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    老生常談
    ——“用教材教”的再思考——基于《導數(shù)小結(jié)復(fù)習課》的嘗試

    2017-03-23 09:02:31江蘇省蘇州中學王思儉
    中學數(shù)學雜志 2017年5期
    關(guān)鍵詞:零點單調(diào)導數(shù)

    ☉江蘇省蘇州中學 王思儉

    老生常談
    ——“用教材教”的再思考——基于《導數(shù)小結(jié)復(fù)習課》的嘗試

    ☉江蘇省蘇州中學 王思儉

    一、問題的提出

    教材中的《本章回顧》是梳理本章的基礎(chǔ)知識之間的邏輯關(guān)系、揭示本章所蘊含的基本數(shù)學思想方法的重要一節(jié),系統(tǒng)梳理,使學生對概念、性質(zhì)、定理有進一步的理解和領(lǐng)悟,使學生的學習能力得到螺旋式上升,這正是提升學生數(shù)學思維能力的最佳時機.但目前的情況不容樂觀,在2016年筆者先后聽了60多位高一高二老師的課,只有兩位老師帶課本,每個班級只有個別學生拿出課本,沒有一節(jié)課布置課本上的作業(yè),只有一位老師讓學生回去看課本的推導過程.日常教學中,教師忙于選各地的高考題、模擬題編寫專題或?qū)W案,而學生苦于做大量高難度的密卷等,這種教學模式就如同高三的第二輪的專題復(fù)習.這種灌輸式的教學模式,學生只是被動接受,沒有吸收和內(nèi)化的過程,沒有思考的空間,學生僅僅停留在機械模仿的層次,學生的創(chuàng)造性的靈感被扼殺.為此,筆者應(yīng)邀于2016年11月22日在無錫市錫東高級中學高二年級開設(shè)一節(jié)公開課,內(nèi)容為《導數(shù)的綜合應(yīng)用》(選修2-1第2章小結(jié)復(fù)習課)(蘇教版),旨在呼吁教師和學生要立足課本、理解課本、用好課本.

    二、課堂實錄

    教師:同學們,今天我們在哪里上課?

    眾生:蒙古包的階梯教室.

    教師:請你們觀察教室的建筑結(jié)構(gòu)特征是什么形狀?

    眾生:它是由棱柱和錐體組成的幾何體.

    教師:正確!如果給定某一條件,能否求出這個教室的體積最大值?怎么求?

    眾生:不就是我們講義上的例1嗎!建立目標函數(shù),利用導數(shù)求解.

    教師:很好!為了更好地利用導數(shù)研究數(shù)學領(lǐng)域中相關(guān)問題,并能解決生活中實際問題,我們要對學過的導數(shù)內(nèi)容進行梳理.現(xiàn)在先看基礎(chǔ)練習上.

    第1題:

    眾生:不能寫成并集,應(yīng)該分開寫,即(-∞,0),(0,+∞).

    教師:正確!本題是利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時,同一類單調(diào)性區(qū)間不能寫成并集.現(xiàn)在看第2題;

    曲線y=x-2cosx在x=0處的切線方程為_________.(教材第26頁習題1.2第5題改編)

    生2:因為y′=1+2sinx,因此斜率為k=1,切點為(0,-2),所以切線方程為y=x-2.

    教師:很好!注意區(qū)分在該點處的切線與過這點的切線.再看第3題:

    教師:正確!本題復(fù)習利用導數(shù)求函數(shù)的極值、最值等,同學的口述解題過程較詳細、嚴謹、規(guī)范.同時也指出求極值和最值的步驟.現(xiàn)在看第4題:

    教師:正確!本題復(fù)習用導數(shù)求最值問題,但結(jié)論是極值點,注意極值點是數(shù),而不是坐標平面上有序數(shù)對所對應(yīng)的點,此“點”非“點”.現(xiàn)在我們來解決上課時提出的問題:

    例1如圖1,某零件是由一個圓柱和一個圓錐(等底)組成,其中圓柱的高是圓錐的高的2倍,且圓錐的母線長為設(shè)圓錐的高為h.

