由一次“誘導(dǎo)公式第二課時(shí)”同課異構(gòu)引起的反思

☉浙江省杭州高級(jí)中學(xué)錢江校區(qū) 俞昕

由一次“誘導(dǎo)公式第二課時(shí)”同課異構(gòu)引起的反思

☉浙江省杭州高級(jí)中學(xué)錢江校區(qū) 俞昕

一、緣起

筆者所在備課組年輕教師比較多，因此學(xué)校非常重視青年教師的培養(yǎng)與發(fā)展，每學(xué)期都開展青年教師匯報(bào)課，本學(xué)期開設(shè)的內(nèi)容是《誘導(dǎo)公式第二課時(shí)》.確定本課題為開課內(nèi)容的原因有二：其一，誘導(dǎo)公式是經(jīng)典內(nèi)容，能考查教師對(duì)經(jīng)典教學(xué)內(nèi)容的解讀與基本功；其二，以往比較多的關(guān)注點(diǎn)落于誘導(dǎo)公式的第一課時(shí)，因此第二課時(shí)的資料相對(duì)比較少，便于考查教師對(duì)內(nèi)容的原創(chuàng)性與創(chuàng)新性.果然兩位年輕教師對(duì)此內(nèi)容展現(xiàn)出不同的解讀與詮釋，下面筆者將他們的新課講授部分加以簡單展示，分別用教師Z與教師L來區(qū)分兩位年輕教師.

二、新課講授部分的同課異構(gòu)

1.教師Z的新課展示簡介

師：初中時(shí)，我們就知道：sin30°=cos60°，cos25°= sin65°.請(qǐng)同學(xué)們解釋一下其中的原因！

學(xué)生們大都從直角三角形的角度進(jìn)行解釋.

師：可否將上式一般化？

師：如何證明？

給予學(xué)生們一段思考與探究的時(shí)間后，教師給出圖1，角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P（x，y），則sinα=y，cosα=x.

圖1

根據(jù)圓的對(duì)稱性知，交點(diǎn)P與交點(diǎn)P′關(guān)于直線y=x對(duì)稱.所以可以得出：

教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生由公式五推導(dǎo)出公式六、七、八.（在此省略）

接下去通過例題熟悉公式的運(yùn)用（.在此省略）

2.教師L的新課展示簡介

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧誘導(dǎo)公式二、三、四的探究過程：角的關(guān)系?終邊對(duì)稱關(guān)系（找對(duì)稱軸）?坐標(biāo)關(guān)系?三角函數(shù)值關(guān)系，然后引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探究.

三、對(duì)兩節(jié)課的分析與反思

誘導(dǎo)公式是高中數(shù)學(xué)中一塊經(jīng)典而且重要的內(nèi)容，很多老師在講授完所有的誘導(dǎo)公式后（包括這兩位青年教師）都會(huì)花時(shí)間給學(xué)生總結(jié)“奇變偶不變，符號(hào)看象限”.但筆者思考的是：誘導(dǎo)公式教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)是什么？通過它的學(xué)習(xí)帶給學(xué)生怎樣的數(shù)學(xué)核心思想與數(shù)學(xué)素養(yǎng)？誘導(dǎo)公式除了留給學(xué)生記憶的方式與套公式解題外還有什么是值得學(xué)生回味的？

1.對(duì)稱思想的把握是誘導(dǎo)公式推導(dǎo)的難點(diǎn)

在誘導(dǎo)公式第一課時(shí)中對(duì)于角α與π-α，-（2π-α），π+α終邊的對(duì)稱關(guān)系已經(jīng)滲透過，但從學(xué)生在第二課時(shí)的反應(yīng)中看出，學(xué)生對(duì)于這樣的對(duì)稱關(guān)系的認(rèn)識(shí)并不是很深刻，以致在第二課時(shí)中，教師問道“與α有什么關(guān)系？”時(shí)，一度出現(xiàn)冷場.學(xué)生在理解與α終邊關(guān)于直線y=x對(duì)稱時(shí)確實(shí)出現(xiàn)了認(rèn)知上的困難，特別是教師Z在授課過程中展示的圖1，雖然教師設(shè)計(jì)的初衷是體現(xiàn)角α的任意性，但學(xué)生對(duì)于這樣的非第一象限角的對(duì)稱性理解產(chǎn)生了一定的認(rèn)知困難.我們?cè)撊绾螏椭鷮W(xué)生突破這個(gè)難點(diǎn)呢？這是教師在備課時(shí)應(yīng)該著重考慮的問題.

