一類二維非自治離散系統(tǒng)中的復(fù)雜簇發(fā)振蕩結(jié)構(gòu)1)

陳振陽 韓修靜畢勤勝

(江蘇大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212013)

一類二維非自治離散系統(tǒng)中的復(fù)雜簇發(fā)振蕩結(jié)構(gòu)1)

陳振陽 韓修靜2)畢勤勝

(江蘇大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212013)

簇發(fā)振蕩是多時(shí)間尺度系統(tǒng)復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為的典型代表，簇發(fā)振蕩的動(dòng)力學(xué)機(jī)制與分類問題是簇發(fā)研究的重要問題之一，但當(dāng)前學(xué)者們所揭示的簇發(fā)振蕩的結(jié)構(gòu)大多較為簡單.研究以非自治離散Duffing系統(tǒng)為例，探討具有復(fù)雜分岔結(jié)構(gòu)的新型簇發(fā)振蕩模式,并將其分為兩大類，一類經(jīng)由Fold分岔所誘發(fā)的對稱式簇發(fā)，另一類經(jīng)由延遲倍周期分岔所誘發(fā)的非對稱式簇發(fā).快子系統(tǒng)的分岔表現(xiàn)為典型的含有兩個(gè)Fold分岔點(diǎn)的S形不動(dòng)點(diǎn)曲線，其上、下穩(wěn)定支可經(jīng)由倍周期(即Flip)分岔通向混沌.當(dāng)非自治項(xiàng)(即慢變量)穿越Fold分岔點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)的軌線可以向上、下穩(wěn)定支的各種吸引子(例如，周期軌道和混沌)進(jìn)行轉(zhuǎn)遷，因此得到了經(jīng)由Fold分岔所誘發(fā)的各種對稱式簇發(fā)；而當(dāng)非自治項(xiàng)無法穿越Fold分岔點(diǎn)，但可以穿越Flip分岔點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生了延遲Flip分岔現(xiàn)象.基于此，得到了經(jīng)由延遲Flip分岔所誘發(fā)的各種非對稱簇發(fā).特別地，文中所報(bào)道的簇發(fā)振蕩模式展現(xiàn)出復(fù)雜的反向Flip分岔結(jié)構(gòu).研究結(jié)果表明，這與非自治項(xiàng)緩慢地反向穿越快子系統(tǒng)的Flip分岔點(diǎn)有關(guān).研究結(jié)果豐富了離散系統(tǒng)簇發(fā)的動(dòng)力學(xué)機(jī)理和分類.

離散Duffing系統(tǒng)，復(fù)雜的簇發(fā)振蕩模式，延遲Flip分岔，反向Flip分岔結(jié)構(gòu)

引言

諸如神經(jīng)元的簇放電活動(dòng)[1-3]、化工生產(chǎn)中液體的流動(dòng)特性[4]、反應(yīng)物的反應(yīng)速率[5-6]和濃度[7]的變化、湍流的脈動(dòng)分析[8]、生物代謝過程中的變構(gòu)效應(yīng)[9]、環(huán)境因素對農(nóng)作物生長的影響[10]等實(shí)際問題，很難用單一時(shí)間尺度的動(dòng)力學(xué)模型來描述，必須采用含多個(gè)時(shí)間尺度的耦合模型加以刻畫.與一般的非線性系統(tǒng)相比，多時(shí)間尺度耦合系統(tǒng)具有獨(dú)特的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為，比如所謂的簇發(fā)振蕩(bursting oscillations).簇發(fā)振蕩的基本單元被稱為振蕩簇，所謂振蕩簇，即去極化波形上的一系列動(dòng)作電位[11]，故對簇發(fā)振蕩而言，其特征在于在每一演化周期中，小幅振蕩與大幅振蕩的交替出現(xiàn).現(xiàn)有的研究表明，簇發(fā)振蕩通常是不同時(shí)間尺度耦合作用的產(chǎn)物[12]，而其中的耦合作用機(jī)制可用Rinzel的快慢分析法[13]加以解釋.該方法隨后被Izhikevich[1]用在簇發(fā)的分類研究中，在理論上極大拓展了不同時(shí)間尺度之間各種可能的耦合作用機(jī)制.基于Rinzel的快慢分析和Izhikevich的分類工作，國內(nèi)外學(xué)者從理論[14-15]、數(shù)值[3,16]和實(shí)驗(yàn)[3,17]等方面對不同時(shí)間尺度的耦合系統(tǒng)，尤其是其中的多時(shí)間尺度簇發(fā)振蕩模式，做了系統(tǒng)、深入的研究，取得了豐碩的成果.

