圓錐曲線正交弦的性質(zhì)及其應(yīng)用
——一道課本習題的歸納和延伸

☉湖北省十堰市鄖陽中學 梁修曦

圓錐曲線正交弦的性質(zhì)及其應(yīng)用
——一道課本習題的歸納和延伸

☉湖北省十堰市鄖陽中學 梁修曦

原題如圖1，直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于A，B兩點，求證：OA⊥OB．

這是人教版教材選修2-1第73頁習題2．4的第6題，此問題可歸納為一般性質(zhì)：A，B是拋物線y2= 2px（p＞0）上的兩點，O為坐標原點，若OA⊥OB，則直線AB過定點（2p，0）；反之亦成立．

筆者猜想，橢圓和雙曲線中是否有類似的性質(zhì)呢？經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)，答案是肯定的．

圖1

一、過圓錐曲線頂點的正交弦的性質(zhì)

性質(zhì)1A，B，C是圓錐曲線上不重合的三個點，若CA⊥CB，則直線AB過一個定點．

應(yīng)用1A、B是拋物線y2=2px（p＞0）上的兩點，O為坐標原點，若OA⊥OB，求線段AB中點D的軌跡方程．

解析：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），則運用點差法可得．由“原題及歸納”知，定點Q（2p，0）也在AB上，故，可得D點的軌跡方程為y2=px-2p2．

于是筆者再猜想，將正交弦的交點換到橢圓和雙曲線的中心，是否還有其他的性質(zhì)呢？

二、過橢圓和雙曲線中心的正交弦的性質(zhì)

性質(zhì)2A、B是橢圓或雙曲線上的兩點，O為坐標原點，若OA⊥OB，則有以下結(jié)論：

（2）弦AB與定圓相切．

應(yīng)用2已知中心在原點、焦點在x軸上的橢圓C上任一點到兩焦點的距離之和為4，且橢圓的離心率為，單位圓O的切線l與橢圓C相交于A、B兩點．

（1）求證：OA⊥OB；

（2）求△OAB面積的最小值．（2016肇慶市三模）

最后，我們將正交弦的交點移至圓錐曲線的焦點，又有了新的發(fā)現(xiàn)．

三、過圓錐曲線焦點的正交弦的性質(zhì)

性質(zhì)3F是圓錐曲線的焦點，過點F作兩條互相垂直的直線l1，l2，與拋物線分別交于P，Q及M，N，則均為定值．

若F是拋物線y2=2px（p＞0）的焦點，則上述定值分別為

應(yīng)用3已知橢圓的兩個焦點為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），且橢圓與直線相切．

（1）求橢圓的方程；

（2）過F1作兩條互相垂直的直線l1，l2，與橢圓分別交于P，Q及M，N，求四邊形PMQN的面積的最值．（2011卓越聯(lián)盟自主招考）

當且僅當PQ=MN時取等號．故四邊形PMQN的面積的最小值為

值得一提的是，圓錐曲線背景下的正交弦問題，近十年來高考試題曾多次涉及，而定值和最值問題又是圓錐曲線中的重點、難點，在加強學生運算能力的培養(yǎng)的同時，適當熟記一些性質(zhì)和結(jié)論，對解題是很有幫助的．

另外，對教材知識進行探究性的分析、思索、歸納，從課本的例題習題出發(fā)，加以變式、延伸，可以拓展思維空間，是培養(yǎng)學生數(shù)學思維能力的重要舉措．通過這樣多方位、多角度、多層次的探究活動，可以使學生的思維品質(zhì)不斷得以提升，并從中體驗到數(shù)學發(fā)現(xiàn)給人帶來的愉悅感和成就感．

1．余合橋．三種圓錐曲線定值題的共性．中學數(shù)學月刊，2001（11）．

2．張?zhí)斓?、賈廣素、王瑋．全國重點大學自主招生數(shù)學教程．山東科學技術(shù)出版社．