高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的探究式教學(xué)設(shè)計(jì)

王海滔　朱海燕

摘 要：新課標(biāo)中指出：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純地依賴模仿和記憶，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要方式?！痹诟呷虒W(xué)專題復(fù)習(xí)教學(xué)過程中，不僅應(yīng)著眼于對(duì)知識(shí)的深化和方法的拓展，而且要重視滲透數(shù)學(xué)思想方法，在探究過程中培養(yǎng)學(xué)生辨析能力和反思能力。

關(guān)鍵詞：探究；反思；思維；激活；拓展

高三復(fù)習(xí)課，貫穿整個(gè)高三數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，許多教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)以及學(xué)生的易錯(cuò)、易混淆的知識(shí)點(diǎn)和題型，都需要通過復(fù)習(xí)課來強(qiáng)調(diào)、落實(shí)、辨析和糾正。在新課程背景下，課堂教學(xué)改革要求精心設(shè)計(jì)課堂教學(xué)程序，優(yōu)化教學(xué)過程，從而提高教學(xué)效率，特別是在高三教學(xué)專題復(fù)習(xí)教學(xué)過程中，不僅應(yīng)著眼于對(duì)知識(shí)的深化和方法的拓展，而且要重視滲透數(shù)學(xué)思想方法，在探究過程中通過變題、編題培養(yǎng)學(xué)生的辨析能力和反思能力。

本文就一節(jié)《導(dǎo)數(shù)與不等式綜合應(yīng)用》的高三復(fù)習(xí)課為例，結(jié)合自己的一些體會(huì)，把這節(jié)課的教學(xué)過程加以細(xì)化和整理，以教學(xué)設(shè)計(jì)的形式呈現(xiàn)給同行，敬請(qǐng)指教。

一、教學(xué)背景

上節(jié)課復(fù)習(xí)了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的簡(jiǎn)單應(yīng)用（求單調(diào)區(qū)間和極值、最值等），呈現(xiàn)作業(yè)：已知函數(shù)f（x）=2lnx+（a∈R）。（1）求f（x）單調(diào)區(qū)間；（2）求f（x）在[1，2]上的最小值。答案如下：

（1）f ′（x）=（x>0），當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）增區(qū)間為（0，+∞）；當(dāng)a>0時(shí)，f（x）減區(qū)間為（0，），增區(qū)間為（，+∞）。

（2）分類討論可求得當(dāng)a≤1時(shí)，f（x）min=a；當(dāng)1

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

1.基本應(yīng)用問題，一題多解——激活思維

教師：今天，我們繼續(xù)由作業(yè)題中的函數(shù)f（x）=2lnx+（a∈R），一起來探討導(dǎo)數(shù)與不等式綜合應(yīng)用的有關(guān)問題。思考下列問題，尋求一題多解。

問題（1）：若f（x）在[2，3]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

問題（2）：若x∈[1，2]時(shí)，f（x）≥2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

問題（1）學(xué)生回答有這樣三種解法。

解法1：等價(jià)轉(zhuǎn)化為f ′（x）≥0，即x2-a≥0在[2，3]上恒成立，結(jié)合y=x2-a圖像，只需22-a≥4，故a≤4。

解法2：同樣等價(jià)轉(zhuǎn)化為f ′（x）≥0在[2，3]上恒成立，分離變量得，只需a≤（x2）min，故a≤4。

解法3：利用作業(yè)中已求出的單調(diào)區(qū)間，只需[2，3]是增區(qū)間子集，故a≤0或0<≤2，故a≤4。

問題（2）學(xué)生回答有這樣兩種解法。

解法1：不等式恒成立直接轉(zhuǎn)化為f（x）min≥2，利用作業(yè)中最小值的結(jié)果，轉(zhuǎn)化為解不等式組取并集，即a≥42ln2+≥2或1

解法2：由f（x）≥2分離變量得a≥2x2-2x2lnx，設(shè)h（x）=2x2-2x2lnx，x∈[1，2]，只需a≥h（x）max，易得出h（x）max=h（）=e，故a≥e。

