一道?？碱}的題源探究

☉江蘇省無(wú)錫市第一女子中學(xué) 王劍

一道?？碱}的題源探究

☉江蘇省無(wú)錫市第一女子中學(xué) 王劍

考題（2016蘇錫常鎮(zhèn)一?！?9）設(shè)函數(shù)f（x）=x-2exk（x-2lnx）（k為實(shí)常數(shù)，e=2．71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

（1）當(dāng)k=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；

（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，4）內(nèi)存在三個(gè)極值點(diǎn)，求k的取值范圍．

一、考題之解

分析：第（1）問(wèn)通過(guò)求導(dǎo)，考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，難點(diǎn)是判斷ex-x2=0是否有零點(diǎn)，因此我們不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)k=1時(shí)，這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)椋鹸|x＞0｝，于是第一種方法可將等式變形為x=2lnx，從而構(gòu)造函數(shù)φ（x）=x-2lnx，通過(guò)導(dǎo)數(shù)的方式判斷這一函數(shù)最小值是否大于0，另一種方法是構(gòu)造函數(shù)h（x）=ex-x2，然后求導(dǎo)兩次，可以得到當(dāng)x=ln2時(shí)，h′（x）的極小值為2-2ln2，而這一數(shù)值是大于0的，于是可以得到h′（x）＞0即h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，上述兩種思路都是解決這一小問(wèn)的可行之法．

第（2）問(wèn)的難點(diǎn)是將極值點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)問(wèn)題，主要涉及函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合這兩大數(shù)學(xué)思想，本題考查的另一特色是重視列表檢驗(yàn)，考查學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)的理解與運(yùn)用．

下面給出證時(shí)：當(dāng)x＞0時(shí)，ex＞x2．

證法1：當(dāng)x＞0時(shí)，ex＞x2可變形為x＞2lnx．

令φ′（x）=0，x=2．

于是當(dāng)0＜x＜2時(shí)，φ′（x）＜0；當(dāng)x＞2時(shí)，φ′（x）＞0，故φ（x）=x-2lnx在x=2處取得最小值φ（2）=2-2ln2＞0，因此當(dāng)x＞0時(shí)，x＞2lnx，所以ex＞x2．

于是當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x＞2時(shí)，f′（x）＞0．

所以f（x）在（0，2）上為減函數(shù)，在（2，+∞）上為增函數(shù)，所以f（x）在x=2處取得最小值

證法2：設(shè)h（x）=ex-x2，h′（x）=ex-2x，h″（x）=ex-2．

令h″（x）=0，解得x=ln2．

當(dāng)x變化時(shí)，h′（x）與h″（x）的變化情況如下表：

由表格可以看出：當(dāng)h′（x）＞0，即h（x）=ex-x2單調(diào)遞增，即h（x）＞h（0）=1.

故f（x）在（0，x1）上單調(diào)遞減，在（x1，2）上單調(diào)遞增，在（2，x2）上單調(diào)遞減，在（x2，4）上單調(diào)遞增，所以f（x）在區(qū)間（0，4）上存在三個(gè)極值點(diǎn)，即函數(shù)f（x）在（0，4）內(nèi)存在三個(gè)極值點(diǎn)的k的取值范圍是

點(diǎn)評(píng)：1．導(dǎo)數(shù)及相關(guān)內(nèi)容一直是近幾年高考的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一，在江蘇省2016年高考數(shù)學(xué)考試說(shuō)明中對(duì)本內(nèi)容的考查主要有：

（1）導(dǎo)數(shù)的幾何意義，B級(jí)要求，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線上在某點(diǎn)處的切線的斜率，能夠解決有關(guān)切線的問(wèn)題；

（2）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，B級(jí)要求，熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算是解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的基礎(chǔ)；

（3）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，B級(jí)要求，也是解決導(dǎo)數(shù)類問(wèn)題的核心方法；

（4）導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，B級(jí)要求，為探究函數(shù)類應(yīng)用問(wèn)題及簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題提供了比較好的研究手段．

2．利用導(dǎo)數(shù)方法證明不等式f（x）＞g（x）在區(qū)間D上恒成立的基本方法是構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性或者函數(shù)的最值證明函數(shù)h（x）＞0，其中一個(gè)重要技巧就是找到函數(shù)h（x）在什么地方可以等于零，這往往就是解決問(wèn)題的一個(gè)突破口．利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題是一類重要題型，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的工具性作用，將函數(shù)、不等式緊密結(jié)合起來(lái)，考查了學(xué)生綜合解決問(wèn)題的能力．

