考慮非對稱風險偏好的第一價格密封拍賣
2017-03-22 13:47:02王春寶陳迅
重慶大學學報(社會科學版) 2017年6期
摘要：在獨立私人價值（IPV）框架下，文章構(gòu)建了投標者風險偏好非對稱的第一價格密封拍賣模型。基于分布函數(shù)相同前提，對強、弱兩種風險規(guī)避度情形進行分析，研究發(fā)現(xiàn)：風險偏好非對稱的第一價格密封拍賣存在非對稱均衡投標策略且風險規(guī)避度強者投標更為激進；若風險偏好對稱，則存在對稱均衡投標策略，且強風險規(guī)避水平上的投標更為激進；對風險規(guī)避強弱的對稱與非對稱情形投標策略進行排序；拍賣的非效率性可能出現(xiàn)在風險偏好非對稱的密封拍賣中，而風險偏好對稱的拍賣總是有效率的。
關(guān)鍵詞：第一價格密封拍賣；非對稱風險偏好；拍賣效率
中圖分類號：F272 文獻標志碼：A 文章編號：1008-5831（2017）06-0041-08
一、研究問題與文獻回顧
Vickrey在關(guān)于拍賣理論的開創(chuàng)性論文中，基于投標者風險中性等假設(shè)，首次提出了收益等價定理。Myersont，Riley和Samuelson進一步在投標者風險中性、獨立私人價值、相同的價值分布以及不存在合謀的前提下，驗證了Vickrey關(guān)于幾種拍賣機制的期望收入等價的一般性結(jié)論。在之后的30年里，大量論文嘗試放松這些假設(shè)進行研究。
而對于風險偏好假設(shè)的擴展，研究主要采用風險規(guī)避絕對系數(shù)來描述投標者的風險偏好。風險偏好是為描述個體面對不確定性的態(tài)度，由Kenneth Arrow和Pratt提出和進行標準化。在拍賣中，風險偏好特別適用于投標者對拍賣品的保留價值與其自身資產(chǎn)關(guān)聯(lián)度較大時的情形。
在投標者風險偏好對稱情形的理論研究方面，Milgrom和Weber，Maskin和Riley，Matthews都假定投標者面對風險采取相同的態(tài)度，據(jù)此得出了對稱的均衡投標策略函數(shù)。Maskin和Riley將拍賣視為委托代理問題，在兩投標者風險偏好相同的前提下，側(cè)重于運用動態(tài)化方法設(shè)計最優(yōu)的拍賣機制；同時得出投標者風險規(guī)避情形下的投標策略比風險中性時更為激進，所以相對于第二價格密封拍賣，拍賣者更傾向于第一價格密封拍賣。在實證方面，Bajari和Hortacsu的研究結(jié)果顯示，在幾個拍賣模型中，風險規(guī)避模型最能獲得實證數(shù)據(jù)的支持。
在投標者風險偏好不對稱前提下，相關(guān)的實證研究較多。Cox等和Goeree等的研究發(fā)現(xiàn)，拍賣中的投標者采取了不同的風險態(tài)度。Athey和Levin則通過對木材拍賣市場的實證研究指出，在拍賣中不能忽視風險規(guī)避及其差異性。Campo對獨立私人價值的非對稱風險規(guī)避模型進行研究。由于微分方程組不存在解析解，故他采用Guerre等的“間接法”，根據(jù)假設(shè)對數(shù)據(jù)進行限制，研究模型的識別和參數(shù)估計。通過對1994-2003年問的洛杉磯市政廳建筑施工合同數(shù)據(jù)進行研究，發(fā)現(xiàn)相關(guān)經(jīng)驗影響了投標者的風險規(guī)避程度。
以上基于投標者風險規(guī)避的研究，都沒有在一般性理論框架內(nèi)研究投標者風險規(guī)避不對稱時投標者及相互之間投均衡標策略的差異，以及由此導(dǎo)致的資源配置效率方面的差異。
