初探“兩個原理”的互動式教學

☉江蘇省啟東市呂四中學 李凱

初探“兩個原理”的互動式教學

☉江蘇省啟東市呂四中學 李凱

互動式教學源自美國建構(gòu)主義教學，是其發(fā)展的一個分支．美國教育家杜威及其學生在建構(gòu)主義教學實施過程中，發(fā)現(xiàn)要讓學生完全通過自身研究發(fā)現(xiàn)知識的效率較為低下，因此在研究過程中漸漸引入教師幫襯下的互動成為建構(gòu)主義教學的一個新方向，隨著其他學者的后續(xù)進一步研究，“互動”方式漸漸獨立成為教學的一種獨立方式．筆者以互動式教學為主要手段，研究教學案例“兩個原理”在教師引導(dǎo)下的互動式教學，體會學生在教學過程中從獲得知識——嘗試探究——思考過程——感悟?qū)W習的步驟．

一、“師生互動”歸納原理

通過“師生互動”從實際問題中抽象出數(shù)學概念，能很好地讓學生體驗概念抽象的過程．

師：這次國慶假期我想和家人去南京游玩．如果從杭州出發(fā)，到南京，采用了下列的出行方式，大家?guī)兔纯次矣卸嗌俜N走法．

引例1：假如我從杭州到南京，可以坐直達動車或直達快客，動車每天有3個班次，快客每天有2個班次，請問我共有多少種不同的走法？

生：5種.（追問：5種怎么得的？你為什么要采用加法運算？）

師：能不能從問題的本質(zhì)去分析呢？

師生共同對問題剖析如下：

師：例子中“我”要完成一件什么事情？

生：從杭州到南京．

師：怎么去做這件事情？

生：坐動車或坐快客．

師：“或”什么意思？做火車能不能到？坐快客能不能到？

生：兩種方式二選一，那表示動車、快客是兩類方案.

師：那動車1，動車2，動車3又表示什么意思呢？

生：在動車這類方案中又有3種不同的方法．

師：怎樣才算完成？

生：人到達南京．

師：這里有兩個關(guān)鍵點：或——類，直達——直接完成．

師：同學們還能其他舉例說明嗎？（同桌之間互相合作）．

生：買汽車，國內(nèi)的牌子有5種，國外地牌子有6種，從中選擇一個牌子，共有5+6=11種不同的買法．

師：為什么這兩個問題都采用加法運算？兩者有什么共同特征？

生：能獨立完成一件事的方法之間都是加法歸類．

師：不錯！請同學們用數(shù)學語言，試一試將其一般化.

分類加法計數(shù)原理：完成一件事有兩類不同的方式，其中第一類中有m種方法，第二類中有n種方法，則完成這一件事一共有m+n種方法．

師：這個原理告訴我們：分類計數(shù)時應(yīng)采用加法運算，那什么是分類？其本質(zhì)是什么？

生：就是每一類中的每一種方法都能把事情直接完成．

評價：通過“師生互動”并讓學生獨立思考，教師適當引導(dǎo)學生分析、歸納概括得出結(jié)論，體現(xiàn)出特殊到一般的數(shù)學思想．

變式：若每天從杭州到南京，有下列選擇：有3個動車班次、2個快客班次和7個高鐵班次，請問當天有多少種方式可以從杭州到南京？（N=3+2+7=12種）

師：這個問題說明了什么？

生：分類加法計數(shù)原理可以推廣到有3類的情況．

師：完成一件事有類方式，其中每一類又有若干種方法，則完成一件事有多少種方法？

一般歸納：若這n類方式中，每一種方式分別有m1，m2，…，mn種方法，依據(jù)上述類似可知，一共有m1+m2+…+ mn種方法．

評價：“師生互動”共同分析，得出分類加法計數(shù)原理的推廣，讓學生經(jīng)歷感性認識上升到理性認識的過程．

二、“學生討論”類比學習

對于比較復(fù)雜的問題，教師拋出問題后，讓“學生討論”能夠集中學生的思維亮點，使問題得以解決，也能提高課堂效率．

師：我到了南京游玩后，就要返回了．如果我返回時采用下列方式，我又有多少種走法？

引例2：從南京回來途中需要在上海迪士尼停留1天，次日再回到杭州．現(xiàn)南京到上海選擇直達汽車（8種選擇），上海到杭州選擇高鐵（28種選擇），請問從南京回到杭州有多少種選擇？

這個問題請學生合作探究：類比剛才探究分類加法計數(shù)原理的過程，對問題進行剖析，從中能夠得出什么結(jié)論．教師進行適當點撥．

根據(jù)學生回答可以引出樹形圖：

師：為什么這里不用加法而用乘法？

生：對應(yīng)于第一天的每一種走法，第二天都還有28種不同的高鐵班次供選擇．

問題剖析：（1）要完成的事：南京→上海→杭州；（2）怎么去做：汽車且高鐵；（3）完成標準：人到達杭州；（4）關(guān)鍵詞：且——步，中轉(zhuǎn)——分步完成．