近年來，基于離散系統(tǒng)的多時(shí)間尺度耦合效應(yīng)逐漸受到了學(xué)者們的廣泛關(guān)注.Channell等[18]指出，采用Poincar′e映射可將連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)約化為一維Poincar′e映射；然后，通過對Poincar′e映射的分析來揭示原系統(tǒng)中的簇發(fā)振蕩的動(dòng)力學(xué)特性和轉(zhuǎn)遷機(jī)制.Izhikevich等[19]指出，用離散映射去實(shí)現(xiàn)連續(xù)系統(tǒng)中的簇發(fā)振蕩在理論上是可行的.隨后，Courbage等[20]提出了一個(gè)二維映射，以此再現(xiàn)了真實(shí)神經(jīng)系統(tǒng)中包括簇發(fā)在內(nèi)的各種放電模式.而Maslennikov等[21-22]的研究進(jìn)一步表明，離散映射是研究單個(gè)神經(jīng)元乃至復(fù)雜神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有效工具.基于前人的研究工作，特別是Rinzel的快慢分析法，文獻(xiàn)[19]利用分岔理論系統(tǒng)地探討了一維和二維離散系統(tǒng)中各種可能的簇發(fā)振蕩模式，并對它們進(jìn)行了分類.

然而，需要指出的是，到目前為止，大部分已報(bào)道的離散簇發(fā)振蕩模式均較為簡單.這主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面，一是與連續(xù)的尖峰(repetitive spiking)相對應(yīng)的激發(fā)態(tài)的分岔模式較為簡單.對于連續(xù)尖峰內(nèi)部仍有分岔的情形，相關(guān)文獻(xiàn)少有涉及；二是所報(bào)道的激發(fā)態(tài)通常是周期軌道,對于激發(fā)態(tài)是非周期(例如，混沌)的情形，鮮有報(bào)道.基于此，考慮受擾動(dòng)的Duffing映射[23]

其中a,b是實(shí)參數(shù),Zn是慢變的擾動(dòng)項(xiàng).為了便于分析，假設(shè)Zn是周期擾動(dòng)，即Zn=Fcos(ωn),其中F為擾動(dòng)項(xiàng)的振幅，而頻率ω遠(yuǎn)低于系統(tǒng)的固有頻率ω0，即ω?ω0.本文以系統(tǒng)(1)為例，旨在探討復(fù)雜的簇發(fā)振蕩模式及其誘發(fā)機(jī)制.說明系統(tǒng)在由激發(fā)態(tài)向沉寂態(tài)轉(zhuǎn)遷之前可能會發(fā)生多次分岔，因此簇發(fā)振蕩可以呈現(xiàn)出復(fù)雜的分岔結(jié)構(gòu).此外，激發(fā)態(tài)不僅可以是周期振蕩，也可以是混沌態(tài)，因此簇發(fā)振蕩可以展現(xiàn)復(fù)雜的振蕩形式，即在簇發(fā)振蕩中能夠觀測到混沌式的振動(dòng)簇.

