基于多變量時(shí)間序列模型的地下水埋深預(yù)測
----以渭庫綠洲為例

譚 嬌，丁建麗，陳文倩，米熱古力·艾尼瓦爾，李 相，周倩倩

(1.新疆大學(xué)資源與環(huán)境科學(xué)學(xué)院，烏魯木齊 830046；2.綠洲生態(tài)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 烏魯木齊 830046)

地下水是地表以下巖、土層空隙中的不同狀態(tài)下水的總稱，其作為水資源的重要構(gòu)成要素，不僅具有在空間上分布范圍廣的特點(diǎn)，且自身調(diào)節(jié)性亦較強(qiáng)[1]。干旱區(qū)綠洲由于其獨(dú)特的氣候特點(diǎn)，生態(tài)環(huán)境具有一定脆弱性。而地下水在干旱區(qū)綠洲里扮演著重要的調(diào)節(jié)作用[2]。相對(duì)于濕潤區(qū)，地下水常常成為當(dāng)?shù)氐闹匾┧?，在干旱區(qū)陸地水文循環(huán)以及全球變化的研究中具有舉足輕重的地位成為綠洲賴以生存的重要基礎(chǔ)[3,4]。地下水位埋深可以作為地表植被分布的指示器[5-7]，故對(duì)地下水埋深的預(yù)測尤為重要。

就目前來說，地下水埋深預(yù)測模型的相關(guān)研究主要以相關(guān)分析[8]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[9]、灰色系統(tǒng)[10]、小波分析[11]等模型為主。而以上模型的建模方法均要求穩(wěn)定與獨(dú)立的時(shí)間序列數(shù)據(jù)。這些模型雖在實(shí)際應(yīng)用中均起到了一定的積極作用，但是地下水埋深變化是一個(gè)復(fù)雜的動(dòng)態(tài)過程，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、灰度系統(tǒng)等傳統(tǒng)的時(shí)間序列不適用復(fù)雜的[12-14]?；诙嘧兞繒r(shí)間序列(以下簡稱CAR)模型已經(jīng)在人口預(yù)測、水文預(yù)報(bào)、植被分布及氣候變化趨勢等領(lǐng)域取得較好應(yīng)用效果[15,16]。管孝艷、張真真[17,18]等利用蒸發(fā)、降水、地下水開采量幾個(gè)因子對(duì)區(qū)域地下水埋深等數(shù)據(jù)做出預(yù)測，并提出了有力決策，在中國東北、中部地區(qū)都得到了很好的應(yīng)用，但在其西北地區(qū)地下水埋深預(yù)測應(yīng)用中尚不多見。

本文以干旱、半干旱地區(qū)典型的渭庫綠洲為例，分析了1995-2014年灌區(qū)氣候因子(降雨量、蒸發(fā)量)、地形等因子預(yù)測地下水埋深的變化規(guī)律，利用CRA模型，進(jìn)行了干旱區(qū)綠洲地下水埋深的預(yù)測。掌握該區(qū)域地下水埋深變化規(guī)律對(duì)于渭庫綠洲的指導(dǎo)農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、提高農(nóng)作物產(chǎn)量、生態(tài)效應(yīng)和鹽堿化調(diào)控提供一定的理論依據(jù)。

1 多變量時(shí)間序列模型的構(gòu)建

1.1 CAR模型建模原理

多變量自回歸模型的基本思想為采用遞推最小二乘方法進(jìn)行模型參數(shù)評(píng)估，進(jìn)而建立自回歸模型，數(shù)學(xué)思想為：用m個(gè)變量的時(shí)間序列組建n階的CAR自回歸模型，表達(dá)式如下：

yt=a1yt-1+a2yt-2+…+anyt-n+b10x1,t+

b11x1,t-1+b12x1,t-2+…+b1nx1,t-n+b20x2,t+

b21x2,t-1+b22x2,t-1+…+b2nx2,t-n+…+

bm0xm,t+bm1xm,t-1+bm2xm,t-2+…+bmnxm,t-n+εt

(1)

式中：yt，xt-n均為自回歸系數(shù)；{an}，{bmn}為時(shí)間序列變量；t為時(shí)間序列，t>1。

1.2 CAR模型建模步驟

(1)首先是模型參數(shù)評(píng)估，將CAR模型表達(dá)式記作：

yt=ATtB+εt

(2)

