多維向量空間決策模型及其應用研究

張 培，紀昌明，吳月秋，張驗科，李榮波

(華北電力大學可再生能源學院，北京 102206)

水庫群多目標調度問題是一個多階段、多屬性的滾動決策過程。已有研究大多針對水庫群多目標調度模型的構建與求解方法方面，關于水庫群多目標調度的非劣方案評價決策的研究成果則相對較少。不同的調度方案將引起不同相關部門(涉及電力、水利、航運、供水、生態(tài)等多部門)的利益的差異，在實際運用中，最佳調度決策的確定還需要結合決策者的主觀偏好和利益傾向。針對該問題，有些學者進行了研究并取得了有一定的研究成果[1-4]。但一般的多目標決策分析方法存在評價方法不通用、可移植性差、評價結果不顯著、可擴展性弱等特點。本文對向量空間模型[5,6](Vector Space Model, VSM)進行了改進，并將其引入到多目標決策分析中來，通過評選方案有向線段指標與理想方案有向線段指標之間的映射距離，建立多目標調度方案最優(yōu)決策模型。由于評價過程全部在N維向量空間中完成，因此當模型擴展為N+1維時，之前N維模型的計算結果都可以直接應用，既減少了冗余的計算，又能顯著提高模型求解效率。

1 多維向量空間評價模型

1.1 向量空間模型

VSM是由Gerard Salton等人提出的信息檢索領域的經(jīng)典模型。模型首先將每一文檔都映射為向量空間中的一個點，通過對文檔集進行切分、停用處理等步驟得到的一系列詞作為文檔的特征向量。繼而，這些詞對應的特征向量就構成一個空間，每個詞對應空間中的一維。最后通過計算需要檢索的信息向量與文檔向量空間中的信息向量的夾角的余弦值來表示查詢信息與文檔的相似程度。模型原理示意圖如圖1所示。

圖1 向量空間模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of vector space model

假設文檔信息向量為a1,需要檢索的文檔信息向量集為A=(a1,a2,a3,a4),則通過ai∈A與a1的向量夾角余弦值來表示ai∈A與a1的相似程度。一方面，因為原模型采用了向量夾角的余弦值的形式，為保證評價結果的非負性，向量夾角通常采用銳角的形式；另一方面，原模型只考慮了空間兩向量的夾角而忽略了向量的長度差異。以上兩方面的處理方式雖然能簡化計算，但卻容易削弱模型的評價性能，造成評價結果不顯著，對方案間優(yōu)劣排序的區(qū)分度不明顯的現(xiàn)象?；诖?，本文提出了待選方案指標向量到理想方案指標向量的映射距離的表示方法，并以此來表征評價結果，改進后的模型既能提高結果的顯著性，又能方便決策者更直觀的進行了方案的評價與決策。

1.2 向量空間模型的改進算法

1.2.1 構造向量空間

假設某水庫群多目標調度的非劣解集為Q(Q1,A2,…,Qm)，綜合評價指標集為R(R1,R2,…,Rn)，把方案Qi對指標Rj的評價值記為yij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)，即yij表示第i個方案中的第j個評判指標。則建立初始評判矩陣為：

(1)

由于各評價指標量綱信息不同，為便于分析，需要對各評價值進行標準化處理。一般地，采用極差法對不同類型的評價指標進行無量綱化處理，處理后的結果形成標準化決策矩陣Umn=(uij)m×n。

對于期望值越大越好型指標的處理方法是：

(2)

對于期望值越小越好型指標的處理方法是：

(3)

本文采用熵權法來確定各指標的權重。根據(jù)熵值的定義，第j個指標的熵值為：

(5)

(6)

(7)

W(w1,w2,…,wn)為各評價指標序列的權重。這樣就得到了帶有權重的空間有向線段ouωopti=ωjouopti，j=1,2,…,n；i=1,2,…,m，ouωij=ωjouij，j=1,2,…,n；i=1,2,…,m。綜上所述，有向線段ouωopti、ouωij就構成了已所選空間某點O(o1,o2,…,on)為基點的向量空間A。