1 快子系統(tǒng)的分岔分析

由于擾動(dòng)項(xiàng)的頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于系統(tǒng)的固有頻率，因此在較慢的尺度上演化，而未受擾的Duffing映射則在相對較快的尺度上演化.顯然，受擾系統(tǒng)(1)是一個(gè)典型的快慢系統(tǒng)，它由快、慢子系統(tǒng)耦合而成.快子系統(tǒng)由如下映射給出

其中，β=Zn是控制參數(shù)；而慢子系統(tǒng)(慢變量)則由Zn=Fcos(ωn)刻畫.

一般說來，簇發(fā)振蕩因軌線在快子系統(tǒng)的吸引子之間相互轉(zhuǎn)遷而產(chǎn)生，這種轉(zhuǎn)遷是由慢變量穿越快子系統(tǒng)的分岔點(diǎn)加以調(diào)控[124].因此，快子系統(tǒng)的穩(wěn)定性和分岔行為對簇發(fā)振蕩的產(chǎn)生起決定性作用.基于此，本部分探討快子系統(tǒng)(2)的穩(wěn)定性和分岔行為.

為了直觀地了解系統(tǒng)的分岔行為，圖1給出了快子系統(tǒng)關(guān)于參數(shù)β的單參數(shù)分岔圖，其中參數(shù)b固定在b=0.35.圖中FB±代表不動(dòng)點(diǎn)F±的Fold分岔;PD±n-2n(n=1,2)代表上、下半支周期n到周期2n的Flip分岔.如圖所示，當(dāng)β從0出發(fā)穿越FB-時(shí)，吸引子F-與排斥子F0碰撞、消失，即發(fā)生了Fold分岔.隨著β的不斷增大，吸引子F+因倍周期(即Flip)分岔逐漸演化為混沌,而當(dāng)β從0出發(fā)不斷減小時(shí)，可以觀測到類似的動(dòng)力學(xué)演化行為.

為了進(jìn)一步揭示系統(tǒng)的分岔行為，圖2給出了快子系統(tǒng)在平面(β,b)上的兩參數(shù)分岔集，其中各分岔曲線的含義與圖1相同.注意到快子系統(tǒng)具有對稱性：(Xn,Yn,β)→(-Xn,-Yn,-β)，即快子系統(tǒng)的穩(wěn)定性和分岔行為關(guān)于β=0對稱.因此，如果β=β1時(shí)，快子系統(tǒng)存在某種穩(wěn)定性或分岔行為，那么當(dāng)β=-β1時(shí)，快子系統(tǒng)必然存在著同樣的穩(wěn)定性或分岔行為(見圖1和圖2).

圖1 快子系統(tǒng)關(guān)于單參數(shù)β的分岔圖Fig.1 One parameter bifurcation diagram of the fast sub-system with respect to β

圖2 快子系統(tǒng)在(β,b)平面上的分岔集Fig.2 Bifurcation set of the fast system on the plane(β,b)

如圖 2所示，A,B,C分別是 Fold分岔曲線和倍周期分岔曲線的交點(diǎn)，它們的縱坐標(biāo)依次是bA=0.319,bB=0.237,bC=0.221.過點(diǎn)A,B,C作三條水平線，它們將參數(shù)平面劃分為I,II,III,IV四個(gè)區(qū)域，對應(yīng)著快子系統(tǒng)不同的動(dòng)力學(xué)行為.

易知，圖1所示的分岔圖是區(qū)域I中分岔行為的典型代表，其特征是在Fold點(diǎn)附近可以觀測到由兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)吸引子構(gòu)成的雙穩(wěn)態(tài).因此，F(xiàn)old分岔將誘發(fā)從一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)吸引子(如F+)到另一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)吸引子(如F-)的轉(zhuǎn)遷.然而，如圖2所示，當(dāng)參數(shù)b不斷減小時(shí)，F(xiàn)old分岔值逐漸增大，而各Flip分岔值不斷減小.特別地，當(dāng)Fold分岔曲線落在兩條Flip分岔曲線之間時(shí)，F(xiàn)old點(diǎn)附近的雙穩(wěn)態(tài)會發(fā)生定性的變化.因此，由Fold分岔所誘發(fā)的轉(zhuǎn)遷必然也會隨之定性地改變.基于此，接下來我們探討幾類典型的轉(zhuǎn)遷模式.