    (1)求該零件的體積V=f(h)的函數(shù)解析式;

    (2)當h為何值時,該零件的體積V有最大值,并求出最大值.

    (教材第35頁例2改編)

    教師:請同學們讀題,分析題目已知什么?要求什么?需要哪些準備知識?解決問題的工具有哪些?

    生5:利用勾股定理,將圓錐底面半徑用h表示,從而圓柱的半徑和高都可以用h表示.由圓錐和圓柱的體積公式得f(h)得函數(shù)解析式,同時要找出h的限制條件(即函數(shù)的定義域),接下來利用導數(shù)求出函數(shù)的最大值.

    教師:分析較好!哪位同學到黑板上寫出解題過程?

    生6:設(shè)圓柱(圓錐)的底面半徑為r,于是有r2=300-h2.

    圖1

    教師:現(xiàn)在請同學們閱卷,看看他的解題過程是否符合規(guī)范?結(jié)論是否正確?

    生7:沒有列表討論函數(shù)的單調(diào)性,最后沒有寫答案.應(yīng)該補上:

    當0<h<10時,f′(h)>0,f(h)單調(diào)遞增;當10<h<單調(diào)遞減.

    答:當圓錐的高為10cm時,該零件的體積最大,其最大值為

    教師:正確!生6答題過程中存在問題就是會而不對、對而不全.利用導數(shù)求極值和最值時,求導后,再列表討論,再確定在何處取得極值或最值.解題一定要規(guī)范.而本題是實際應(yīng)用問題,解決這類問題的步驟是:讀懂題意—建立數(shù)學模型—求解模型—檢驗結(jié)果—回到實際問題.

    例2已知函數(shù)f(x)=x3+ax+1在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞減,求實數(shù)a的取值范圍.(教材第59頁第12題改編)

    生8:由于f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減,利用f′(x)≤0建立不等式,利用分離變量求出a的取值范圍.因為f′(x)=3x2+a,由題意得f′(x)≤0,即3x2+a≤0對任意x∈(-1,1)恒成立,也就是對所有x∈(-1,1)都有a≤-3x2成立,因此a≤-3.

    教師:正確!本題是已知單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍,注意導函數(shù)為零時的情況.請看變式題:已知函數(shù)f(x)= x3+ax+c(a,c為常數(shù))的單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,1).

    (1)求實數(shù)a的取值集合;(2)若函數(shù)y=f(x)有三個零點,求實數(shù)c的取值范圍.教師:這題與原題一樣嗎?你們怎樣理解題意?生9:這兩個問題不一樣,已知單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,1),實質(zhì)是函數(shù)的最大減區(qū)間,也就是f′(-1)=0和f′(1)= 0,從而求出a=-3.所以a的取值集合為{-3}.

    教師:“函數(shù)y=f(x)有三個零點”是什么意思?生10:函數(shù)有三個零點就是方程x3-3x+c=0有三個解.教師:正確!將零點問題等價轉(zhuǎn)化為方程的解問題,怎樣求解?

    生10:利用求根公式求解.

    眾生:沒有學過三次方程的求根公式.應(yīng)該利用導數(shù)研究函數(shù)圖像,討論函數(shù)零點個數(shù).

    生11:由上題知,f(x)=x3-3x+c,f′(x)=3x2-3=3(x+1)·(x-1).令f′(x)=0,得x1=-1,x2=1.

    當x變化時,f(x),f′(x)的變化情況如下表:

    因此,當x=-1時,f(x)有極大值f(-1)=c+2;當x=1時,f(x)有極小值f(1)=c-2.

    又因為f(x)有三個零點,所以f(-1)>0且f(1)<0,解之,得-2<c<2.

    教師:很好!分析和求解過程都很好!

