用數(shù)值方法求解離心泵運(yùn)行工況點(diǎn)

王曉敏，朱滿林，李小周，常金梅

(西安理工大學(xué)西北旱區(qū)生態(tài)水利工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室培育基地，西安 710048)

水泵工況點(diǎn)是指水泵在某一瞬時(shí)的實(shí)際工作參數(shù)，包括流量Q、揚(yáng)程H、軸功率N、效率η等。水泵基本性能曲線由流量與揚(yáng)程曲線(Q～H)、流量與效率曲線(Q～η)和流量與軸功率曲線(Q～N)等組成。正確確定水泵工況點(diǎn)是水泵優(yōu)化選型、泵站優(yōu)化設(shè)計(jì)以及泵站安全經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的必要條件。

確定水泵工況點(diǎn)的方法有圖解法和數(shù)解法。圖解法確定水泵工況點(diǎn)，是將水泵的流量與揚(yáng)程曲線(Q～H)、裝置需要揚(yáng)程曲線(Q～Hr)繪制在同一坐標(biāo)系，找其交點(diǎn)得到水泵工作流量Q和揚(yáng)程H，然后由水泵的基本性能曲線得到水泵的軸功率N和效率η等參數(shù)。圖解法概念清楚，但確定復(fù)雜供水系統(tǒng)水泵工況點(diǎn)比較麻煩。數(shù)解法確定水泵工況點(diǎn)，是根據(jù)水泵輸水系統(tǒng)裝置，列求解水泵工況點(diǎn)方程組，然后求解[1-3]。由于離心泵內(nèi)部結(jié)構(gòu)復(fù)雜，目前還沒有能夠準(zhǔn)確描述離心泵流量與揚(yáng)程性能曲線的方程形式供大家采用，所以用數(shù)解法確定水泵工況點(diǎn)時(shí)，可以采用數(shù)據(jù)擬合或插值的方法。對離心泵流量與揚(yáng)程性能曲線的擬合方程多采用拋物線形式[4-5]，也有采用高次多項(xiàng)式[6-8]。顯然若采用的離心泵流量與揚(yáng)程性能曲線的擬合方程形式不同，計(jì)算的結(jié)果會有差異。插值的方法在水泵工況點(diǎn)的求解中應(yīng)用較少，Bruce E. Larock等對水泵流量與揚(yáng)程特性曲線(Q～H)方程用二次多項(xiàng)式表示，采用二次拉格朗日插值法求解其系數(shù)，進(jìn)而求解水泵工況點(diǎn)[9]。拉格朗日插值多項(xiàng)式的優(yōu)點(diǎn)是格式整齊規(guī)范，它的缺點(diǎn)在于當(dāng)需要增加插值節(jié)點(diǎn)時(shí)，拉格朗日基函數(shù)都要隨之發(fā)生變化，不得不重新計(jì)算。而且如果測試點(diǎn)數(shù)量較多時(shí)，插值多項(xiàng)式次數(shù)較高，易發(fā)生Runge現(xiàn)象，不一定能得到較好的結(jié)果[10]。

從水泵廠家提供的水泵性能曲線上找若干離散點(diǎn)，非離散點(diǎn)的水泵性能參數(shù)采用三次樣條插值獲得，以此對其流量與揚(yáng)程性能曲線(Q～H)進(jìn)行描述。采用數(shù)值方法計(jì)算，MATLAB編程確定離心泵工況點(diǎn)。

1 單臺離心泵運(yùn)行工況點(diǎn)

圖1為單臺離心泵裝置及其工況點(diǎn)求解原理圖。

圖1 單臺離心泵裝置及其工況點(diǎn)求解原理Fig.1 Single centrifugal pump device and the calculating schematics of operating point

列求解水泵工況點(diǎn)方程組：

H=H(Q)

(1)

Hr=Hst+SQ2

(2)

H=Hr

(3)

式中：H為水泵揚(yáng)程， m；Hr為裝置需要揚(yáng)程，m；Q為水泵流量,m3/s；Hst為裝置靜揚(yáng)程，m；S為管道阻力參數(shù)，s2/m5。

式(1)為用離散點(diǎn)表示的離心泵流量與揚(yáng)程性能曲線，可從水泵廠家提供的水泵性能曲線上找n個(gè)點(diǎn)得到，即(Qi,Hi)(i=1,2,…,n),其中Q1

