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    提高線性代數(shù)課程教學效果的方法研究

    2017-03-23 20:58:14龔海萍于霞
    科學與財富 2016年34期
    關(guān)鍵詞:線性代數(shù)方法研究教學效果

    龔海萍+于霞

    (南通大學 理學院,江蘇 南通 226007)

    摘 要:線性代數(shù)是許多高校開設(shè)的一門重要的基礎(chǔ)理論課,它具有較強的邏輯性、抽象性和廣泛的實用性。線性代數(shù)課程的教學效果直接影響著學生的學習積極性以及在實際生活中應(yīng)用數(shù)學知識的能力。為此,本文利用比較學習、等價分類、與其他學科聯(lián)系、數(shù)學建模等方法,結(jié)合相關(guān)知識點以及生活實例,從而有效地提高線性代數(shù)課程的教學效果。

    關(guān)鍵詞:線性代數(shù);教學效果;方法研究

    線性代數(shù)是高等學校工科專業(yè)的一門重要的公共基礎(chǔ)課,是高等學校經(jīng)濟、管理類專業(yè)核心課程經(jīng)濟數(shù)學基礎(chǔ)之一,也是研究變量間線性關(guān)系的一門學科。它有著深刻的實際背景,在自然科學、社會科學、工程技術(shù)、軍事和工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。

    線性代數(shù)作為一學期的課程,一般只安排32學時或者48學時,而該課程具有較強的抽象性與邏輯性,知識相互依懶性強,每個后續(xù)概念、性質(zhì)和定理都依賴于對先前概念、定理的理解與掌握,如果前面的知識一知半解,沒好好掌握,后續(xù)內(nèi)容學起來就比較困難。所以在有限的學時中如何提高線性代數(shù)教學效果,提高學生學習效率顯得至關(guān)重要。

    1重視比較學習在課堂教學中的應(yīng)用

    比較作為數(shù)學教學的有力手段,是判斷研究對象的異同點,是學生理解和掌握知識的重要方法。教學實踐表明,通過比較,能使學生從抽象概括上升為理性認知。新知識的學習如果不與已有知識進行比較,將會變得難以前行,有時甚至止步不前。線性代數(shù)課程中有許多內(nèi)容既有聯(lián)系又有區(qū)別,在教學中充分運用比較的方法,有助于突出教學重點,突破教學難點,這樣學生才能更容易接受新知識,不至于混淆知識,從而提高了辨析能力和邏輯思維能力,對數(shù)學知識掌握得更牢固更全面。

    例如:行列式和矩陣容易混淆,很多學生在學習行列式和矩陣之后,分不清矩陣和行列式,就m×n矩陣和n階行列式而言,矩陣的行數(shù)與列數(shù)有時相等有時不等,如相等則是方陣,而行列式的行數(shù)與列數(shù)必須相等,學生還經(jīng)常把兩者的符號混淆使用,并且把行列式和矩陣的計算性質(zhì)混淆在一起。比如說,m×n矩陣的數(shù)乘和n階行列式的數(shù)乘(常數(shù)k≠0):用數(shù)k乘以矩陣,即用數(shù)k乘以矩陣中的每個元素;若用數(shù)k乘以行列式,則行列式的某一行(列)中的所有元素都乘以k。

    行列式實質(zhì)就是規(guī)定了某種運算規(guī)律(即所有不同行不同列的n個元素的乘積的代數(shù)和)之后計算出的一個數(shù),而矩陣則代表由一些數(shù)字構(gòu)成的數(shù)表,并且行數(shù)和列數(shù)一般不相等,只有行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣即方陣才有對應(yīng)的行列式。

    這樣比較學習使學生清晰辨別行列式與矩陣,理解并掌握相關(guān)數(shù)學知識。數(shù)學教學中恰當?shù)膽?yīng)用比較,不但能突出事物的本質(zhì),明確概念的內(nèi)涵和外延,而且可以簡化某些問題的教學。這不僅有利于學生理解和掌握數(shù)學概念,而且是學生進行判斷和推理的重要的思想方法,它有助于學生提高認識事物和解決問題的能力。

    2注重等價分類法在教學中的應(yīng)用

    例如:向量組的線性相關(guān)性這一章主要圍繞五個關(guān)鍵概念展開:向量組的線性相關(guān)性(線性相關(guān)、線性無關(guān))、向量組的最大無關(guān)組、向量組的秩、矩陣的秩、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。這五個關(guān)鍵概念環(huán)環(huán)相扣,把這一章的教學內(nèi)容串聯(lián)起來。其中向量組的最大無關(guān)組是連接其他四個概念的紐帶,最大無關(guān)組是向量組線性相關(guān)性的核心。另一方面,最大無關(guān)組給出了向量組的秩和矩陣的秩含義,向量組的秩等于向量組的最大無關(guān)組所含的向量個數(shù),矩陣的秩等于它的列向量組的秩,也等于它的行向量組的秩。齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系即是它的解向量組(或解空間)的最大無關(guān)組。

    對于向量組的線性相關(guān)、線性無關(guān)的定義,學生往往感覺抽象難學,不像行列式、矩陣、線性方程組那么具體了,那么我們可以用等價分類的方法使得學生理解概念的內(nèi)涵,并和其他知識點聯(lián)系起來,如:齊次線性方程組、線性組合、線性表示、行列式、矩陣的秩,同時利用等價分類討論,從多個角度詮釋向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān),使得學生完善對這些概念的理解,且獲得相關(guān)結(jié)論和求解方法。