情形1：從不動(dòng)點(diǎn)向周期2吸引子的轉(zhuǎn)遷.這種轉(zhuǎn)遷模式對應(yīng)著參數(shù)b屬于區(qū)域II時(shí)的情形.圖3(a)給出了區(qū)域II中典型的分岔行為.可見，F(xiàn)old分岔點(diǎn)附近的雙穩(wěn)態(tài)已經(jīng)發(fā)生了定性的變化，即不動(dòng)點(diǎn)與周期2軌道共存.因此，F(xiàn)old分岔誘發(fā)了系統(tǒng)從不動(dòng)點(diǎn)吸引子向周期2軌道的轉(zhuǎn)遷.

情形2：從不動(dòng)點(diǎn)向周期4吸引子的轉(zhuǎn)遷.當(dāng)參數(shù)b屬于區(qū)域III時(shí)，可以得到另一種不同的轉(zhuǎn)遷模式，即由Fold分岔所誘發(fā)的從不動(dòng)點(diǎn)吸引子向周期4軌道的轉(zhuǎn)遷.圖3(b)給出了區(qū)域III中典型的分岔圖.由于不動(dòng)點(diǎn)吸引子與周期4軌道在Fold點(diǎn)附近共存，因此Fold分岔誘發(fā)了從不動(dòng)點(diǎn)向周期4吸引子的轉(zhuǎn)遷.由于不動(dòng)點(diǎn)吸引子經(jīng)由Flip分岔通向混沌，因此在的左側(cè)區(qū)域以及的右側(cè)區(qū)域存在著間距越來越狹窄的無數(shù)條Flip分岔曲線.這些Flip曲線與周期2n(n≥3)等具有較高周期的軌道相對應(yīng)，并逐漸將周期軌道以Flip分岔的方式引向混沌.因此，隨著參數(shù)b進(jìn)入IV區(qū)并不斷減小，可以得到從不動(dòng)點(diǎn)向高周期軌道2n(n≥3)甚至是混沌吸引子的轉(zhuǎn)遷.

情形3：從不動(dòng)點(diǎn)向周期8吸引子的轉(zhuǎn)遷.當(dāng)b=0.22時(shí)，圖3(c)給出了區(qū)域IV中的一種典型的分岔轉(zhuǎn)遷行為.可見，在Fold分岔點(diǎn)附近，不動(dòng)點(diǎn)吸引子與周期8吸引子共存，因此由Fold分岔誘發(fā)了從不動(dòng)點(diǎn)向周期8軌道的轉(zhuǎn)遷.

圖3 映射(2)關(guān)于參數(shù)β的典型單參數(shù)分岔圖Fig.3 Typical one parameter bifurcation diagrams of the map(2)with respect to β

情形4：從不動(dòng)點(diǎn)向混沌吸引子的轉(zhuǎn)遷.在區(qū)域IV內(nèi)繼續(xù)調(diào)整b的值，可得如圖3(d)所示的向混沌吸引子轉(zhuǎn)遷的模式.在Fold分岔點(diǎn)附近，系統(tǒng)處于不動(dòng)點(diǎn)吸引子與混沌吸引子共存的雙穩(wěn)態(tài)，進(jìn)而會出現(xiàn)由Fold分岔所誘發(fā)的向混沌吸引子的轉(zhuǎn)遷.