根據(jù)式(1)、(2)和(3)可構(gòu)造函數(shù)：

F(Q)=H(Q)-Hst-SQ2=0

(4)

式(4)只有一個(gè)未知數(shù)Q，但由于離心泵流量與揚(yáng)程性能曲線H=H(Q)為離散點(diǎn)，不能直接求解，可采用二分法求解。若F(Q1)F(Qn)>0則說明水泵工作流量不在區(qū)間[Q1,Qn]，應(yīng)當(dāng)重新選擇水泵。

2 離心泵并聯(lián)運(yùn)行工況點(diǎn)

圖2所示為2臺不同型號離心泵并聯(lián)運(yùn)行。

圖2 離心泵并聯(lián)裝置Fig.2 Device of centrifugal pump in parallel

列求解水泵工況點(diǎn)方程組：

EC=H1+Z1-SACQ21

(5)

EC=H2+Z2-SBCQ22

(6)

EC=Z+SCDQ2

(7)

Q=Q1+Q2

(8)

H1=H1(Q1)

(9)

H2=H2(Q2)

(10)

式中：EC為C點(diǎn)能量，m；H1、H2為泵P1、P2的揚(yáng)程，m；Q1、Q2、Q為泵P1、P2流量及總流量，m3/s；Z1、Z2、Z為吸水池1、2及出水池的水位高程，m；SAB、SBC、SCD為AC、BC、CD段管道的阻力參數(shù)，s2/m5。

式(9)和(10)為用離散點(diǎn)表示的泵P1、P2流量與揚(yáng)程性能曲線。設(shè)泵P1和P2的流量與揚(yáng)程性能曲線離散點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為m和n，即泵P1和P2的流量范圍分別為[Q11,Q1m]和[Q21,Q2n]。

構(gòu)造函數(shù)

F1(Q1,EC)=H1(Q1)+Z1-SACQ21-EC=0

(11)

F2(Q2,EC)=H2(Q2)+Z2-SBCQ22-EC=0

(12)

(13)

具體求解步驟如下：

(1)確定EC的取值范圍。將Q11和Q1m分別代入式(11)得EC的取值范圍EC1，將Q21和Q2n分別代入式(12)得EC的取值范圍EC2，則EC的取值范圍應(yīng)為EC1和EC2的交集EC12。設(shè)EC12=[ECmin,ECmax]，若EC12為空集，則表明水泵選擇不合理，應(yīng)重新選泵。

(2)將ECmin分別代入式(11)和(12)，采用二分法可以求出Q1(ECmin)和Q2(ECmin)，將Q1(ECmin)和Q2(ECmin)代入式(13)得F(ECmin)。同樣將ECmax分別代人式(11)和(12)，采用二分法可以求出Q1(ECmax)和Q2(ECmax)，將Q1(ECmax)和Q2(ECmax)代入式(13)得F(ECmax)。若F(ECmin)F(ECmax)>0,則說明水泵選擇不合理，應(yīng)重新選泵，否則可以采用二分法求得EC。

(3)將求得的EC分別代入式(11)和(12),采用二分法求得泵P1、P2的工作流量Q1和Q2。將Q1和Q2分別代入式(9)和(10)，可求得泵P1、P2的工作揚(yáng)程H1和H2。

3 離心泵串聯(lián)運(yùn)行工況點(diǎn)

圖3所示為2臺不同型號離心泵串聯(lián)運(yùn)行。

圖3 離心泵串聯(lián)裝置Fig.3 Device of centrifugal pump in series

列求解水泵工況點(diǎn)方程組：

H1=H1(Q)

(14)

H2=H2(Q)

(15)

H1+H2=Hst+SQ2

(16)

式中:Q為水泵流量，m3/s；其他符號意義同前。

由式(14)、(15)和(16)可構(gòu)造函數(shù):

F(Q)=H1(Q)+H2(Q)-Hst-SQ2=0

(17)

設(shè)泵P1、P2的流量與揚(yáng)程性能曲線離散點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為m和n，即泵P1、P2的流量范圍分別為[Q11,Q1m]和[Q21,Q2n]，[Q11,Q1m]和[Q21,Q2n]的交集[Qmin,Qmax]即為水泵工作流量的取值范圍。