    生12:利用圖像繼續(xù)研究,函數(shù)f(x)有兩個零點或一個零點時,求c的取值范圍.若f(x)有兩個零點,所以f(-1)=0或f(1)=0,解之,得c=-2或c=2.若f(x)有一個零點,所以f(-1)<0或f(1)>0,解之,得c<-2或c>2.

    教師:你能提出問題很好!本題就是利用導數(shù)與數(shù)形結(jié)合思想研究函數(shù)的零點.現(xiàn)在看下面的例題:

    例3已知函數(shù)f(x)=ex-ax(a為常數(shù)).

    (1)若x=0是f(x)極小值點,求a的值;

    (2)若a>0,函數(shù)y=f(x)存在唯一零點,求正實數(shù)a的值.(教材第34頁習題1.3第4題第(2)小題改編)

    生13:解:(1)f′(x)=ex-a,由題意得f′(0)=0,因此a= 1.

    眾生:檢驗a=1是否合適,才能最后確定.

    教師:為什么?

    生14:因為當f′(x0)=0時,x0未必是極值點,如f(x)= x3,雖然有f′(0)=0,但x=0不是其極值點.

    教師:反例恰當!因此你們解題時,一定要規(guī)范、細致.再看第(2)小題:

    生15:問題等價轉(zhuǎn)化為直線y=ax與曲線y=ex相切,即過原點作y=ex的切線.設(shè)切點T(x0,ex0),f′(x)=ex,因此在點T處的切線方程為y-ex0 =ex0(x-x0).又因為切線過原點,因此有-ex0=ex0(0-x0),即x0=1,所以a=e.教師:正確!他利用等價轉(zhuǎn)化思想和待定系數(shù)法求解.同學們思考一下還有其他解法嗎?

    生16:問題轉(zhuǎn)化為y=f(x)的最小值為0時的x值即為零點.當a>0時,f′(x)=0,得ex=a,即x0=lna.

    當x<lna時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當x>lna時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,所以在x=lna處f(x)有極小值,也是最小值,即fmin(x)=elna-alna=a-alna.因為函數(shù)y=f(x)存在唯一零點,因此fmin(x)=0,即a-alna=0,解之,得a=e.

    教師:很好!本題求解過程中,體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學思想方法.生16的解法如同例2的拓展問題,這一解法更具有一般性.若此題改為不等式f(x)≥1恒成立,求a的取值集合.怎么求解?這就是今天的課外思考題.再看變式題:已知函數(shù)f(x)=ex-ax,已知正數(shù)a滿足:存在x0∈[1,+∞)使f(x0)≤0.

    (1)求a的取值范圍;

    (2)試比較ea與ae的大小,并證明你的結(jié)論.

    生17:(1)因為存在x0∈[1,+∞),使f(x)≤0,等價于存在x0∈[1,+∞)使,而,因此h(x)在單調(diào)遞增,所以h(x)≥h(1)=e.故a≥e.

    生18:也可以整體把握,問題等價轉(zhuǎn)化為fmin(x)≤0,即a-alna≤0.又a>0,因此1-lna≥0,解之,得a≥e.

    教師:很好!前者是用分離變量法求解,后者是用整體思想求解.那么怎樣比較ea與ae的大小呢?

    生19:直覺猜想ea≥ae,當且僅當a=e時,等號成立.

    教師:你證明了嗎?

    生19:構(gòu)造函數(shù)G(a)=ea-ae,求導G′(a)=ea-eae-1,下面就不會做了.

    教師:這樣更復(fù)雜,變量a不在同一個水平線上,可以通過怎樣變換,使其變換后處于同一水平線上?

    生20:對ea與ae取對數(shù),得alne與elna,于是只要比較a與elna的大?。?/p>

    所以當a=e時,ea=ae;當a>e時,ea>ae.