2 對稱式簇發(fā)

前面已經(jīng)探討了快子系統(tǒng)的分岔行為，分析表明：由于在Fold點(diǎn)附近不動(dòng)點(diǎn)吸引子可與多種周期軌道甚至混沌共存，因此Fold分岔可以誘發(fā)從不動(dòng)點(diǎn)向不同類型吸引子的轉(zhuǎn)遷.基于此，本部分進(jìn)一步探討與這些轉(zhuǎn)遷相關(guān)的各種簇發(fā)振蕩模式.

2.1 對稱式“Fold/反向Flip”簇發(fā)

當(dāng)b位于II區(qū)時(shí)，系統(tǒng)能夠產(chǎn)生對稱式“Fold/反向Flip”簇發(fā).不失一般性，考慮b=0.25的情形來解釋這種簇發(fā)振蕩的產(chǎn)生機(jī)理.注意到當(dāng)Zn=Fcos(ωn)處于 βFB+與βFB-之間時(shí)，系統(tǒng)處于雙穩(wěn)態(tài)，因此要實(shí)現(xiàn)軌線在不同吸引子間的轉(zhuǎn)遷,就必須使Zn能夠穿越βFB±.由數(shù)值計(jì)算可知，βFB-=0.356，故這里選取Zn=0.38cos(ωn)，其振幅略大于βFB-.圖4(a)給出了系統(tǒng)在該參數(shù)條件下的簇發(fā)行為.為進(jìn)一步闡明系統(tǒng)軌線隨慢變量的變化趨勢，在此將Zn視為廣義變量,給出相應(yīng)的轉(zhuǎn)化相圖[25-26],并將其與分岔圖疊加，如圖4(b)所示.

圖4 不同的對稱簇發(fā)Fig.4 Dif f erent symmetric bursting

圖4 不同的對稱簇發(fā)(續(xù))Fig.4 Dif f erent symmetric bursting(continued)

從圖4(b)中可以看出，當(dāng)Zn從0出發(fā)逐漸增大至βFB-時(shí),原本處于下半支的軌線會由于Fold分岔而轉(zhuǎn)遷到上半支的周期2吸引子，從而使系統(tǒng)進(jìn)入激發(fā)態(tài).Zn在到達(dá)最大值0.38后，開始逐漸減小，并“反向”地穿過使得激發(fā)態(tài)終止，系統(tǒng)進(jìn)入沉寂態(tài)F+;隨著Zn繼續(xù)減小，直至越過FB+，雙穩(wěn)態(tài)再次被破壞，軌線躍遷到下半支的周期2吸引子;在此之后，系統(tǒng)通過與前述過程相似的方式再次回到沉寂態(tài)，并進(jìn)入下一個(gè)周期的演化.此過程中，系統(tǒng)由沉寂態(tài)進(jìn)入激發(fā)態(tài)是通過Fold分岔，而激發(fā)態(tài)的終止則是通過反向Flip分岔.根據(jù)文獻(xiàn)[1]中的分類方法，同時(shí)考慮到對稱性，這種簇發(fā)行為可以歸類為對稱式“Fold/反向Flip”簇發(fā).

2.2 對稱式“Fold/二重反向Flip”簇發(fā)

當(dāng)b位于III區(qū)時(shí)，可以得到另一種不同的簇發(fā)形式.考慮b=0.23的情況，此時(shí)βFB-=0.369.選取Zn=0.37cos(ωn),顯然Fold分岔將會發(fā)生，這預(yù)示著簇發(fā)將會出現(xiàn).

圖4(c)給出了含二重反向(double inverse)Flip分岔結(jié)構(gòu)的簇發(fā)模式，相應(yīng)的轉(zhuǎn)化相圖為圖4(d).當(dāng)Zn越過FB-后，軌線會躍遷到周期4吸引子，該吸引子隨后經(jīng)過二重反向Flip分岔演變?yōu)镕+.緊接著系統(tǒng)經(jīng)歷與之對稱的演變，并進(jìn)入下一周期.按之前的分類方法，這種激發(fā)態(tài)為周期4軌道的簇發(fā)模式可命名為對稱式“Fold/二重反向Flip”簇發(fā).