A=(a1,a2,…,an,b10,b11,b12,…,b1n,

…,b20,b21,b22,…,b2n)T

B=(yt-1,yt-2,…,yt-n,x1,t,x1,t-1,x1,t-2,…,

x1,t-n,x2,t,x2,t-1,x2,t-2,…,x2,t-n,…,xm,t

xm,t-1,xm,t-2,…,xm,t-n)T

T為矩陣的轉(zhuǎn)置結(jié)果，根據(jù)數(shù)學(xué)表達(dá)式，CAR模型數(shù)應(yīng)為：

(3)

式中：b代表遺忘因子，取值在0.9～1.0之間；I代表單位矩陣；若想將歷史數(shù)據(jù)的遺忘速度提高，a取值應(yīng)該盡量趨近0.9；若想將歷史數(shù)據(jù)的遺忘速度降低，b取值應(yīng)盡量趨近1.0；若b取值為1，歷史數(shù)據(jù)將永遠(yuǎn)不會(huì)遺忘。

為避免在Bt中yt-1和xj,t(j=1,2，…,m)均為0。將參數(shù)Pn的值定為λI，其中λ取值應(yīng)為一個(gè)較大的正數(shù)，本文經(jīng)反復(fù)實(shí)驗(yàn)，選取104作為其值。

綜上所述，本文利用n組觀察值所得的CAR模型來計(jì)算總的殘差平方和：

S(n)=∑nt=0+1ε2t

(4)

εt=yt-BTtAt

(5)

(2)模型最高階n的確定。模型定階的主要原理為：對(duì)確定的數(shù)據(jù)樣本，建立n階CAR模型時(shí)，是由低向高階逐步建立CAR模型。并且每次建立模型，均用使用F檢驗(yàn)來判斷建立的模型效果是否是理想。

(6)

式中：M1代表低階的總殘差平方和；M2為高階模型的殘差平方和；n1為低階模型的參數(shù)個(gè)數(shù)；n2為高階模型的參數(shù)個(gè)數(shù)；N為觀察數(shù)據(jù)組個(gè)數(shù)。

對(duì)于實(shí)驗(yàn)中逐步建立的CAR模型，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量的數(shù)學(xué)表達(dá)為：

(7)

式中：Mn代表低階模型最終的殘差平方和；Mn+i為高階模型殘差平方和；m為大均方自由度；N-mn-(m+1)為小均方自由度。

首先，獲取具體F值，當(dāng)自由度a為一個(gè)確定的數(shù)值時(shí)，求出此時(shí)相對(duì)應(yīng)的臨界值Fa。然后將F與Fa進(jìn)行對(duì)比，從而判斷此時(shí)的模型是否是有效模型。在此期間，當(dāng)F的值小于臨Fa時(shí)，說明此時(shí)檢驗(yàn)效果并不顯著，獲取的模型也是不理想的，反之，則是理想的。

(3)真實(shí)模型的參數(shù)估計(jì)。根據(jù)以上表述，雖可獲取合適的CAR(n)，但尚存在一些不足。由于模型中一些變量的參數(shù)可能為0，因此非常有必要對(duì)模型的某些系數(shù)進(jìn)行F檢驗(yàn)。最終就可以確定模型的階數(shù)及其時(shí)滯，進(jìn)而獲取模型的參數(shù)估計(jì)。

實(shí)驗(yàn)中把模型中為0的參數(shù)剔除之后，需重新建立含較少參數(shù)的新模型。為了匹配精度，實(shí)驗(yàn)仍然采用F檢驗(yàn)，對(duì)原來擬合的模型與新建立的模型(含較少參數(shù))均進(jìn)行檢驗(yàn)：如果檢驗(yàn)顯著，則表明原來的CAR(n)模型為真，反之，則新建立的模型為真。

實(shí)驗(yàn)經(jīng)過上述3個(gè)步驟，最終獲取對(duì)系統(tǒng)影響較大的因素建立的系數(shù)CAR(n)模型，并將之應(yīng)用于干旱區(qū)綠洲預(yù)測。

2 研究區(qū)及數(shù)據(jù)來源

2.1 研究區(qū)概況

渭庫綠洲行政范圍主要由庫車、沙雅與新和3個(gè)縣構(gòu)成，地理位置位于塔里木盆地中北部(見圖1)。此綠洲是南疆地區(qū)具有較好代表性的典型綠洲區(qū)域，其邊界為41°06′～41°38′N，82°06′～83°17′E。研究區(qū)屬典型的大陸性干旱氣候，區(qū)域蒸發(fā)強(qiáng)烈，降水稀少。自然植被中鹽生植被占主要部分，主要有鹽節(jié)木(Halocnemumstrabilaceum)、檉柳(Tamarixtaklamakannesis)、蘆葦(Phragmitescommunis)、花花柴(Kareliniacaspica)、鹽爪爪(Kalidiumfoliatum)、胡楊(Populuseuphratica)、鹽穗木(Halostachyscaspica)。

