展示思維過程 揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)

劉偉光

摘 要：數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于數(shù)學(xué)的思維，是用數(shù)來揭示規(guī)律的學(xué)科。本文從幾個方面闡述了數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)中，怎樣展示數(shù)學(xué)展示思維過程，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，并進一步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，總結(jié)數(shù)學(xué)方法，形成數(shù)學(xué)思想，提煉數(shù)學(xué)精神。

關(guān)鍵詞：展示思維過程；提示數(shù)學(xué)本質(zhì)；學(xué)生體驗學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)的本質(zhì)是什么？對數(shù)學(xué)的本質(zhì)的理解與把握將決定一個數(shù)學(xué)老師的教學(xué)觀和教學(xué)方法、手段。在初中階段，一般認為，數(shù)學(xué)的本質(zhì)主要是對數(shù)學(xué)基本概念的理解，對數(shù)學(xué)思想方法的把握，以及對數(shù)學(xué)特有思維方式的感悟。不管每堂課的目標是什么，但從數(shù)學(xué)的本質(zhì)看應(yīng)該都是一樣的，數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)其實就是師生間的這種“思維過程”的教學(xué)，也就是說數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)一定要重視展示獲得知識以及運用知識的數(shù)學(xué)思維過程。讓學(xué)生要在教師的引領(lǐng)下，從特殊的、具體的事物中去發(fā)現(xiàn)和抽象并總結(jié)出一般的規(guī)律，在獲取知識和運用知識的過程中去發(fā)現(xiàn)和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思學(xué)形成過程、發(fā)展過程再現(xiàn)出來，并讓學(xué)生通過總結(jié)一般規(guī)律，知其然并知其所以然。

一、教材的知識結(jié)構(gòu)與學(xué)生的認識水平之間是存在差異的，教師在教學(xué)過程中要關(guān)注設(shè)計教學(xué)活動過程，展示知識發(fā)生、形成、發(fā)展的過程，使之貼合學(xué)生的認知水平

數(shù)學(xué)教材編寫呈現(xiàn)的是知識的邏輯體系，隱含了知識的發(fā)生、發(fā)展、形成的過程以及抽象概括的思維過程，但是學(xué)生的認識水平與教材知識結(jié)構(gòu)之間往往存在較大差異，對學(xué)生來說是不利于他們學(xué)習(xí)的。而教學(xué)內(nèi)容則來自于教師對教材內(nèi)容及學(xué)生實際情況需要的綜合加工，也就是說，教師要對教材內(nèi)容進行調(diào)整，要通過增減知識鏈的形成發(fā)展過程，更好地展示知識的發(fā)生、發(fā)展、形成的過程，讓學(xué)生充分理解、體驗這個過程，從而形成良好的思維品質(zhì)和合理的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，更好地促進有效的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)。

在浙教版七上第120頁5.3一元一次方程解法第2課時中，兩道例題：

例 解下列方程：

（1）= （2）-=x

第1道題學(xué)生的問題不會很多，但第2道題，學(xué)生在做同類型題時，最容易出現(xiàn)的問題就是沒有分母的那一項沒有乘以最小公倍數(shù)民，也就是說漏乘了一項。

查看這一課時的教學(xué)建議有一條“去分母時不要漏乘不含分母的項”。那么教師在教學(xué)過程中要怎么讓學(xué)生體驗、理解這一點呢？

前幾天，筆者剛好聽了一堂數(shù)學(xué)公開課，上的就是一元一次方程的解法，教師在講解的過程是這樣的：

師：要消去分母，應(yīng)該怎樣做？生：兩邊都要乘以10

去括號，得：2x-15+10x=10x

移項，得：2x+10x-10x=15

合并同類項，得：2x=5

兩邊同除以2，得：x=7.5

完成后，教師歸納解一元一次方程的解題步驟，強調(diào)了不能漏乘，有幾項就要乘幾個最小公倍數(shù)。

筆者感覺這個例題的教學(xué)沒有讓學(xué)生真正理解“去分母時不要漏乘不含分母的項”，沒有真正理解就會導(dǎo)致將來解題時會按自己的理解去做，就在以后的解題錯誤中埋下伏筆。

但是，在這個例題的教學(xué)過程中，教師如果在兩邊同乘10時，讓學(xué)生多寫兩個步驟，兩邊同乘以10，-×10=x×10得

去括號×10-×10=x×10得

最后讓學(xué)生總結(jié)過程時再進行說明，這樣的話，學(xué)生就會知道、理解并記住為什么不含分母的項的那項也是要乘最小公分母的，相信在以后的解題過程中，遇到此類問題會減少犯同樣的錯。

二、數(shù)學(xué)問題永遠是促進學(xué)生思維的主要動力，教師要善于利用數(shù)學(xué)問題，展示數(shù)學(xué)思維的過程，引發(fā)學(xué)生思考，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，讓學(xué)生體驗怎樣去分析、思考，并通過學(xué)生自己的學(xué)習(xí)，構(gòu)建出新的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)