2.3 對稱式“Fold/多重反向Flip”簇發(fā)

由備注2知，若b位于IV區(qū),系統(tǒng)可產(chǎn)生激發(fā)態(tài)為周期8等高周期軌道乃至混沌的簇發(fā)振蕩.如取b=0.22,F=0.381,通過數(shù)值模擬可發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)在通過Fold分岔由沉寂態(tài)轉(zhuǎn)遷到周期8軌道后，經(jīng)由多重反向Flip分岔演變到沉寂態(tài).對該簇發(fā)振蕩模式，可將其稱作對稱式“Fold/多重反向Flip”簇發(fā),見圖4(e)和圖4(f).

2.4 對稱式“Fold/級聯(lián)反向Flip”簇發(fā)

根據(jù)前面所做的分析，在區(qū)域IV中繼續(xù)調(diào)整b的值，可以得到激發(fā)態(tài)為混沌乃至周期窗口的簇發(fā)模式.圖5給出了混沌激發(fā)態(tài)的簇發(fā)振蕩模式，其中b=0.215，F(xiàn)=0.4，快子系統(tǒng)分岔行如圖3(d).當(dāng)Zn越過Fold分岔點(diǎn)后，系統(tǒng)轉(zhuǎn)遷到混沌狀態(tài)，隨后系統(tǒng)又經(jīng)過一系列反向Flip分岔回到沉寂態(tài)，故可將其命名為對稱式“Fold/級聯(lián)反向Flip”簇發(fā).

圖5 對稱式“Fold/級聯(lián)反向Flip”簇發(fā),b=0.215,Zn=0.4cos(0.001n)Fig.5 Symmetric“Fold/a cascade of inverse Flip”bursting,b=0.215,Zn=0.4cos(0.001n)

進(jìn)一步的數(shù)值模擬顯示，在快子系統(tǒng)分岔圖中,存在著一些使系統(tǒng)展現(xiàn)出周期性的孤立區(qū)間，將混沌區(qū)分割成若干段，這意味著可能存在與不動(dòng)點(diǎn)共存的周期窗口.例如，取a=1.975,b=0,F=0.38時(shí),快子系統(tǒng)的單參數(shù)分岔圖為圖6(a),簇發(fā)行為則如圖6(b)所示.當(dāng)Zn越過FB±后，系統(tǒng)從沉寂態(tài)轉(zhuǎn)遷到周期3軌道，并迅速進(jìn)入混沌，之后又通過一系列反向Flip分岔演變?yōu)槌良艖B(tài)，從而產(chǎn)生一種分岔結(jié)構(gòu)不同于圖5(a)的混沌簇發(fā)模式.

圖6 另一種混沌簇發(fā),a=1.975,b=0,Zn=0.38cos(0.001n)Fig.6 Another chaotic bursting,wherea=1.975,b=0,Zn=0.38cos(0.001n)

3 非對稱式簇發(fā)

前面探討了由Fold分岔所誘發(fā)的幾種復(fù)雜簇發(fā)振蕩模式及其動(dòng)力學(xué)機(jī)理，這些簇發(fā)振蕩模式的產(chǎn)生離不開慢變量對Fold分岔點(diǎn)的周期穿越，即要求慢變量具有足夠大的振幅.本文接下來的內(nèi)容，將探討慢變量振幅相對較小，即慢變量無法穿越Fold分岔點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)可能存在的簇發(fā)振蕩模式.

3.1 “延遲Flip/反向Flip”簇發(fā)

圖7給出了b=0.2時(shí),快子系統(tǒng)關(guān)于β的單參數(shù)分岔圖，其中Fold分岔值和各Flip分岔值分別是我們以此為例，探討簇發(fā)振蕩模式的產(chǎn)生.由于慢變量無法穿越Fold分岔點(diǎn)，因此軌線無法在快子系統(tǒng)的上、下穩(wěn)定支之間來回轉(zhuǎn)遷，即軌線必然會沿某一穩(wěn)定支(可以是上半支，也可是下半支)，這由軌線的初值決定演化[27].