教師：嘗試改變題目的條件，進(jìn)行變式，并說出求解思路。

學(xué)生：?jiǎn)栴}（1）變式：在[2，3]上是減函數(shù)呢？轉(zhuǎn)化為f′（x）≥0在[2，3]上恒成立。

解題思路：轉(zhuǎn)化為f ′（x）≤0在[2，3]上恒成立。

問題（2）變式：存在x∈[1，2]，使f（x）≥2成立呢？

解題思路：直接轉(zhuǎn)化為f（x）max≥2或分離變量后只需a≥h（x）min。

課堂上，學(xué)生通過一題多解，變式編題并及時(shí)解答，完全融入到自主學(xué)習(xí)中，學(xué)生的解題思維充分被激活，探究熱情被充分激發(fā)，課堂氣氛非常輕松活潑。

教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)反思：

問題（1）、（2）常有哪些解題基本方法？

學(xué)生歸納總結(jié)：?jiǎn)栴}（1）已知函數(shù)某個(gè)區(qū)間單調(diào)性，求參數(shù)取值問題，常用方法有等價(jià)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)大于等于或小于等于0恒成立問題，或等價(jià)轉(zhuǎn)化為已知的單調(diào)區(qū)間是原函數(shù)相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集問題。

問題（2）處理不等式恒成立問題，或能成立（存在性）問題，一般方法有抓住主元直接求最值法、分離變量法、數(shù)形結(jié)斜率公式合法等，但解題要選擇最優(yōu)解法，能避免分類討論的盡量避免，故問題（2）中分離變量法比較簡(jiǎn)潔。

2.形同質(zhì)異問題，辨析歸納——拓展思維

問題（3）：當(dāng)a=-4時(shí)，若對(duì)任意的x1，x2∈[1，2]，使f（x1）-f（x2）≤M恒成立，求實(shí)數(shù)M的最小整數(shù)。

學(xué)生1：要使原不等式恒成立，只需（f（x1）- f（x2））max≤M。

教師：如何求f（x1）-f（x2）的最大值。

學(xué)生1：f（x1）-f（x2）=2lnx1+-2lnx2+=……

學(xué)生2：這樣不能求f（x1）-f（x2）的最大值，因?yàn)橛?個(gè)自變量x1，x2。因f（x1）和f（x2）取值范圍相同，所以只要求出f（x）在[1，2]的最大值、最小值，它們的差就是f（x1）-f（x2）的最大值。

很多學(xué)生都有同感，教師給予了及時(shí)的表揚(yáng)，課堂氣氛非常融洽，接著和學(xué)生一起板演了解題過程。

問題（4）：設(shè)g（x）=x2+2x-6，若對(duì)任意的x1，x2∈（1，2），使f（x1）≥g（x2）恒成立，求實(shí)數(shù)a取值范圍。

學(xué)生分小組討論，并派代表講解解題思路。

學(xué)生3：等價(jià)轉(zhuǎn)化為f（x1）min≥g（x2）max，即f（x1）min≥2，x∈[1，2]，就轉(zhuǎn)化為問題（2）中的解法1。

學(xué)生4：兩個(gè)變量恒成立，逐個(gè)處理，對(duì)x2∈[1，2]，只需f（x1）≥g（x2）max即f（x1）≥2，再用問題（2）中的分離變量法求解。

教師：比較問題（3）、（4），并繼續(xù)嘗試改變題目的條件，改編題目。

學(xué)生：?jiǎn)栴}（3）變式：若存在x1，x2∈[1，2]使用 f（x1）-f（x2）≥M成立呢？

解題思路：等價(jià)轉(zhuǎn)化為（f（x1）-f（x2））max≤M

問題（4）變式1：若存在x2∈[1，2]，使對(duì)任意的x1∈[1，2]有f（x1）≥g（x2）成立呢？解題思路：等價(jià)轉(zhuǎn)化為f（x1）min≥g（x2）min。