七年級上數(shù)學(xué)每課一練第55頁整式的練習(xí)中，有一道這樣的題，如圖是一塊長方形的草坪，草坪長30米，寬20米，草坪上開有十字形小路，小路寬x米。用x的代數(shù)式表示草坪的面積，當x=1.5時，求草坪的面積。

這道題，七年級學(xué)生他們理解的能用的方法是小學(xué)生的思維過程：草坪面積=整個長方形面積-小路面積。

但是，這樣的思維方式明顯有局限性，例如，如右圖那樣的小路，又應(yīng)該怎樣分析？

為解決這個問題，讓學(xué)生充分理解解題的方法，我設(shè)計了如下問題：

1.如右圖所示，如果小路只有一條且小路的寬度是x米，那么草坪的面積如何計算？

分析：如果將草坪的左邊地塊的部分向右移動x米，會怎樣？學(xué)生形成結(jié)論，與右邊地塊仍會拼成一個長方形草坪，且草坪的長為（30-x）米，而寬為20米不變，面積變成（30-x）米乘以20米。

2.若開的路是如圖的折線形，寬度仍舊是x米，那么草坪地塊的面積是多少？

分析：同樣的思路，將左邊的地塊向右移動x米，與右邊地塊拼成一個長方形草坪，草坪面積還是原來的變成（30-x）米乘以20米。

3.若開的路是如圖的曲線，路的寬度仍舊是x米，那么草坪的面積是多少？

分析：同樣的思路，將左邊的地塊向右移動x米，與右邊地塊拼成一個長方形草坪，草坪面積還是原來的變成（30-x）米乘以20米。

通過這樣的幾道習(xí)題，教師展示出了這類題目的根本思維過程，通過移動、拼湊，草坪的總面積還是一個長方形，是不需要分塊計算的，這樣計算草坪的面積就變得簡單。

所以這個習(xí)題的本質(zhì)是：通過平移，將草坪移動到一塊，這一塊草坪面積應(yīng)該是（30-x）（20-x）平方米，在將來遇到同樣的問題就能用同樣的方法來解決。

三、習(xí)題是檢驗學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識的工具和手段，教師對于習(xí)題的講解，也要展示知識點的數(shù)學(xué)思維，提示數(shù)學(xué)本質(zhì)，幫助學(xué)生鞏固和加深對數(shù)學(xué)知識的體驗、理解，引導(dǎo)學(xué)生在問題的數(shù)學(xué)的本質(zhì)中去分析、提煉，提煉出一類問題的解決方法

例 蘭溪市2015學(xué)期第一學(xué)期期末考試中的第16題：

如圖，∠AOC=60°。將一把三角尺的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方，其中∠OMN=30°。

（1）將圖1中的三角尺繞點O順時針旋轉(zhuǎn)至圖2，使一邊OM在∠BOC的內(nèi)部，且恰好平分∠BOC，則∠CON的度數(shù)是______；

（2）將圖1中的三角尺繞點O順時針旋轉(zhuǎn)至圖3，使ON在∠AOC的內(nèi)部，則∠AOM-∠NOC的度數(shù)是________。

第1小題沒有什么問題，第2小題重點分析，找出這個問題的本質(zhì)。

師：∠AOM、∠NOC兩個角度數(shù)能先求出來嗎？

生經(jīng)過思考：不能，因為這兩個角度是不定的，大小會變，所以求不出來。

師：那就是說，通過先求兩個角度數(shù)再求差這種方法已經(jīng)行不通。再找哪種情況下以點O為頂點的角中有沒有特殊角？

生：有，∠MON=90度，∠AOC=60度，∠COB=120度。

師：其中∠MON，∠AOC從位置上有重疊部分嗎，是什么？

生：是∠AON。

師：再想想，能不能在這個角上找解決方法。

生經(jīng)過思考：∠AOM與∠NOC兩個角都同加上∠AON，即∠AOM-∠NOC=（∠AOM+∠AON）-（∠NOC+∠AON）=∠MON-∠AOC=90-60=30度。

由數(shù)學(xué)學(xué)科自身的特點決定了數(shù)學(xué)教學(xué)就是數(shù)學(xué)思維活動的教學(xué)，數(shù)學(xué)的本質(zhì)是讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中體驗數(shù)學(xué)思維。北京師范大學(xué)周玉仁教授曾經(jīng)說過“只要是學(xué)生能自己探索得出的，教師就決不能替代；凡是學(xué)生能獨立思考的，教師就決不能暗示”，教師要做的是把獲取知識和運用知識的思維過程充分展示、揭示給學(xué)生，讓學(xué)生在這樣的教學(xué)過程中體驗、感受數(shù)學(xué)知識，形成自己的數(shù)學(xué)認知。

參考文獻：

1.卜以樓.數(shù)學(xué)本質(zhì)教學(xué)的個案研究.

2.呂林海.從理性思維到深層理解：數(shù)學(xué)教學(xué)的實質(zhì)性關(guān)注.

3.陳厚德.有效教學(xué)[M].北京：教育科學(xué)出版社，2000.

（作者單位：浙江省縉云新碧中學(xué)）