    教師:很好!比較法是比較兩個數(shù)的大小常用的方法,有的直接作差比較、有的先變換再作差(如要比較的式子是根式型的可平方、指數(shù)型的可取對數(shù)等).其實本題是2014年高考江蘇第19題第(3)小題的變式.

    今天我們復(fù)習導數(shù)的相關(guān)知識和利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、零點),利用導數(shù)解決實際問題.這節(jié)課我們復(fù)習了相關(guān)的數(shù)學思想方法,如函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、等價轉(zhuǎn)化思想、整體思想,分離變量法、構(gòu)造法等.學會用數(shù)學眼光看待事件,學會用數(shù)學思維分析事件,學會用數(shù)學符號表述事件.這節(jié)課就上到這里,下課.

    三、教學反思

    1.用教材教

    目前不少教師蔑視教材,這其中最被冷落的是教材中的例題、習題了,取而代之就是各類復(fù)習資料,“聚焦小題”“小題狂做”“名師導學”“一課一練”之類的資料都是東拼西湊,結(jié)果神題做不來,教材中的習題又不做,造成知識斷鏈,甚至破網(wǎng),形成千瘡百孔.事實上,教材中最好的、也是最值得珍惜的就是例題和習題.對于章節(jié)小結(jié)的復(fù)習課,教學中通過簡單問題的研究,促使學生回憶教材中的概念、性質(zhì)、定理,而不是簡單地再次講解教材中的概念、性質(zhì)、法則等基礎(chǔ)知識,既不是回放前幾周的教學片斷,也不是枯燥的概念羅列.如四道小題涉及的內(nèi)容覆蓋本章所有的知識點,涵蓋了用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)常用的數(shù)學思想方法,這些小題都是源于教材,對教材中的題目進行改編,達到引導學生回歸教材的目的.回歸教材,就是回憶、喚醒以前學習的重點概念和基本問題,由此增強學生對概念、性質(zhì)、定理等基本內(nèi)容的認識,進而增強學生發(fā)現(xiàn)問題本質(zhì)的能力.如基礎(chǔ)題的第3題求函數(shù)值域,既復(fù)習并梳理利用導數(shù)求函數(shù)的最大值與最小值的基本方法和步驟,又引導學生理解教材,關(guān)注教材,課本中的原題是求函數(shù)閉區(qū)間[1,4]上的值域,此題既可以用導數(shù)求解,也可以用配方法求解.在教學過程中教師首先讓學生講解解題思路和策略,就引導學生對求極值、最值的步驟,從而達到復(fù)習鞏固的目的.用教材教的教學,有益于學生在問題研究中展開質(zhì)量的聯(lián)想.如例2的變式中討論三個零點時的情況,學生自然會聯(lián)想到有沒有兩個零點、一個零點的問題呢?

    2.用思維教

    老師們對“用教材教,而不是教教材”頗有微詞,前文說到不少老師為了趕進度,把教材放到一邊,只是介紹教材中的數(shù)學概念,補充大量的高考真題、模擬題,而教材中的例題不用、練習不練、習題不做,課本也不用打開,學生如同進入茶館、聽書.教師無暇潛心研究教材的內(nèi)容、深刻領(lǐng)會教材的編寫意圖、認真落實教材所蘊含的數(shù)學思想與方法、積極傳播教材所呈現(xiàn)的數(shù)學理念,而是疲于奔命地進行大量的機械重復(fù)訓練,但遇到情景新穎的陌生問題,還是束手無策,這樣的教學能有效果嗎?離開“基礎(chǔ)”的教學設(shè)計,離開“基礎(chǔ)”的教學活動,思維能力的培養(yǎng)必然是脆弱的.強化難題的教學,必然導致學生的思維受阻.因此,引發(fā)我們思考應(yīng)該選編怎樣的例題、習題才能切實提高教學效益?這就要求教師具有較高的駕馭教材和改編試題的能力,也就要求教師必須用數(shù)學的思維去編擬具有一定思維量的題目進行精心分析講解,必須用數(shù)學的思維去分析學生.本節(jié)課所有例題、習題都是教材中的習題的改編,從課本中來,到高考中去,三道例題的落腳點都是高考題的類題.