本文構(gòu)建了投標者風險規(guī)避非對稱的獨立私人價值第一價格密封模型。在投標者均為風險規(guī)避或中性的前提下，采用風險規(guī)避非對稱的假定，與直觀認識相符，同時也獲得了實證數(shù)據(jù)的廣泛支持。在拍賣中，投標者面對風險的態(tài)度差異與其自身財富和相關(guān)經(jīng)驗有關(guān)。由于均衡投標策略的解析解不存在，故無法根據(jù)其顯性策略解的性質(zhì)定量分析投標者之間投標策略的差異以及風險偏好對其投標策略的影響。我們認為，采用比較分析的方法可以很好地解決這一問題。在此基礎(chǔ)上，側(cè)重于從個體差異維度及風險規(guī)避維度討論投標者的行為。研究發(fā)現(xiàn)，投標者的出價不僅取決于自身的保留價值和風險規(guī)避結(jié)構(gòu)，還和其他投標者的風險規(guī)避結(jié)構(gòu)相關(guān)，風險規(guī)避結(jié)構(gòu)不對稱導(dǎo)致了投標策略不對稱。同時，針對投標策略不對稱導(dǎo)致的分配效率損失，提出了可以通過拍后轉(zhuǎn)售實現(xiàn)帕累托最優(yōu)。從另一方面說，首次提出了風險結(jié)構(gòu)不對稱是導(dǎo)致轉(zhuǎn)售可能的一個重要因素。
二、模型假設(shè)
假設(shè)賣者有一個不可分割的物品，通過第一價格密封拍賣出售給兩個投標者中的一個，且兩個投標者的投標價均為非負。投標者同時報價，拍賣品由出價最高者獲得。
投標者i的保留價值（或估值）為vi。假定vi是投標者i的私人信息，從其他投標者視角看，vi為隨機變量且服從區(qū)間[β，α]上的概率分布函數(shù)F，則有F（β）=0，F(xiàn)（α）=1。分布函數(shù)F有連續(xù)可微的概率密度函數(shù)f=F’，其在區(qū)間（β，α）上為正。假設(shè)兩個投標者估價的隨機變量為獨立同分布，且F滿足逆風險率（DRH）遞減，即f（v）/F（v）關(guān)于v遞減。為了簡化分析，假設(shè)拍賣不存在保留價（或保留價為零），并且標的物對于拍賣人沒有自有價值。
用隨機變量bi（vi）描述具有價值vi的投標者i的投標策略。給定另一個投標者的投標方程良（·）（其中.j表示另一個投標者，投標策略也可以表示為b-i（·）），若對所有vi和所有bi∈real bi（vi）（bi（vi））實現(xiàn)值的集合），6i最大化投標者的期望收益，則投標方程bi（·）是bj（·）的最優(yōu)反應(yīng)。均衡就是使得對于i，滿足bi（·）和bj（·）互為對方最優(yōu)反應(yīng)的向量（良（·）和良（·））。為了保證拍賣對投標者有利可圖，假定投標者的出價不會高于其保留價值，即bi≤vi。同時，投標者i的投標函數(shù)的反函數(shù)用φi（·）表示，即φi（·）=b-1i。
若具有價值vi的投標者i贏得了拍賣并支付價格b，則其效用為ui（b，vi）。假定ui二次連續(xù)可微，且aui/ab>0和aui/avi>0成立。由于投標者的收益（或利潤）為vi-b，故效用函數(shù)采取ui（b，vi）=Ui（vi-b）的形式，其中Ui（·）為遞增的v N-M效用函數(shù)，連續(xù)、二次可微并滿足U'i>0，U''I≤0。如果投標者i沒有贏得拍賣，則其效用為ui（0）=0。
投標者i在給定自身保留價值和由拍賣雙方效用函數(shù)形式?jīng)Q定的對方反應(yīng)函數(shù)的條件下，選擇投標策略來最大化其期望效用，則投標者i的期望效用為
其中，Hi表示投標者i的獲勝概率且>i Hi=1。由于投標策略不一定是對稱的，故其獲勝概率不能簡單由vi和vi決定，還與兩個拍賣者效用函數(shù)結(jié)構(gòu)決定的投標者.j的反應(yīng)函數(shù)有關(guān)。出于定量分析風險規(guī)避的需要，用風險規(guī)避修正絕對系數(shù)ri（·）=-aU''i（·）/U'i（·）來刻畫投標者i的風險偏好程度，常系數(shù)a考慮了競標人在非對稱風險條件下的概率差異，即a>0，風險的存在減少效用，他們當中a越大的人越規(guī)避風險；a=0，為中性投資者，風險沒影響，他們只關(guān)心期望收益率；a<0，為風險偏好投資者，風險的存在增加效用，他們當中a越小的人