學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)就已經(jīng)接觸了對(duì)稱思想，比如x軸上的點(diǎn)（1，0）與（-1，0）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，同時(shí)也關(guān)于直線x=0對(duì)稱；平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)（2，1）與（-6，1）關(guān)于直線對(duì)稱.所以學(xué)生已經(jīng)知曉：點(diǎn)與點(diǎn)的對(duì)稱就意味著兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的中點(diǎn)是對(duì)稱直線的橫坐標(biāo)，即點(diǎn)（a+x，b）與（a-x，b）關(guān)于直線x=a對(duì)稱.基于學(xué)生這樣的認(rèn)知起點(diǎn)，我們不妨可以進(jìn)行這樣的教學(xué)設(shè)計(jì).

思考1：平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（a+x，b）與（a-x，b）的位置有什么關(guān)系？

這樣的問題串設(shè)計(jì)能夠幫助學(xué)生較好地搭建認(rèn)知的腳手架，避免學(xué)生在誘導(dǎo)公式推導(dǎo)過程中可能出現(xiàn)的認(rèn)知困難.在學(xué)生理解了“的終邊與α的終邊關(guān)于直線y=x對(duì)稱”之后，進(jìn)而再推進(jìn)到“的終邊與α的終邊關(guān)于直線y=-x對(duì)稱”.而對(duì)于“的終邊與α的終邊的關(guān)系”與“的終邊與α的終邊的關(guān)系”，我們不妨可以先探究“的終邊與-α的終邊的關(guān)系”與“的終邊與-α的終邊的關(guān)系”，然后再依據(jù)第一課時(shí)學(xué)習(xí)的誘導(dǎo)公式就可以推導(dǎo)出最后兩組誘導(dǎo)公式了.

2.誘導(dǎo)公式留給學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是重點(diǎn)

文［1］中提到：素養(yǎng)是無法教的，它只能在一定的載體下通過潛移默化的熏陶才能逐步形成.在學(xué)校教育中，這個(gè)載體主要是學(xué)科知識(shí)的學(xué)習(xí).掌握知識(shí)是形成素養(yǎng)的基礎(chǔ).但如果在教學(xué)中過分地注重學(xué)科知識(shí)，就可能造成知識(shí)教學(xué)不到位.例如一些老師都是形式化地教數(shù)學(xué)概念而沒有講概念蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)思考方法.這些教師在學(xué)科知識(shí)的教學(xué)中不能做到準(zhǔn)、精、簡，有的甚至連最基本的知識(shí)教學(xué)任務(wù)都不能完成.

基于文［1］提出的觀點(diǎn)與現(xiàn)狀，我們不妨可以冷靜地來思考一下誘導(dǎo)公式的教學(xué)能給學(xué)生滲透怎樣的數(shù)學(xué)素養(yǎng)呢？數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史告訴我們，數(shù)學(xué)理論的建立往往有兩條路徑：第一，源于解決實(shí)際問題的需要；第二，源于數(shù)學(xué)理論內(nèi)部.而源于數(shù)學(xué)理論內(nèi)部的數(shù)學(xué)理論在建立時(shí)人們并不知道其有何作用，有些甚至到目前為止還不知道它們有何作用，這一點(diǎn)正是數(shù)學(xué)理性精神的體現(xiàn).我們可以思考從以上兩條路徑來進(jìn)行誘導(dǎo)公式的教學(xué).

首先，誘導(dǎo)公式不僅僅是一套公式，它蘊(yùn)含著三角函數(shù)最根本的性質(zhì)：周期性以及運(yùn)用三角函數(shù)刻畫圓上點(diǎn)的對(duì)稱性.所以通過誘導(dǎo)公式的學(xué)習(xí)，首先要引導(dǎo)學(xué)生解決諸如“為什么要學(xué)習(xí)誘導(dǎo)公式”、“怎樣學(xué)習(xí)誘導(dǎo)公式”、“誘導(dǎo)公式的由來”等這些來自于數(shù)學(xué)概念內(nèi)部的問題，讓學(xué)生感受到新的數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)是由數(shù)學(xué)內(nèi)部提出問題而驅(qū)動(dòng)的，以達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生理性精神的教學(xué)目的.比如，教師L在授課伊始提出的一條線索“角的關(guān)系?終邊對(duì)稱關(guān)系（找對(duì)稱軸）?坐標(biāo)關(guān)系?三角函數(shù)值關(guān)系”比較好地向?qū)W生揭示了對(duì)于誘導(dǎo)公式這一數(shù)學(xué)知識(shí)的研究思路與方法.只有讓學(xué)生知道了研究數(shù)學(xué)問題的方法，學(xué)生才有可能將這種方法加以運(yùn)用、推廣、拓展，才能舉一反三，增強(qiáng)自己解決數(shù)學(xué)問題的能力.