圖7 b=0.2時(shí)快子系統(tǒng)關(guān)于β的分岔圖Fig.7 Bifurcation diagram of fast subsystem with β forb=0.2

圖8(a)給出了Zn=0.27cos(0.001n)時(shí)系統(tǒng)的一種簇發(fā)振蕩模式.為了揭示其中的動(dòng)力學(xué)機(jī)制，圖8(b)進(jìn)一步給出了該簇發(fā)的轉(zhuǎn)換相圖與分岔圖的疊加.由圖8(b)可知，當(dāng)慢變量不斷增加、穿越Flip分岔點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)了有趣的延遲分岔現(xiàn)象.延遲分岔，又稱為慢過效應(yīng)(slow passage ef f ect)或記憶效應(yīng)[28-29](memory ef f ect)，是吸引子的一種延遲失穩(wěn)現(xiàn)象[30-31]，即當(dāng)吸引子失穩(wěn)變成排斥子時(shí)，系統(tǒng)的軌線繼續(xù)在排斥子上停留了一段時(shí)間，然后再離開排斥子的現(xiàn)象.由于延遲的作用，該參數(shù)組合下出現(xiàn)了排斥子F+與周期2軌道間的滯后.因此，當(dāng)延遲結(jié)束時(shí)，軌線得以迅速向該周期2吸引子轉(zhuǎn)遷，從而導(dǎo)致激發(fā)態(tài)的出現(xiàn).

當(dāng)Zn不斷減小，“反向”越過Flip分岔點(diǎn)時(shí)，數(shù)值計(jì)算表明：系統(tǒng)在Zn=0.126處由周期2振蕩進(jìn)入沉寂態(tài).將其與Flip分岔值相比，盡管仍能觀察到一定的延遲，但相應(yīng)延遲量明顯小于“正向”通過時(shí)的情形.因此，這里只考慮“正向”穿越時(shí)的延遲行為，而對“反向”的延遲忽略不計(jì).考慮到系統(tǒng)因延遲Flip分岔從沉寂態(tài)進(jìn)入激發(fā)態(tài)，隨后又由反向Flip分岔從激發(fā)態(tài)返回沉寂態(tài)，故可以將這種簇發(fā)振蕩模式命名為“延遲Flip/反向Flip”簇發(fā).

圖8 “延遲Flip/反向Flip”簇發(fā)，b=0.2,Zn=0.27cos(0.001n)Fig.8“Delayed F lip/inverse Flip”bursting,b=0.2,Zn=0.27cos(0.001n)

我們已經(jīng)看到，延遲 Flip分岔可以引起系統(tǒng)從排斥子向吸引子的災(zāi)難性轉(zhuǎn)遷(catastrophic transition)，由此得到了由延遲Flip分岔誘發(fā)的簇發(fā)振蕩.接下來，我們簡要地分析由延遲Flip分岔誘發(fā)的其它幾類典型的簇發(fā)振蕩模式，它們與慢變量穿越Flip分岔點(diǎn)以及混沌區(qū)域有關(guān).

3.2 “雙重延遲Flip/雙重反向Flip”簇發(fā)

當(dāng)F=0.34時(shí)，系統(tǒng)可產(chǎn)生“雙重延遲Flip/雙重反向Flip”式簇發(fā).在Zn越過之后，延遲效應(yīng)使得軌線繼續(xù)停留在不動(dòng)點(diǎn)上，直至軌線才迅速地轉(zhuǎn)遷到周期2軌道.隨后，在Zn=0.337處,軌線離開已經(jīng)失穩(wěn)的周期2軌道，躍遷到周期4軌道.當(dāng)Zn達(dá)到最大值后，通過雙重反向Flip分岔，系統(tǒng)又回到沉寂態(tài)，并進(jìn)入下一周期，數(shù)值模擬結(jié)果如圖9.