1.2.2 映射距離的求解方法

上文中所構造的向量空間A即為決策向量空間。在向量空間A中多目標調度的理想方案有向線段為ouωopt=(ω1ouopt1,ω2ouopt2,…,ωnouoptn)，多目標調度的評價方案有向線段集合B為B={ouωij|ouωij=ωjouij,j=1,2,…,n;i=1,2,…,m}，有向線段ouωopt與ouωij的夾角為θij。由向量空間的知識可得夾角θij的余弦值為：

(8)

從而求得：

θij=arccos (cosθij)

(9)

最后得到評價方案ouωij與理想方案ouωopt之間的加權映射距離為：

(10)

Di的值越小表示評價方案到理想方案間的映射距離越短，即Di的值越小對應的評價方案的評價值越接近理想方案的指標值，也就是說Di越小對應的評價方案越優(yōu)。

1.2.3 基于映射距離的空間向量決策模型及其求解方法

于是，建立基于映射距離的空間向量決策模型(Multi-Dimensional Vector Space Model Based on Mapping From，MVSM)如下：

；θ∈(0,2 π)

(11)

MVSM求解步驟如下： ①獲取多目標調度的非劣解集方案Q(Q1,Q2,…,Qm)；②根據(jù)特定水庫群的多目標調度評價指標，計算評價指標值，構成評價方案集P=(pij)m×n；③對評價集進行標準化處理，得到標準化的評價矩陣U=(uij)m×n；④根據(jù)權重計算方法，計算各指標權重wj；⑤定義考慮權重的理想方案有向線段ouωopti=ωjouopti與考慮權重的待選方案有向線段ouωij=ωjouij,構造多目標決策向量空間A；⑥計算評價方案有向線段ouωij與理想方案有向線段ouωopt之間的加權映射距離Di；⑦根據(jù)Di的值從小到大排列得到方案優(yōu)劣排序。

2 實例應用

水庫群多目標調度是一個多維的、復雜的系統(tǒng)工程問題，受所建模型、求解方法及求解精度的影響，得到的非劣解集不盡相同且均存在一定的誤差，有些情況下還會存在某些方案各方面指標非常接近的情況。為了在保證方案評價過程全面性、客觀性的基礎上，提高評價模型的顯著性水平，本文引入空間向量對方案集進行處理，并將提出的基于空間向量映射距離的多目標決策方法，應用到三峽梯級防洪多目標優(yōu)化調度方案集的評價過程中。

在此，采用文獻[7]計算得到的多目標防洪優(yōu)化調度非劣解方案集為基礎，根據(jù)實用有效、計算簡便的原則，選取最高水位、超防洪高水位風險率，下泄洪峰、超控制下泄流量風險率、發(fā)電量5個決策指標，則多目標防洪優(yōu)化調度非劣方案評價集如表1所示。

對決策矩陣進行標準化處理后，所得標準化決策矩陣U為：

表1 多目標調度方案評價集Tab.1 Evaluation set of multi-objective scheduling scheme

采用熵權法確定各個評價指標的權重，最終的權重分配結果為：W=(0.182 0,0.208 2,0.185 3,0.210 0,0.220)。依據(jù)向量空間的有序性，確定理想方案Uopt=WT(uopt,1,uopt,2,…,uopt,5)=(0.182 0,0.208 2,0.185 3,0.210 0,0.220)。選取空間原點O(0,0,0,0,0)作為起點，這樣以理想方案Uopt對應的指標值作為終點形成有向線段uopti，以評價方案ui[ui=(ui1,ui2,…,ui6),i=1,2,…,9]對應的指標值作為終點形成有向線段uij，結合公式(1)計算各方案有向線段與理想方案有向線段之間夾角的余弦值為cosθi,i=1,2,…,9，然后結合公式(2)、(3)求得各方案與理想方案之間的加權余弦和值為Di,i=1,2,…,9，計算結果如表2所示。