由于離心泵流量與揚(yáng)程性能曲線為離散點(diǎn)，不能直接求解，可采用二分法求解式(17)，得到2臺泵的工作流量Q。若F(Qmin)F(Qmax)>0,則說明水泵工作流量不在區(qū)間[Qmin,Qmax]，應(yīng)當(dāng)重新選擇水泵，否則用二分法求解Q。

將Q分別代入式(14)和式(15)，可以求得泵P1、P2的工作揚(yáng)程。

4 算 例

某供水工程取水泵站由4口大口井組成，每口井安裝3臺潛水泵，3臺水泵對稱布置。正常工作時(shí)共12臺同型號潛水泵并聯(lián)運(yùn)行，見圖4。分別用數(shù)值方法和圖解法對水泵工況點(diǎn)進(jìn)行求解。

4.1 用數(shù)值方法求解水泵工況點(diǎn)

列求解水泵工況點(diǎn)方程組:

EM=H1+Z1-3Q1/q1-S0Q21-SAM(3Q1)2

(18)

EM=H2+Z2-3Q2/q2-S0Q22-SBM(3Q2)2

(19)

EM=H3+Z3-3Q3/q3-S0Q23-SCM(3Q3)2

(20)

EM=H4+Z4-3Q4/q4-S0Q24-SDM(3Q4)2

(21)

圖4 某供水工程示意Fig.4 Schematic view of a water supply project

(22)

Q=3 (Q1+Q2+Q3+Q4)

(23)

H1=H1(Q1)

(24)

H2=H2(Q2)

(25)

H3=H3(Q3)

(26)

H4=H4(Q4)

(27)

式中：EM為M點(diǎn)能量，m；H1、H2、H3、H4為1～4號各井內(nèi)泵的揚(yáng)程，m；Z1、Z2、Z3、Z4、Z為1～4號各井內(nèi)靜水位及出水池的水位高程，；Q1、Q2、Q3、Q4、Q為1～4號各井內(nèi)單泵的流量及總流量，m3/s；q1、q2、q3、q4為1～4號各井內(nèi)的單位出水量，m3/(s·m)；S0、S為A1A、A2A、A3A、B1B、B2B、B3B、C1C、C2C、C3C、D1D、D2D、D3D和MM1、MM2段管道的阻力參數(shù)，s2/m5;SAM、SBM、SCM、SDM分別為各下標(biāo)對應(yīng)管段的阻力參數(shù)，s2/m5。

式(24)～(27)為用離散點(diǎn)表示的1～4號各井內(nèi)泵流量與揚(yáng)程性能曲線。由于是同型號潛水泵并聯(lián)運(yùn)行，1～4號各井內(nèi)泵的流量與揚(yáng)程性能曲線離散點(diǎn)相同，即各井內(nèi)泵流量范圍相同。

構(gòu)造函數(shù)：

F1(Q1,EM)=H1(Q1)+Z1-3Q1/q1-

S0Q21-SAM(3Q1)2-EM=0

(28)

F2(Q2,EM)=H2(Q2)+Z2-3Q2/q2-

S0Q22-SBM(3Q2)2-EM=0

(29)

F3(Q3,EM)=H3(Q3)+Z3-3Q3/q3-

S0Q23-SCM(3Q3)2-EM=0

(30)

F4(Q4,EM)=H4(Q4)+Z4-3Q4/q4-

S0Q24-SDM(3Q4)2-EM=0

(31)

Q2(EM)+Q3(EM)+Q4(EM)]=0

(32)

具體求解如前述離心泵并聯(lián)運(yùn)行工況點(diǎn)求解步驟，從潛水泵性能曲線上讀得Q、H數(shù)據(jù)列于表1，各段管阻力參數(shù)列于表2，出水池水位Z,及各井內(nèi)靜水位Z1、Z2、Z3、Z4列于表3，各井內(nèi)單位出水量列于表4，采用MATLAB編程計(jì)算結(jié)果見表5。

表1 潛水泵流量揚(yáng)程數(shù)據(jù)Tab.1 The data of submersible pump head-discharge

表2 各段管阻力參數(shù) s2/m5

表3 出水池及各井內(nèi)靜水位 m

表4 各井內(nèi)的單位出水量 m3/(s·m)

表5 4口井并聯(lián)運(yùn)行單泵工況點(diǎn)Tab.5 Single pump operating point of 4 wells in parallel