二、考題之源

筆者發(fā)現(xiàn)這一?？碱}與其他省份的一些高考真題頗為相像，如2014年山東高考數(shù)學(xué)第20題：

（1）當(dāng)k≤0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)f（x）在（0，2）內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求k的取值范圍．

參考答案：（1）函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，2），單調(diào)遞增區(qū)間為（2，+∞）．

又如2013年陜西高考數(shù)學(xué)第21題：

已知函數(shù)f（x）=ex，x∈R．

（1）若直線y=kx+1與f（x）的反函數(shù)的圖像相切，求實(shí)數(shù)k的值；

（2）設(shè)x＞0，討論曲線y=f（x）與曲線y=mx2（m＞0）公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

圖1

我們不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，比較容易研究，所以上述的三道考題中均研究的是當(dāng)x＞0時(shí)函數(shù)的性質(zhì)．2016年江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)數(shù)學(xué)一模第19題第（2）問(wèn)實(shí)質(zhì)上是經(jīng)過(guò)變形可以轉(zhuǎn)化為當(dāng)k取何值時(shí)函數(shù)與函數(shù)y=k在（0，4）內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)，如若對(duì)圖形分析到位，則不難發(fā)現(xiàn)結(jié)論．在2014年山東高考第20題第（2）問(wèn)和2013年陜西高考第21題第（2）問(wèn)均可“一望而解”．

三、題源之思

筆者認(rèn)為這樣的梳理不僅有利于學(xué)生對(duì)函數(shù)的分析和作圖能力，更能夠以這些函數(shù)模型作為題源衍生很多的函數(shù)好題，能夠讓學(xué)生從命題者的角度分析問(wèn)題，讓學(xué)生見(jiàn)到類似問(wèn)題時(shí)不陌生，更快速地找到解題思路，有利于緩解考試遇難的焦慮情緒．

不妨來(lái)看一下2016年新課標(biāo)數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅱ卷理科第20題：

解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?∞，-2）∪（-2，+∞），

所以f（x）在（-∞，-2），（-2，+∞）上單調(diào)遞增．

當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞f（0）=-1，所以（x-2）ex＞-（x+2），即（x-2）ex+x+2＞0．

由（1）可得f（x）+a單調(diào)遞增，對(duì)任意的a∈［0，1），f（0）+a=a-1＜0，f（2）+a=a≥0，所以存在唯一的x0∈（0，2］，使得f（x0）+a=0，即g′（x）=0．

當(dāng)0＜x＜x0時(shí)，f（x）+a＜0，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)x＞x0時(shí)，f（x）+a＞0，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增．

因此g（x）在x=x0處取得最小值，最小值為

因?yàn)閤0∈（0，2］，所以h（0）＜h（a）≤h（2），即h（a）∈

綜上，當(dāng)a∈［0，1）時(shí)，函數(shù)g（x）有最小值．h（a），函數(shù)h（a）的值域?yàn)?/p>

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性和極值等問(wèn)題，尤其是第（2）題，先用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)g（x）的最值，再構(gòu)造函數(shù)，又用導(dǎo)數(shù)法求解．這樣的計(jì)算量對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)想要做全對(duì)不是很容易，如果在構(gòu)造函數(shù)h（a）=時(shí)，能夠通過(guò)已經(jīng)掌握的知識(shí)得出這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)和大致圖像，對(duì)求解是有很大的幫助的，華羅庚先生也提出“以形助數(shù)”的思想，實(shí)際上就是數(shù)形結(jié)合來(lái)看函數(shù)問(wèn)題，類比表3，不難發(fā)現(xiàn)這一函數(shù)與極為相似，我們可以大膽猜測(cè)函數(shù)h（a）的一條漸近線為x=-2，從而作出草圖如圖2，則也不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)x0∈（0，2］時(shí)，h（a）這道高考題即是由基本的函數(shù)模型作為題源展開(kāi)得來(lái)的，像這樣的題目還有很多．

圖2

高考命題每年都有變化，但經(jīng)過(guò)仔細(xì)分析比較研究以后還是能夠發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，高考考題也不是憑空捏造，題目本身都有一定的母題和題源，掌握這些題源，無(wú)論高考考題千變?nèi)f化，也能從容應(yīng)對(duì)．