    發(fā)展學生的思維能力,首先要拓展教師的思維空間,教師不能僅僅沉浸在一些高考真題中,要將教材中的例題、習題與高考題對比研究,怎樣改編才能使其走向高考題?體現(xiàn)高考題中的哪幾個方面思維能力?學生的思維能力能否得到有效發(fā)展、思維的靈活性和廣闊性能否得到有效培養(yǎng)、學生的思維空間能否得到有效拓展.其次教師必須要選擇恰當?shù)慕谭?,例如教師必須正確運用“師生對話”,使教學能真實地充分暴露師生的思維過程.在此基礎(chǔ)上師生進行深刻思辨,運用批判性思維進行的方法研究才是拓展學生的思維空間的“真教學”.如例3(2)函數(shù)有唯一零點,學生給出的方法是切線法,將問題等價轉(zhuǎn)化為直線y=ax與函數(shù)y=ex相切問題;而另外一位同學又給出函數(shù)f(x)=ex-ax的最小值為0時的x的值就是零點.又如例2的三次函數(shù)的零點,學生回答用求根公式解決,這時教師因勢利導,使學生明白三次方程目前還沒有學過求根公式,等等.沒有交流的課堂是沒有思維的教學.因此,在日常教學中提倡學生大膽質(zhì)疑,相互交流,提升思維能力.

    3.用問題教

    課程標準要求要“提高學生提出問題、分析問題和解決問題的能力,發(fā)展獨立獲取知識的能力”.教學過程中這么多學生參與交流,這種情境下有那么多新問題提出,又有了新的思考和解決,使學生充分地理解了概念,激發(fā)他們對章節(jié)小結(jié)復(fù)習課的興趣,不再認為這類課是枯燥無味的、做做練習的,而是重新認識問題、再次發(fā)現(xiàn)問題、重新解決問題的課.培養(yǎng)學生用數(shù)學眼光、數(shù)學思維、數(shù)學符號思考問題、研究方法、表述對象.如本節(jié)課的開場白,教者在完全不知上課地點的情況下,利用教室形狀與例1中的幾何體的體積最大值問題引出課題,不僅引導學生觀察生活、發(fā)現(xiàn)問題、尋找解決問題策略,而且活躍課堂氣氛,讓學生帶著問題聽課.再如例3的變題及課外思考題,例2的變題由“在(-1,1)上單調(diào)遞減”變化為“單調(diào)減區(qū)間為(-1,1)”,表面上看是問題的細小變化,但在這些細小變化中,引導學生發(fā)現(xiàn)解題過程發(fā)生變化的原因,引導學生發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)是否有變化以及沒有變化的原因,同時,還要引導學生對問題的深度觀察.本節(jié)課的題目無論是基礎(chǔ)訓練題還是例題都是教材中的基礎(chǔ)題改編的,體現(xiàn)“問題變化”在教學中的重要作用,使學生學會自主探究,忽視“基礎(chǔ)”的教學必然是大題量的教學,必然導致學生的發(fā)現(xiàn)問題受到阻礙,學生的解決問題逐步“退化”,最終使學生的數(shù)學思維鈍化.

    1.張乃貴.春來江水綠如藍似曾相識燕歸來[J].中學數(shù)學(上),2016(8).

    2.祁建新.“基本不等式的應(yīng)用研究”的教學設(shè)計與反思[J].中學數(shù)學月刊,2016(8).

    3.王思儉.數(shù)學思維與方法[M].江蘇:南京師范大學出版社,2015.

    4.張曉斌,余彪.高中文理科學生數(shù)學學習差異研究[J].中學數(shù)學(上),2016(9).

    5.單墫.普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學(選修2-1)[M].江蘇:江蘇教育出版社,2013.

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