師：現(xiàn)在能否來總結(jié)這類問題的一般解決規(guī)律呢？并給它取個名稱．

分步乘法計數(shù)原理：完成一件事情需要分2個步驟，在第1步中有m種不同的方法，在第2步中有n種不同的方法．．那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法．

一般歸納，完成一件事情，需要分成n個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法．

評價：采用類比研究，引導(dǎo)“學生討論”分析、探究、發(fā)現(xiàn)分步乘法計數(shù)原理．培養(yǎng)學生分析問題、自主探究、模仿和語言表達能力．讓學生體會分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的異同，理解兩者的本質(zhì)，學會在遇到具體問題時如何根據(jù)問題的特征選擇對應(yīng)的計數(shù)原理．

三、“學生闡述”應(yīng)用原理

兩個原理的使用依據(jù)，關(guān)鍵在于能否合理判斷問題的基本特征，最大的區(qū)別在于每種方式方法是否可以獨立地完成一件事．因此本節(jié)課的教學難點確定為：對原理中關(guān)鍵詞“完成一件事”的理解；根據(jù)問題的特征正確地區(qū)分“分類”或“分步”．通過“學生闡述”的環(huán)節(jié)能夠有效地反饋學生對以上教學目標的達成程度和難點的突破情況．

應(yīng)用：杭州某區(qū)原來舊汽車牌照使用方式為：浙A· D××××（0～9中任取一個），現(xiàn)隨著汽車保有量增加而使用新的自選牌照方式：浙A·×××××（前4位是0～9中任取一個，最后一位是除I和O外的大寫英文字母），比較原來車牌數(shù)量和新的車牌數(shù)量？

生：給車牌選數(shù)字和字母，可以分成五個步驟完成：第1步，從0～9中取1個數(shù)字填入第一個空格，有10種方法；第2步，從0～9中取1個數(shù)字填入第二個空格，有10種方法；第3步，從0～9中取1個數(shù)字填入第三個空格，有10種方法；第4步，從0～9中取1個數(shù)字填入第四個空格，有10種方法；第5步，從除I和O外的大寫英文字母中取1個填入第五個空格，有24種方法．根據(jù)分步計數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是：N=10×10×10×10×24=240 000．老牌照：N= 10×10×10×10=10 000，自選牌照比老牌照多出230 000個．

評價：通過學生對問題解決過程的“闡述”了解學生掌握兩個計數(shù)原理的情況．教師能有效地對本節(jié)課目標的達成情況做出判斷．

本節(jié)新知注重“互動”，啟迪思維，充分體現(xiàn)新課程理念．對于兩個計數(shù)原理的學習，不僅僅在于善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律本身，更是需要通過對知識學習的過程掌握發(fā)現(xiàn)知識的一般步驟、一般途徑，這才是學習更為寶貴的積累．學會探究，提升思維的品質(zhì)．因此采取學生熟悉的實例“互動生活”，經(jīng)過“師生互動”抽象概括出分類加法計數(shù)原理；再通過“學生討論”類比研究，合作交流，總結(jié)得出分步乘法計數(shù)原理，再通過“學生闡述”反饋原理的掌握情況．教師善于啟發(fā)，善用追問，善于傾聽，體現(xiàn)“道而弗牽，強而弗抑，開而弗達”的啟發(fā)式教學的本質(zhì)內(nèi)涵．

以“互動”推進章節(jié)新知的開展，讓學生經(jīng)歷完整的數(shù)學概念形成和研究過程，感受數(shù)學思想方法的過程．“互動”引領(lǐng)的課堂教學中教師更注重精心設(shè)計學生活動，根據(jù)學生的認知規(guī)律安排教學活動，注意根據(jù)概念教學的基本規(guī)律安排教學進程．采取“互動”引導(dǎo)學習的方式，讓學生帶著問題開展探索活動，將轉(zhuǎn)變學生學習方式落到實處．注重學生參與，教師力求精講多問，將學生推向前臺，讓學生表達、板演、總結(jié)，教學過程中學生主體意識進一步加強．

1．曹才翰，章建躍．中學數(shù)學教學概論［M］．北京師范大學出版社，2008（4）．

2．章建躍，陶維林．注重學生思維參與和感悟的函數(shù)概念教學［J］．數(shù)學通報，2009（8）．

3．章建躍，陶維林．概念教學必須體現(xiàn)概念的形成過程［J］．數(shù)學通報，2010（1）．