圖1 研究區(qū)示意圖Fig.1 Schematic diagram of the study area

2.2 氣象因子

研究表明，大背景下的氣候變化勢必對(duì)區(qū)域水資源的開發(fā)利用、當(dāng)?shù)厣鐣?huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展等多方面產(chǎn)生重要影響。干旱區(qū)綠洲由于遠(yuǎn)離海洋導(dǎo)致水汽無法到達(dá)，降水稀少，氣候干燥，蒸發(fā)強(qiáng)烈，沙塵天氣頻繁，降水稀少，氣溫日較差較大，夏季炎熱，冬季干冷等特點(diǎn)。年均降雨量在46.4～64.5 mm，其中，沙雅縣最低，庫車縣最高；年均蒸發(fā)量在1 992～2 863.4 mm之間，干燥度系數(shù)高達(dá)44.37。由于綠洲地勢為北高南低，因此北部氣溫要低于平原區(qū)。綠洲內(nèi)光熱資源十分豐富，其中，庫車縣全年日照時(shí)間大約為2 924.8 h，日照百分率在65%以上，年太陽輻射總量高達(dá)6.05×105J/cm2，見表1。最多風(fēng)向是東北，常見的大風(fēng)風(fēng)向是北風(fēng)，無霜期為216 d。

表1 渭庫綠洲4個(gè)氣象站的基本氣候信息Tab.1 Main weather station’s climate state of Weigan River Basin

2.3 地形因子

本研究在地理空間數(shù)據(jù)云(http:∥www.gscloud.cn/)中下載渭庫地區(qū)的數(shù)字高程模型(Digital Elevation Model，DEM)，利用ArcGIS 10.2軟件中的裁剪工具生成本研究區(qū)，以該DEM為數(shù)據(jù)源，運(yùn)用SAGA GIS 2.2.7_x64軟件生成研究區(qū)5個(gè)地形因子，分別為：坡度(Slope，SLO)、坡向(Aspect，ASP)、水平曲率(horizontal curvature，HORIZC)、剖面曲率(profile curvature，PROFC)、地形濕度指數(shù)(topographic wetness index，TWI)。

3 地下水埋深的影響因素分析

3.1 地下水埋深

地下水埋深在1995-2014年隨時(shí)間的變化的一元線性關(guān)系，如圖2所示，可以發(fā)現(xiàn)地下水埋深的年際變化較大。2002和2003年的地下水埋深有一個(gè)很明顯的下降趨勢，1995-2014年的地下水埋深呈緩慢上升趨勢，在2007-2014年間上升趨勢減緩，原因是灌區(qū)排水系統(tǒng)的修建和逐步完善，特別是骨干排水溝渠的開通和運(yùn)行，疏干了低洼積水，潛水埋深得到了很好的緩解。最近幾年，渭干河和庫車河流域水資源合理利用活動(dòng)的日益擴(kuò)大，使得地下水水位上升的速率減緩，一部分地區(qū)的地下水位改善趨勢向土壤鹽漬化緩解的方向發(fā)展[19]。

圖2 渭庫綠洲1995-2014年平均地下水埋深變化趨勢Fig.2 Changes of average groundwater depth from 1995 to 2014 in Weigan and Kuqariversdelta oasis

圖3 1995-2014 年年降雨量和年蒸發(fā)量的趨勢變化Fig.3 Changes of mid-annual rainfall and evaporation from 1995 to 2014

圖4 1995-2014 年平均月降雨量的變化情況Fig.4 Changes of average month rainfall from 1995 to 2014

圖3～圖5是研究區(qū)1995-2014年年蒸發(fā)量、年降雨量，1995-2014年平均月降雨量和1995-2010年農(nóng)業(yè)用水量統(tǒng)計(jì)圖。由圖3可知，年蒸發(fā)量在2010-2013年之間有一個(gè)明顯的減小，整體呈緩慢下降趨勢；原因是地下水埋深的升高導(dǎo)致潛水蒸發(fā)量減少，土壤水的補(bǔ)給量減少致使地表的生態(tài)環(huán)境退化。1995-2014年的年降雨量的波動(dòng)幅度較小，但是其趨勢和年蒸發(fā)量一樣呈下降狀態(tài)；綠洲6-8月降雨量較大，地下水得到一定的補(bǔ)給，在9-11月這3個(gè)月中降雨量十分的少，此時(shí)地下水位的變化受人為因素比較大。農(nóng)業(yè)灌溉區(qū)的農(nóng)業(yè)用水基本來源于地下水。地下水開采量的大小可直接導(dǎo)致地下水埋深的變化[20]。從圖5可以看出1995-2010年渭庫綠洲的農(nóng)業(yè)用水量趨勢變化緩慢，原因是近一些年來，修建排水系統(tǒng)，特別是骨干排水溝渠的使用，使低洼積水進(jìn)行疏干。排水系統(tǒng)的不斷完善，使得水資源得到了有效的利用，致使地下水埋深的升高速率也較為緩慢。