其次，誘導(dǎo)公式具有一定的數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值.比如我們需要知道一個(gè)很大的正角或一個(gè)很小的負(fù)角的某一個(gè)三角函數(shù)值，那么就可以運(yùn)用誘導(dǎo)公式將其轉(zhuǎn)化為0與之間的角度的三角函數(shù)，通過查表可以得到它的近似值.這可以視為誘導(dǎo)公式最直接的實(shí)際應(yīng)用，而在現(xiàn)實(shí)的教學(xué)中，教師往往忽略這一點(diǎn)，而將教學(xué)重點(diǎn)落在各種形式化的公式變形上.筆者覺得在推導(dǎo)誘導(dǎo)公式的第一、二課時(shí)兩節(jié)新授課教學(xué)中，最好還是圍繞誘導(dǎo)公式的來龍去脈以及實(shí)際應(yīng)用價(jià)值比較好.這樣更有助于幫助學(xué)生厘清數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，而不至于囫圇吞棗，只會(huì)盲目地硬套公式.至于公式的進(jìn)一步運(yùn)用筆者覺得可以放于后面的習(xí)題課繼續(xù)深入.

3.誘導(dǎo)公式值得學(xué)生回味之處是亮點(diǎn)

傳統(tǒng)的誘導(dǎo)公式教學(xué)都是在講授完全部公式之后，向?qū)W生總結(jié)“奇變偶不變，符號(hào)看象限”的記憶口訣.筆者考慮不妨可以引導(dǎo)學(xué)生探尋這些誘導(dǎo)公式之間的聯(lián)系.比如探究：化簡為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)進(jìn)而再探究當(dāng)n∈Z時(shí)的結(jié)果等等.

這樣的教學(xué)避免了學(xué)生盲目地記憶“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，能夠從各組誘導(dǎo)公式之間的聯(lián)系來有意義的記憶誘導(dǎo)公式，提升學(xué)生對(duì)誘導(dǎo)公式的認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生對(duì)誘導(dǎo)公式的學(xué)習(xí)意猶未盡、回味無窮.

四、尾聲結(jié)語

把數(shù)學(xué)教好是落實(shí)核心素養(yǎng)的前提，關(guān)鍵是要“示以學(xué)生思維之道”，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的“獲得對(duì)象—研究性質(zhì)—應(yīng)用拓展”過程，使學(xué)生學(xué)會(huì)思考，能用數(shù)學(xué)的方式認(rèn)識(shí)問題和解決問題，避免“幾個(gè)公式、幾個(gè)注意點(diǎn)、幾個(gè)例題、大量習(xí)題”的模式.誘導(dǎo)公式在常態(tài)教學(xué)中確實(shí)存在以上的一些弊端，導(dǎo)致學(xué)生認(rèn)為誘導(dǎo)公式這塊內(nèi)容似乎是三角里獨(dú)立的一套公式，沒有什么用處，僅僅用于解題中的三角化簡.通過這次同課異構(gòu)活動(dòng)激發(fā)了筆者思考如何改善此內(nèi)容的教學(xué)，使之更契合落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的倡導(dǎo).同時(shí)，筆者也覺得教研組、備課組應(yīng)該多開展這樣的教研活動(dòng)，這不僅是對(duì)青年教師的鞭策，更是對(duì)所有教師的專業(yè)素養(yǎng)的重新洗禮與考驗(yàn).

1.章建躍.樹立課程意識(shí)，落實(shí)核心素養(yǎng)［J］．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2016（5）.

2.石志群.數(shù)學(xué)教學(xué)價(jià)值的思考［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2010（8）.

3.宋浩.高中三角函數(shù)誘導(dǎo)公式教學(xué)分析研究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2016（12）.

4.俞昕.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)摭談2016年高考試題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2016（10）.