問題（4）變式2：若存x1，x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2）成立呢？

解題思路：等價(jià)轉(zhuǎn)化為f（x1）max≥g（x2）min

教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)反思：對(duì)于這些形同質(zhì)異的問題，學(xué)生往往覺得親切、熟悉，但易成問題失誤。學(xué)習(xí)中通過變式探究、辨析和歸納，反思他們的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律，這將提高同學(xué)們分析解決問題的能力和思維能力。比較問題（3）和（4）及變式題，反思它們的解題關(guān)鍵有何區(qū)別和聯(lián)系？

學(xué)生5：都是含雙變量不等式恒成立，或能成立（存在性），求參數(shù)取值范圍問題。（3）是研究同一個(gè)函數(shù)，（4）是研究?jī)蓚€(gè)函數(shù)。處理不等式恒成立或能成立問題的關(guān)鍵點(diǎn)仍然是直接或分離變量后轉(zhuǎn)化為求最值。

3.綜合困境問題，聯(lián)想化歸——升華思維

問題（5）：若a<1，對(duì)任意的x1，x2∈[1，2]，x1≠x2，都有|f（x1）-f（x2）|>4|x1-x2|成立，求實(shí)數(shù)a取值范圍。

教師把時(shí)間充分地留給學(xué)生。學(xué)生們經(jīng)過理性思考和深入討論后，有同學(xué)有了一種解法。

學(xué)生6：聯(lián)想到斜率公式，不等式變形為>4恒成立，只需|f ′（x）|>4，通過畫圖，感覺上就是。

此時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生一起通過畫圖，說明已知 f（x）是連續(xù)光滑曲線。f（x）圖像上任意兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），f（x）圖像上必存在點(diǎn)P，使過點(diǎn)P的切線與AB平行，故只需|f ′（x）|>4，x∈（1，2）。即|f ′（x）|=>4對(duì)x∈（1，2）恒成立。再轉(zhuǎn)化為a<（x2-2x3）max，得a≤-12。

學(xué)生7：不等式含有絕對(duì)值，考慮怎樣去掉兩個(gè)絕對(duì)值。不妨令x1>x2，因a<1，故f（x）在[1，2]遞增，則f（x1）>f（x2），這樣就去掉了兩個(gè)絕對(duì)值，不等式可以化為f（x1）-f（x2）>4（x1-x2）……①

教師：為什么可以不妨令x1>x2？可以怎樣變形①式，怎么轉(zhuǎn)化為熟悉的問題？

學(xué)生7：不等式關(guān)于x1，x2對(duì)稱，變形為f（x1）-4x> f（x2）-4x2……②，設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-4x，則②式為 F（x1）>F（x2），對(duì)x1，x2∈[1，2]恒成立。于是轉(zhuǎn)化為F（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，求a取值范圍。

教師引導(dǎo)學(xué)生反思，第二種解法成功的關(guān)鍵在何處？關(guān)鍵是根據(jù)單調(diào)性去掉不等式中的絕對(duì)值，變形成②式，再構(gòu)造函數(shù)F（x），把雙變量不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為新函數(shù)單調(diào)性問題。

教師：我們繼續(xù)嘗試改變題目條件，來比較兩種方法的優(yōu)越性。

問題（5）變式1：改變a的范圍，比如a∈R，求a取值范圍。

學(xué)生8：選擇問題（5）解法一較簡(jiǎn)單。如果選擇解法二，要對(duì)a分類討論單調(diào)性來去絕對(duì)值，太復(fù)雜。

問題（5）變式2：不等式變?yōu)閨f（x1-f（x2）|<（7-a）ln呢？

學(xué)生9：不能用問題（5）解法一解，選擇解法二，不等式變形去絕對(duì)值。不妨令x1>x2，則f（x1）-f（x2）<（7-a）（lnx1-lnx2），即f（x1）+（a-7）lnx1

設(shè)函數(shù)H（x）=f（x）+（a-7）lnx，于是轉(zhuǎn)化為H（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，下略。