圖5 1995-2010年平均年農(nóng)業(yè)用水量變化情況Fig.5 Change of the average annual water consumption from 1995 to 2010

3.2 模型因子的選擇

本文使用SPSS statistic 22軟件的主成分分析模塊進(jìn)行計(jì)算和分析，得出影響地下水埋深變化的主要因素。選取1995-2014年的年降雨量(X1)、年蒸發(fā)量(X2)、年農(nóng)業(yè)用水量(X3)、地形因子(X4)；地形因子包括：高程(X4-1)、坡度(X4-2)、坡向(X4-3)、平面曲率(X4-4)、剖面曲率(X4-5)、地形濕度指數(shù)(X4-6)作為輸入因子，通過軟件計(jì)算出各個(gè)影響因素與地下水埋深的相關(guān)性，如表2所示，年降雨量、年蒸發(fā)量、年農(nóng)業(yè)用水量、地形濕度指數(shù)與地下水埋深的相關(guān)性較好。故本研究選擇年降雨量、年蒸發(fā)量、年農(nóng)業(yè)用水量、地形濕度指數(shù)作為輸入變量，地下水埋深作為輸出變量。

表2 年平均地下水埋深的因子相關(guān)性分析Tab.2 Annual average groundwater depth analysis of related factors

3.3 模型建立

由以上分析可以得知，年降雨量、年蒸發(fā)量、年農(nóng)業(yè)用水量、地形濕度指數(shù)是影響平均地下水埋的主要因素。輸入變量為年降雨量、年蒸發(fā)量、年農(nóng)業(yè)用水量、地形濕度指數(shù)4個(gè)變量，輸出變量為地下水埋深數(shù)據(jù)，從而建立CAR模型。根據(jù)建模所得的檢驗(yàn)結(jié)果F=3.84，因子檢驗(yàn)的顯著水平為0.05，遞推最小二乘法的遺忘因子為1.00。CAR模型的定階檢驗(yàn)結(jié)果為：CAR(n) 殘差平方和S(n)為0.021， CAR(n-1) 殘差平方和S(n-1)為0.032，模型定階的F檢驗(yàn)值為F=0.711。在判定模型真實(shí)階時(shí)，階次模型全參數(shù)時(shí)的殘差平方和S=0.032，選定階次、剔除不顯著項(xiàng)后，模型的殘差平方和為S=0.032，判斷是否應(yīng)該剔除不顯著因子的F檢驗(yàn)值，F(xiàn)=0.089，F(xiàn)(α=0.05)=3.84。

地下水埋深的CAR預(yù)測模型在剔除不顯著項(xiàng)后為：

Yt=0.85Yt-1-5.53×10-2X1,t+6.39×10-3X2,t-

6.07×10-3X3,t+6.16×10-4X4-6,t-1

(8)

式中：t為時(shí)間序列編號(hào)，t>2。

3.4 模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證CAR模型的預(yù)測結(jié)果，采用該模型對(duì)1995-2014年渭庫綠洲地區(qū)地下水埋深進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果如表3所示，觀測值和預(yù)測值的相對(duì)誤差較小，控制在正負(fù)6.5%以內(nèi)，說明所建模型預(yù)測性能較好。此模型的結(jié)果與實(shí)測水位基本一致，證明模型較穩(wěn)定，通過驗(yàn)證，可以應(yīng)用此模型進(jìn)行預(yù)測。