由于拍賣中的兩個投標者都選擇相應(yīng)投標策略來最大化其期望效用，在均衡時他們的期望效用都達到了最大，所以他們分別對應(yīng)的微分方程應(yīng)該同時被滿足，同時結(jié)合前面的引理，可以得到考慮風險規(guī)避的第一價格密封拍賣模型。
以上條件完整構(gòu)建了非對稱風險規(guī)避的第一價格密封拍賣模型。拍賣中的兩個投標者具有不同的用風險規(guī)避修正絕對系數(shù)表示的風險態(tài)度。為了研究風險規(guī)避對其出價策略產(chǎn)生的影響，有必要再給出以下引理。
由定理2及其推論可知，投標者非對稱的風險規(guī)避結(jié)構(gòu)導(dǎo)致了他們投標策略的非對稱性。在相同價值水平上，風險規(guī)避度強的投標者比風險規(guī)避度弱的投標者的出價要高。這是因為，風險規(guī)避度強的投標者較之風險規(guī)避度弱的投標者對失去標的物更為恐懼，因此更有動力去提高出價，以確保獲勝。
觀察定理假設(shè)條件和證明過程可以看出，上述結(jié)論并不依賴于對效用函數(shù)US（·）及Uw（·）的具體形式作出過多限制，而只根據(jù)風險規(guī)避修正絕對系數(shù)的關(guān)系這一較弱條件，而且也沒有要求投標者的風險規(guī)避修正絕對系數(shù)不變，所以如果ri和rj隨著v的變化而變化，那么上述結(jié)論同樣成立。
為了比較分析均衡投標策略在投標者非對稱風險規(guī)避與對稱風險規(guī)避情形下的差異，下面先研究對稱風險規(guī)避情形下的均衡投標。當風險規(guī)避對稱時，兩投標者風險規(guī)避度均為強或者均為弱。由推論1知道，風險規(guī)避對稱情形下兩投標者的反投標策略是對稱的，故可以用yi（b）和Bi（v）分別表示對稱情形下風險規(guī)避強弱類型為i（s或者伽）時的均衡反投標策略函數(shù)和均衡投標策略函數(shù)。相應(yīng)的，投標者的出價區(qū)間為[b*，μi]。其中，μs和μw分別對應(yīng)對稱情形下風險規(guī)避強和弱的出價上限。于是，定理1中的微分方程組及邊界條件可以重新表示為
以上條件，完整構(gòu)建了對稱風險規(guī)避的第一價格密封拍賣模型。拍賣中的兩個投標者具有相同的用風險規(guī)避修正絕對系數(shù)表示的風險態(tài)度。下面的定理分析了對稱風險規(guī)避下風險規(guī)避均為強與均為弱的投標者投標策略差異。
由定理3及其推論可以知道，雖然投標者對稱的風險規(guī)避結(jié)構(gòu)導(dǎo)致了投標策略的對稱性，但是在不同風險規(guī)避度的對稱情形下，投標者的投標策略有所差異：兩投標者均為強風險規(guī)避時的均衡出價比均為弱風險規(guī)避時的出價要積極。這是因為，風險規(guī)避度強的情形較之風險規(guī)避度弱的情形投標者更為害怕失去標的物，因此愿意提高出價以確保獲勝，并且，這種動因促使投標者提高了出價上限。
以上的定理2和3分別對非對稱情形和對稱情形下的投標者均衡投標策略進行了分析，接著對投標者在非對稱風險規(guī)避與對稱風險規(guī)避兩種情形下的均衡投標策略差異進行比較研究。為此，有必要先對投標者價值為β及其鄰域時的相關(guān)性質(zhì)進行研究。
四、拍賣效率分析
如果拍賣中標的物由保留價值最高者獲得，則拍賣是有效率的，即資源配置達到了帕累托最優(yōu)狀態(tài)。在經(jīng)典拍賣模型中，由于分布函數(shù)和風險偏好對稱，據(jù)此得出的投標策略函數(shù)也是對稱的，所以標的物由保留價值最高者獲得，從而拍賣是有效率的。但是若放松這些假設(shè)，標的物不一定由保留價值最高者獲得，拍賣就不再有效率。