4.2 用圖解法求解水泵工況點(diǎn)

用AutoCAD制圖，將潛水泵流量揚(yáng)程曲線Q～H繪于圖5。

圖5 潛水泵流量揚(yáng)程曲線Q～HFig.5 The submersible pump head-discharge curve Q～H

如圖4所示，將泵的出口延伸到并聯(lián)點(diǎn)M,泵的進(jìn)口延伸到絕對高程0點(diǎn)，也就是將并聯(lián)點(diǎn)前的管路阻力損失當(dāng)成泵內(nèi)水力損失，則每口井內(nèi)假想單泵并聯(lián)運(yùn)行時(shí)的揚(yáng)程分別為：

H′1=H1+Z1-3Q1/q1-S0Q21-SAM(3Q1)2

(33)

H′2=H2+Z2-3Q2/q2-S0Q22-SBM(3Q2)2

(34)

H′3=H3+Z3-3Q3/q3-S0Q23-SCM(3Q3)2

(35)

H′4=H4+Z4-3Q4/q4-S0Q24-SDM(3Q4)2

(36)

由于每口井3臺假想泵具有相同的揚(yáng)程，因此可以采用等揚(yáng)程下流量橫加的方法得到各井3臺泵并聯(lián)運(yùn)行時(shí)的流量揚(yáng)程曲線。以1號井為例，將式(33)繪于圖6，即為曲線Q～H′1，等揚(yáng)程下流量橫加，得到1號井3臺泵并聯(lián)運(yùn)行的曲線Q～H″1。用同樣的方法可以分別得到2～4號井3臺泵并聯(lián)運(yùn)行的流量揚(yáng)程曲線Q～H″2、Q～H″3和Q～H″4，見圖7。圖7所示曲線則相當(dāng)于4臺假想大泵的流量揚(yáng)程曲線，將其等揚(yáng)程下流量橫加可得到圖8所示12臺水泵并聯(lián)運(yùn)行的曲線Q～H″。在圖8中同時(shí)畫出裝置需要揚(yáng)程曲線Hr=Z+S(Q/2)2，則其與曲線Q～H″的交點(diǎn)P即為12臺水泵并聯(lián)工況點(diǎn)。過P點(diǎn)做橫坐標(biāo)的平行線與Q～H″1、Q～H″2、Q～H″3、Q～H″4各曲線的交點(diǎn)分別為P1、P2、P3和P4(見圖7)，這些交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即分別為各井內(nèi)3臺泵的流量QⅠ、QⅡ、QⅢ、QⅣ，其1/3就是各井內(nèi)單泵工況點(diǎn)的流量。以1號井為例，圖6中的QⅠ=0.147 3，Q1=(1/3)QⅠ=0.049 1。得到單泵流量Q1、Q2、Q3、Q4，即可在水泵Q～H曲線上找到工況點(diǎn)，見圖5。計(jì)算表明，圖解法與數(shù)值方法求解該算例水泵工況點(diǎn)的結(jié)果一致。

圖6 1號井3臺泵并聯(lián)流量揚(yáng)程曲線Q～H″1Fig.6 The 3 pumps in parallel head-discharge curve Q～H″1 of 1# well

圖7 各井3臺泵并聯(lián)流量揚(yáng)程曲線Q～H″Fig.7 The 3 pumps in parallel head-discharge curve Q～H″ of each well

5 結(jié) 語

提出了求解離心泵運(yùn)行工況點(diǎn)的一種新的數(shù)值計(jì)算方法。從水泵廠家提供的水泵性能曲線上找若干離散點(diǎn)，描述離心泵流量與揚(yáng)程性能曲線，非離散點(diǎn)的水泵性能參數(shù)采用三次樣條插值獲得。給出了離心泵運(yùn)行工況點(diǎn)的數(shù)值方法計(jì)算步驟，采用MATLAB編程，對某供水工程取水泵站多臺水泵并聯(lián)運(yùn)行工況點(diǎn)進(jìn)行了分析計(jì)算，并與圖解法進(jìn)行了對比，結(jié)果表明提出的水泵工況點(diǎn)計(jì)算方法是可行的。

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圖8 12臺水泵并聯(lián)工況點(diǎn)Fig.8 The operating point of 12 pumps in parallel

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