根據(jù)方案對應的映射距離越小則方案越優(yōu)的原則，選取方案5為最佳優(yōu)選方案，方案4和方案6為備選方案。由表2可以看出，方案5所對應的各項指標的值比較均衡，且沒有出現(xiàn)極大極小值的情況，且方案5所對應的超防洪高水位風險率較方案6低5.46%，方案5對應的超控制下泄流量風險率較方案4低5.67%。根據(jù)三峽水庫的設計標準，雖然方案5中所對應的超防洪高水位157.3 m的風險率為14.38%，但該調度方案超設計洪水位175 m的風險率為0。雖然方案5并屬于任何屬性下的最優(yōu)決策，但與其他方案相比，方案5對各指標的考量相對均衡，而且能在保證較大放電量的同時使超防洪高水位風險率和超控制下泄流量風險率處于相對低的水平，故方案5為最符合工程實際需要的最佳方案。

表2 MVSM計算結果Tab.2 The results of the MVSM

作為方法對比，將本文所提方法與逼近理想點排序法(Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution，TOPSIS)、與VSM計算結果進行了分析比較，并根據(jù)TOPSIS方法評價值越小方案越優(yōu)，VSM評價值越小方案越優(yōu)的原則給出了方案優(yōu)劣排序，計算結果如表3所示。

從表3可以看出，采用MVSM方法計算得到的排序結果與基于熵權法確定權重的TOPSIS計算的排序結果相同，而與VSM相比，最優(yōu)方案與備選方案相同，不同之處在于最劣兩方案的排列順序，不過他們在整體調度方案中的排名是十分相近的。

表3 方案排序計算結果Tab.3 The results of alternatives ranking

此外，我們將MVSM與TOPSIS方法的計算結果進行無量綱化處理，按照本文1.2.1中方法將兩種方法的計算結果調整到同一量級水平，便于從顯著性水平上進行對比。無量綱化后的評價值轉變?yōu)閿?shù)值越大則對應方案越優(yōu)的類型。圖2可以直觀地看出，MVSM方法與TOPSIS的方案優(yōu)劣排序相同，但是相比于TOPSIS方法，MVSM能更好地區(qū)分量化各個指標，評價值離散度更強，在復雜問題中更能方便決策者方便快捷的選出最佳調度方案。

圖2 TOPSIS與MVSM結果顯著性對比Fig.2 Significant contrast of the results between TOPSIS and MVSM

3 結 語

本文構建了基于映射距離排序的多目標調度方案評價空間向量模型，通過實際算例分析，并與逼近理想點排序法進行了對比分析，驗證了本文模型的有效性和合理性。本文所提方法思路清晰、計算簡單，同時具有一定的普適性，尤其在區(qū)分計算相近或易混淆指標的量化問題上有顯著優(yōu)勢。在以后的研究中，可以進一步地研究動態(tài)的權重分配方法，使得權重的設定更具有普遍適用性，已更好的實現(xiàn)模型的可操作性與可移植性。

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[1] 彭 楊,紀昌明,劉 方.梯級水庫水沙聯(lián)合優(yōu)化調度多目標決策模型及應用[J].水利學報,2013,44(11):1 272-1 277.

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[3] 紀昌明,李克飛,張驗科,等.基于機會約束的水庫調度隨機多目標決策模型[J].電力系統(tǒng)保護與控制,2012,40(19):36-40.

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[5] 袁新成.基于向量空間模型的自適應文本過濾研究[D].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學, 2006.

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[7] Li Yinghai, Zhou Jianzhong, Zhang Yongchuan, et al. Risk decision model for the optimal operation of reservoir flood control and its application [J]. Water Power, 2009,35(4):19-22.