3.5 CAR模型的應(yīng)用

分析渭庫綠洲的歷史氣象資料，在過去20 a，氣溫平均為10.5～14.4 ℃。另外，由于農(nóng)田用水的增加，渭庫綠洲的地下水位正在逐年下降，農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，經(jīng)濟(jì)發(fā)展，生態(tài)環(huán)境受到一定的影響。根據(jù)未來區(qū)域的發(fā)展、水資源短缺和氣候的變化，將2014年作為基準(zhǔn)年，擬定下面3種方案(見表4)，根據(jù)建立的地下水模型預(yù)測在這3種方案下地下水未來的變化趨勢。根據(jù)模型的預(yù)測效果，得出年蒸發(fā)量增加15%，年降雨量減少10%，年農(nóng)業(yè)用水量減少8%時(shí)，地下水埋深增加0.06 m，達(dá)到4.07 m；當(dāng)蒸發(fā)量增加20%，降雨量減少12%，年農(nóng)業(yè)用水量減少12%時(shí)，地下水埋深將達(dá)到4.15 m；當(dāng)蒸發(fā)量增加25%，降雨量減少15%，年農(nóng)業(yè)用水量減少15%時(shí)，地下水埋深增加0.2 m，達(dá)到4.21 m。地下水埋深的加大對(duì)于緩解渭庫綠洲的土壤鹽漬化具有積極的作用。

表3 地下水埋深的實(shí)測值和模擬值比對(duì)Tab.3 Measured and simulated values of the groundwater depth

表4 不同情況下的地下水埋深的預(yù)測Tab.4 Different groundwater depth forecast under the program

4 結(jié) 論

本文以1995-2014年渭庫綠洲的年降雨量、年蒸發(fā)量、年農(nóng)業(yè)用水量、地形濕度指數(shù)作為地下水埋深的影響因子。應(yīng)用CAR模型，建立預(yù)測模型。并對(duì)綠洲的地下水埋深變化進(jìn)行預(yù)測，結(jié)論如下。

(1)渭庫綠洲的年平均地下水埋深與年降雨量、年蒸發(fā)量、年農(nóng)業(yè)用水量、地形濕度指數(shù)相關(guān)性較好，地下水埋深的變化與蒸發(fā)量、降雨量、農(nóng)業(yè)用水量的變化趨勢有一定的關(guān)系，尤其是蒸發(fā)量較為顯著，因此掌握氣象因子的動(dòng)態(tài)變化對(duì)渭庫綠洲的生態(tài)環(huán)境，農(nóng)業(yè)發(fā)展，經(jīng)濟(jì)發(fā)展和人民生活等均具有重要意義。

(2)實(shí)測值與建立的預(yù)測模型的結(jié)果相比，相對(duì)誤差最大為6.061%，最小值為-0.372%，平均值為1.483%。由此表明，CAR模型的預(yù)測精度高、效果佳，可應(yīng)用于干旱區(qū)綠洲的地下水埋深預(yù)測。

(3)根據(jù)預(yù)測方案實(shí)施情況來看， CAR 模型預(yù)測在渭庫綠洲年平均地下水埋深應(yīng)用中，具有較好適用性。根據(jù)預(yù)測趨勢：若研究區(qū)蒸發(fā)量增加25%、降雨量減少15%、農(nóng)業(yè)用水量減少15%時(shí)，研究區(qū)地下水埋深將達(dá)到4.21 m。這將比多年平均地下水埋深大約1 m左右，而隨著地下水埋深的增大，將對(duì)緩解干旱區(qū)土壤鹽漬化提供有利條件。

雖然研究所建立的地下水埋深的預(yù)測模型在干旱區(qū)綠洲具有一定的適用性，但研究尚存在一些不足之處。首先，由于地下水埋深是一個(gè)復(fù)雜的動(dòng)態(tài)過程，而本文選用的參數(shù)只是影響因素較大的幾個(gè)參數(shù)，并不能代表所有的參數(shù)。因此，模型所產(chǎn)生的誤差以及模型的輸入因子的選擇都會(huì)影響模型的效果。其次，綠洲內(nèi)蒸散發(fā)這一因素對(duì)地下水埋深的影響較大[21]，而西北干旱區(qū)蒸散發(fā)在2000年后由下降逆轉(zhuǎn)為上升趨勢[22,23]。這在一定程度上會(huì)影響模型的預(yù)測精度。地形因子在某種程度也上會(huì)導(dǎo)致模型模擬誤差增大。最后，地下水埋深在某些特定區(qū)域會(huì)受到農(nóng)牧業(yè)生產(chǎn)與生態(tài)環(huán)境的不穩(wěn)定性影響。

故在今后的研究中應(yīng)側(cè)重探討蒸散發(fā)、地形對(duì)地下水埋深的影響。而在模型的建立中應(yīng)考慮選擇多種參數(shù)以及運(yùn)用多種預(yù)測方法，進(jìn)一步提高模型預(yù)測地下水埋深的精度，從而提高模型的適用性，為干旱區(qū)綠洲的水資源利用與研究提供一定理論支撐。

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