    在教學過程中采用等價分類的教學方法,不僅促進了學生對概念的掌握,還培養(yǎng)了學生全面思考、多角度看待事物的能力,同時把知識串聯(lián)起來,形成知識體系,便于學生系統(tǒng)掌握知識。

    3與其他學科聯(lián)系起來

    對于線性代數(shù),學生學完之后不知道用處,也不了解怎么用,這降低了他們對線性代數(shù)的學習興趣。教師僅一味地強調(diào)線性代數(shù)在實際生活中應(yīng)用比較廣泛,這并不能促進學生對本課程的學習,要切實舉出實例,使學生從主觀上體會到它的作用,這樣才能充分調(diào)動他們的積極性。

    例如:在講解矩陣乘法時,可以舉出在經(jīng)濟學上的應(yīng)用——生產(chǎn)成本的計算。利用矩陣的乘法把多個數(shù)據(jù)表匯總成一個數(shù)據(jù)表,使得生產(chǎn)成本直觀具體、一目了然。如此教學既提高了學生的學習興趣,又很好地體現(xiàn)了實際問題線性化,還讓學生體會到線性代數(shù)在實際生活的應(yīng)用,可謂一舉多得,無形中提高了教學效果。

    4幾何直觀思想在課堂教學中的應(yīng)用

    線性代數(shù)的特點之一就是概念多且抽象性強,使得學生對概念的理解掌握具有一定的難度。但是,如果教師將概念的幾何意義融入教學過程中,就會降低學生對概念的理解和掌握難度。

    例如:行列式概念和運算比較抽象,方法靈活,對學生而言,理解起來可能較為費勁,導致對行列式難以把握,只會機械記憶,對其幾何意義一概不知。其實對于行列式的概念和運算,從幾何直觀的角度來詮釋比較簡便。之前在學習《高等數(shù)學》向量代數(shù)與空間解析幾何這一章節(jié)時,知道兩個向量的向量積可以表示成行列式,其幾何意義為:與它們兩個向量都垂直且符合右手規(guī)則的向量。三個向量的混合積也可以用行列式表示,其幾何意義為:這個行列式的絕對值即為以它們?nèi)齻€向量為相鄰棱所作的平行六面體的體積。特殊地,當混合積為零時,這個六面體的體積為零,也就是三向量共面。

    這是解析幾何中一個典型的求解立體幾何體積的問題,很多同學無從下手,不知如何求解,這主要是因為他們對這個平行六面體沒有任何概念,而且不了解這個六面體的體積所表示的意義,這些原因歸根到底還是對行列式的幾何意義缺乏認識,如此一來,這個求解解析幾何的問題就轉(zhuǎn)化為求解行列式的問題,實現(xiàn)了幾何與代數(shù)之間的過渡,這樣將幾何直觀的思想融入行列式的概念教學中,不僅降低了學生對概念的理解難度,還提高了他們對線性代數(shù)的學習興趣。

    線性代數(shù)與幾何密切相關(guān),幾何上二維、三維空間可以拓展出線性代數(shù)的很多理論,一方面,解析幾何以線性代數(shù)為研究工具;另一方面,解析幾何為線性代數(shù)提供了幾何背景,兩者相輔相成,互相滲透。將兩者結(jié)合,即把“數(shù)”與“形”相結(jié)合,促進了數(shù)形結(jié)合思想的發(fā)展與應(yīng)用。除此之外,隨著計算機的發(fā)展,多媒體的應(yīng)用越來越廣泛,這是教學的一大優(yōu)勢,我們應(yīng)該把握這一優(yōu)勢,加強幾何直觀思想在教學中的應(yīng)用,使學生了解其幾何意義,增強立體感及視覺的美感。這樣不僅促進了學生對線性代數(shù)抽象知識的了解,還提高了他們抽象思維的能力。

    5數(shù)學建模思想在教學中的應(yīng)用

    不論是用數(shù)學方法解決哪類實際問題,還是與其他學科相結(jié)合形成交叉學科,首要的和關(guān)鍵的一步是將研究對象的內(nèi)在規(guī)律用數(shù)學的語言和方法表述出來,也就是建立所謂的數(shù)學模型,還要將求解得到的結(jié)果返回到實際問題中去,這種解決問題的全過程就是數(shù)學建模。而線性代數(shù)常常用于解決生活中線性化的實際問題,所以兩者相得益彰。

    密碼學中的信息代碼就是所謂的密碼,而明文就是沒有轉(zhuǎn)換成密碼的文字信息,密文即密碼表示的信息。明文轉(zhuǎn)換為密文的過程叫加密,反之就是解密。1929年,希爾(Hill)通過矩陣理論對傳輸信息進行加密處理,提出了在密碼學史上有重要地位的希爾加密算法。如今使用頻率較高的密碼模型就來源于此。

    在線性代數(shù)的教學過程中滲透數(shù)學建模思想,建立數(shù)學模型,彰顯這門課程的知識本質(zhì),使得線性代數(shù)知識本身更加生動具體,不僅有利于學生對線性代數(shù)充分理解和掌握,提高學習興趣,同時還培養(yǎng)了學生應(yīng)用數(shù)學能力、抽象思維能力和實踐能力。

    參考文獻:

    [1]王建鵬,馬會禮.工科線性代數(shù)課程教學改革研究[J].高師理科學刊,2015,35(1):71-73.

    [2]譚高山,汪忠志.線性代數(shù)課程教學的實踐與思考[J].安徽工業(yè)大學學報(社會科學版),2014,31(4):88-90.

    [3]鄔學軍,唐明.線性代數(shù)是藍色的——大學非數(shù)學專業(yè)《線性代數(shù)》的課程設(shè)計[J].大學數(shù)學,2008,24(6):12-15.

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