這節(jié)課圍繞著五個(gè)問題，同學(xué)們經(jīng)過一番理性思考與深入探究變題，及時(shí)辨析、反思、總結(jié)。以導(dǎo)數(shù)為載體，把函數(shù)單調(diào)性最值問題與含參不等式恒成立、能成立問題搭建了一座暢通的互相轉(zhuǎn)化的橋梁。學(xué)習(xí)中，無時(shí)不滲透著數(shù)學(xué)思想，特別是分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想。在一題多解、一題多變的探究性學(xué)習(xí)中，同學(xué)們主動(dòng)參與，思維活躍，討論也很激烈，從而真正達(dá)到做一題，會(huì)一類，通一片，進(jìn)而建立知識(shí)模塊，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。事實(shí)上，從一道平凡的例、習(xí)題出發(fā)，經(jīng)過不斷地思考、拓展，就能成為一批經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題。

三、教學(xué)反思

1.教師精選例題，做好專題復(fù)習(xí)教學(xué)的策劃設(shè)計(jì)和調(diào)控

衡量一堂課高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)課成功與否的關(guān)鍵在于學(xué)生參與的程度，而學(xué)生的參與與例題的選取有密切的關(guān)系。在專題復(fù)習(xí)教學(xué)中應(yīng)復(fù)習(xí)鞏固重點(diǎn)知識(shí)為目標(biāo)，設(shè)計(jì)高質(zhì)量的例題，既要考慮重點(diǎn)知識(shí)的基礎(chǔ)性，又要考慮重點(diǎn)知識(shí)的綜合性。因此，在復(fù)習(xí)課中，我們也應(yīng)該控制好例題的難度，要使得絕大多數(shù)學(xué)生都能做，要讓絕大多數(shù)學(xué)生通過“跳”后都能“摘到桃子”，否則，會(huì)嚴(yán)重地傷害學(xué)生做題的積極性。要建立良好的專題教學(xué)氛圍，教師發(fā)揮好主導(dǎo)作用是關(guān)鍵，在專題教學(xué)過程中，教師應(yīng)當(dāng)成為參與者、促進(jìn)者和調(diào)控者。當(dāng)學(xué)生的思維受阻時(shí)，給予啟發(fā)和引導(dǎo)；當(dāng)學(xué)生回答有偏差時(shí)，給予點(diǎn)撥?？舍槍?duì)解題過程中出現(xiàn)的問題，適當(dāng)?shù)亟M織學(xué)生進(jìn)行討論。

2.圍繞探究組織教學(xué)，拓展學(xué)生的思維空間

在獨(dú)立探究的基礎(chǔ)上，學(xué)生在課堂上展示自己的思維方法和解決問題的方法，教師給出恰當(dāng)?shù)墓膭?lì)評(píng)價(jià)，這樣既增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心，又提高了學(xué)生主動(dòng)探索的能力，當(dāng)學(xué)生的思維處于被激活的狀態(tài)時(shí)，學(xué)生的創(chuàng)造性思維才能得以激活。因此，教師要適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用鼓勵(lì)和評(píng)價(jià)的手段，以提高課堂教學(xué)效率?！岸犙劭唇K覺淺，絕知此事要躬行”，在教學(xué)中，教師指導(dǎo)學(xué)生編題，不但可以使學(xué)生加深對(duì)解題思路方法的理解，掌握典型題目的解題規(guī)律，而且可以使課堂教學(xué)充滿生機(jī)和活力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的探索能力和創(chuàng)新精神，有利于學(xué)生自我意識(shí)和獨(dú)立人格的形成，有利于形成全面深刻的數(shù)學(xué)觀。教學(xué)過程中，不僅應(yīng)著眼于對(duì)知識(shí)的深化和方法的拓展，而且要重視滲透數(shù)學(xué)思想方法，在探究過程中培養(yǎng)學(xué)生辨析能力和反思能力，真正激活、拓展、升華學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

總之，高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)課堂教學(xué)中，教師要時(shí)時(shí)刻刻注意給學(xué)生提供參與的機(jī)會(huì)，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)作用，只有這樣才能收到良好的教學(xué)效果。讓我們記住關(guān)于教育的一句世界性名言——告訴我，我會(huì)忘記；分析給我聽，我可能記??；如果讓我參與，我會(huì)真正理解。

參考文獻(xiàn)：

張乃達(dá).數(shù)學(xué)思維教育學(xué).

（作者單位：浙江省溫嶺市第二中學(xué)）