，采用數(shù)值計算的方法對三種工況進(jìn)行小波動分析，小波動工況如下。

工況1：1號機(jī)、2號機(jī)、3號機(jī)初始出力分別為:102，104, 104 MW；初始凈水頭分別為：58.95，58.8，58.8 m；負(fù)荷擾動后出力：104，104，104 MW；擾動后導(dǎo)葉開度中間值： (約) 0.93，0.93， 0.93。

工況2：1號機(jī)、2號機(jī)、3號機(jī)初始出力分別為:98，100，100 MW；初始凈水頭分別為：57.4，57.2，57.2 m；負(fù)荷擾動后出力:100，100, 100 MW；擾動后導(dǎo)葉開度中間值:(約)0.94，0.94，0.94 。

工況3：初始出力: 1號機(jī)：90 MW ，2號、3號機(jī)92 MW；初始開度: 0.86 ，0.88，0.88；初始凈水頭: 56.6， 56.4，56.4 m；負(fù)荷擾動后出力: 92，92，92 MW；擾動后導(dǎo)葉開度中間值:(約) 0.89，0.89，0.89。

對以上3種工況進(jìn)行數(shù)值模擬，調(diào)壓室水位波動計算結(jié)果如圖1～圖3所示。

圖1 實際斷面工況1尾水調(diào)壓室水位波動過程線Fig.1 Water level fluctuation hydrograph of the tailrace surge chamber in condition 1

圖2 實際斷面工況2尾水調(diào)壓室水位波動過程線Fig.2 Water level fluctuation hydrograph of the tailrace surge chamber in condition 2

圖3 實際斷面工況3尾水調(diào)壓室水位波動過程線Fig.3 Water level fluctuation hydrograph of the tailrace surge chamber in condition 3

分析：圖1、2、3分別為尾水調(diào)壓室斷面取實際斷面2 979 m2時，工況1～3的調(diào)壓室水位波動過程，分析這3幅圖可以看出，工況1、2的尾水調(diào)壓室水位波動呈現(xiàn)擴(kuò)散的現(xiàn)象，即在工況1、2下尾水調(diào)壓室的實際安全系數(shù)小于1；工況3的尾水調(diào)壓室水位波動衰減微弱，說明此工況下調(diào)壓室實際安全系數(shù)接近1，調(diào)壓室?guī)缀跆幱谂R界狀態(tài)。當(dāng)調(diào)壓室斷面按照本文公式的計算取值時，工況1～3的調(diào)壓室水位波動過程如圖4～圖6。由圖4～圖6可以看出，當(dāng)尾水調(diào)壓室斷面按照本文推倒的公式取值時，工況1～3下的調(diào)壓室水位波動均呈現(xiàn)收斂的趨勢，即當(dāng)采用本文公式計算的調(diào)壓室穩(wěn)定斷面值時，調(diào)壓室小波動穩(wěn)定。以上數(shù)值分析結(jié)果表明，表1中采用本文公式的穩(wěn)定斷面與實際更為一致，安全性更高。而分析以上結(jié)果產(chǎn)生的原因，必須將水輪機(jī)特性系數(shù)δ考慮進(jìn)來。相關(guān)分析結(jié)果表明[2]，δ值與水輪機(jī)開度有關(guān)，開度越大，δ值越大，對調(diào)壓室的穩(wěn)定斷面要求越高。由此，本文根據(jù)實際的水輪機(jī)特性曲線，給出了額定水頭(60 m)下δ及其他有關(guān)參數(shù)與導(dǎo)葉開度的函數(shù)關(guān)系。

圖4 計算值斷面工況1尾水調(diào)壓室水位波動過程線Fig.4 Water level fluctuation hydrograph of the tailrace surge chamber in condition 1

圖5 計算值斷面工況2尾水調(diào)壓室水位波動過程線Fig.5 Water level fluctuation hydrograph of the tailrace surge chamber in condition 2

圖6 計算值斷面工況3尾水調(diào)壓室水位波動過程線Fig.6 Water level fluctuation hydrograph of the tailrace surge chamber in condition 6

根據(jù)工況1、2、3擾動后的機(jī)組開度值對照表2通過插值方法可以計算出3種工況下的水輪機(jī)特性系數(shù)δ分別為1.15、1.2、1.03。其中工況1、2下的水輪機(jī)特性系數(shù)δ較最低水頭工況3的δ大很多，即水輪機(jī)特性對工況1、2下尾水調(diào)壓室的負(fù)面作用遠(yuǎn)大于工況3，且這種影響已經(jīng)超過凈水頭對于穩(wěn)定斷面的影響，從而導(dǎo)致工況1、2下的尾水調(diào)壓室均是不穩(wěn)的，且最低水頭工況3的安全系數(shù)超過工況1、2，最不利工況已從最小水頭工況3轉(zhuǎn)移。由此可以看出，水輪機(jī)特性對于尾水調(diào)壓室穩(wěn)定斷面影響顯著，考慮水輪機(jī)特性的尾水調(diào)壓室穩(wěn)定斷面公式(19)安全性更高。需要說明的是，本文的都是基于孤網(wǎng)的分析，考慮到實際的電網(wǎng)特征，對于實際調(diào)壓室斷面小于公式(19)計算結(jié)果的調(diào)壓室亦可能是穩(wěn)定的，具體須結(jié)合實際電網(wǎng)進(jìn)行數(shù)值分析驗證。

表2 δ及其他有關(guān)參數(shù)與導(dǎo)葉開度的函數(shù)關(guān)系Tab.2 Functional relationship between δ and guide vane opening

3 結(jié) 語

(1)本文推導(dǎo)出的包含水輪機(jī)特性項在內(nèi)的尾水調(diào)壓室穩(wěn)定斷面公式相比較于規(guī)范公式是更為嚴(yán)格的調(diào)壓室穩(wěn)定斷面計算公式，其中水輪機(jī)特性項可采用經(jīng)驗公式進(jìn)行估算，因此該公式具有使用簡便，安全性高的特點。

(2)實際工程案例表明，考慮水輪機(jī)特性后的尾水調(diào)壓室穩(wěn)定最不利工況有可能從最小水頭工況轉(zhuǎn)移，實際最不利工況需要通過數(shù)值計算進(jìn)一步確定。

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[1] 耶格爾C.水力不穩(wěn)定流[M]. 王樹人,等譯. 遼寧大連：大連工學(xué)院出版社，1987.

[2] 楊建東，賴 旭，陳鑒治，等.水輪機(jī)熱性對調(diào)壓室穩(wěn)定斷面的影響[J].水利學(xué)報，1998，2(2)：7-11.

[3] 沈祖詒.水輪機(jī)調(diào)節(jié)[M]. 北京：水利水電出版社，1988.

[4] 國家能源局.水電站調(diào)壓室設(shè)計規(guī)范[M]. 北京：中國電力出版社，2015.