Maskin和Riley放松了分布函數(shù)對稱的假設(shè)，在投標者分布函數(shù)不對稱的情況下，得出了價值分布函數(shù)一階占優(yōu)的投標者的出價更趨于保守。這可能導(dǎo)致了拍賣的非效率性。Hafalir和Krishna通過引入拍后轉(zhuǎn)售，證明了考慮轉(zhuǎn)售可能的分布函數(shù)非對稱拍賣的效率性，即通過轉(zhuǎn)售可以解決由分布函數(shù)非對稱所導(dǎo)致的效率損失。
基于本文前面的分析，接下來研究投標者風險偏好非對稱時的拍賣效率問題。Marechal和Morand基于常數(shù)相對風險厭惡（CRRA）效用函數(shù)及分布函數(shù)為均勻分布的前提討論了投標者風險規(guī)避度非對稱時的拍賣非效率可能性。而基于一般性假設(shè)前提下的研究卻沒有。對于一級價格拍賣，根據(jù)推論2的結(jié)論，可以給出以下定理。
定理5：投標者風險規(guī)避度非對稱的第一價格密封拍賣可能導(dǎo)致拍賣的非效率性，即資源配置不能達到帕累托最優(yōu)狀態(tài)。
容易看出，在標的物被風險規(guī)避度弱的投標者獲得時，不會存在拍賣非效率性可能，拍賣非效率性只可能存在于風險規(guī)避度強的投標者獲得標的物時。因為強風險規(guī)避度的投標者在相同價值下出價更為積極，所以即使其保留價值沒有弱風險規(guī)避度的投標者高，其出價也可能高于弱風險規(guī)避度的投標者的出價。同時，由于兩投標者的風險規(guī)避程度為共同知識，若他們的出價相同，那么將標的物分配給弱風險規(guī)避度的投標者是一個帕累托改進，將會使拍賣具有效率。而在一般情況下，拍后轉(zhuǎn)售可以很好地解決拍賣效率問題。
五、結(jié)束語
本文構(gòu)建了考慮投標者風險規(guī)避度的第一價格密封拍賣模型。在第一價格密封拍賣中，運用比較分析的方法，首先分別研究了非對稱和對稱風險規(guī)避度情形下的出價策略，然后借助于討論邊界值及其鄰域內(nèi)投標策略的性質(zhì)，對比研究了非對稱風險規(guī)避度與對稱風險規(guī)避度兩種情形下出價策略的差異。在此基礎(chǔ)上，對拍賣效率進行分析。具體得到以下結(jié)論。
其一，在第一價格密封拍賣中，投標者非對稱的風險規(guī)避度導(dǎo)致了非對稱投標策略，且風險規(guī)避度強的投標者出價策略更為激進（定理2）。對稱的風險規(guī)避度下投標者的投標策略也是對稱的，且強風險規(guī)避度情形下的投標策略高于弱風險規(guī)避度情形下（定理3）。同時，非對稱情形下強風險規(guī)避程度的投標者比對稱情形下弱風險規(guī)避的投標者的出價更加激進，而非對稱情形下弱風險規(guī)避程度的投標者比對稱情形下強風險規(guī)避的投標者的出價策略更加保守（定理4）。
其二，基于投標策略的分析，發(fā)現(xiàn)拍賣的非效率性只可能存在于投標者風險規(guī)避非對稱的第一價格密封拍賣中。由非對稱風險規(guī)避度所導(dǎo)致的非對稱投標策略可能會造成拍賣效率的損失，且只有在強風險規(guī)避度投標者獲得標的物時存在損失可能性（定理5）。
下面對未來研究方向進行討論。主要考慮通過放松前提假設(shè)提出研究建議。本文的模型假設(shè)拍賣中只有兩個投標者，未來的研究可以考慮投標者多于兩個的模型，分析其結(jié)論是否會發(fā)生改變。由于本文基于獨立私人價值模型，也可以考慮在共同價值框架下進行研究。還可以將分析拓展到其他類型拍賣中去，或者基于投標者非對稱風險規(guī)避度的前提，設(shè)計出最優(yōu)的拍賣機制。此外，也可以研究考慮轉(zhuǎn)售可能的非對稱風險規(guī)避度模型。
在投標者風險偏好非對稱的第二價格密封拍賣模型中，可以證明存在對稱貝葉斯一納什均衡投標策略且與風險偏好無關(guān)，均為其保留價值，即bi（v）=v。此時，拍賣總是有效率的。在此基礎(chǔ)上，可以討論第一和第二價格密封拍賣中的拍賣者期望收益的差異。
（責任編輯 傅旭東）