圖9 “雙重延遲Flip/雙重反向Flip”簇發(fā),b=0.2,Zn=0.34cos(0.001n)Fig.9“Delayed double Flip/double inverse Flip”bursting,b=0.2,Zn=0.34cos(0.001n)

3.3 “多重延遲Flip/多重反向Flip”簇發(fā)

如圖10，取F=0.35，系統(tǒng)可產(chǎn)生“多重延遲Flip/多重反向Flip”形式的簇發(fā).分岔延遲使得軌線在Zn=0.219處離開不動(dòng)點(diǎn)，突然轉(zhuǎn)遷并一直保持在周期2軌道上.直到Zn=0.343時(shí)，延遲效應(yīng)使系統(tǒng)離開已經(jīng)失穩(wěn)的周期2軌道，直接躍遷到周期8.當(dāng)Zn到達(dá)最大值后，激發(fā)態(tài)經(jīng)由多重反向Flip分岔逐級演變?yōu)槌良艖B(tài)，隨后系統(tǒng)進(jìn)入下一周期.

圖10 “多重延遲Flip/多重反向Flip”簇發(fā),b=0.2,Zn=0.35cos(0.001n)Fig.10“Delayed multiple Flip/inverse multiple Flip”bursting,b=0.2,Zn=0.35cos(0.001n)

3.4 “級聯(lián)延遲Flip/級聯(lián)反向Flip”簇發(fā)

當(dāng)F=0.38時(shí)，軌線先在Zn=0.222處轉(zhuǎn)遷到周期2，隨后出現(xiàn)的第二次分岔延遲則使系統(tǒng)在Zn=0.351處直接進(jìn)入混沌態(tài).隨著Zn到達(dá)最大值，系統(tǒng)又通過一系列反向Flip分岔回到沉寂態(tài)，進(jìn)而進(jìn)入下一周期，數(shù)值模擬如圖11所示.依據(jù)前面所采用的分類方法，將其稱為“級聯(lián)延遲Flip/級聯(lián)反向Flip”簇發(fā).

4 結(jié)論

圖11 “級聯(lián)延遲Flip/級聯(lián)反向Flip”簇發(fā),b=0.2,Zn=0.38cos(0.001n)Fig.11“A cascade of delayed Flip/a cascade of inverse Flip”bursting,b=0.2,Zn=0.38cos(0.001n)

本文以離散Duffing系統(tǒng)為例，探討了由于慢變激勵(lì)的存在而誘發(fā)的具有復(fù)雜分岔結(jié)構(gòu)的簇發(fā)振蕩模式.在S形不動(dòng)點(diǎn)曲線的Fold分岔點(diǎn)附近，不動(dòng)點(diǎn)吸引子可與諸如2n周期或混沌等不同類型的吸引子共存.研究表明，若慢變激勵(lì)振幅充分大，以致慢變量能越過Fold分岔點(diǎn)時(shí)，吸引子的共存會因Fold分岔而被破壞.于是，系統(tǒng)向原先共存的吸引子轉(zhuǎn)遷，由此產(chǎn)生了由Fold分岔所誘發(fā)的各類對稱式簇發(fā).另一方面，當(dāng)慢變激勵(lì)無法越過Fold分岔點(diǎn)時(shí)，延遲分岔現(xiàn)象形成了不穩(wěn)定的2n軌道與穩(wěn)定的2n+1(n=0,1,2,··)軌道間的滯后.基于此，得到了由延遲Flip分岔所誘發(fā)的各種非對稱式簇發(fā).特別的，本文所報(bào)道的簇發(fā)其“激發(fā)態(tài)”大多由兩次以上的反向Flip分岔才過渡到“沉寂態(tài)”，從而導(dǎo)致簇發(fā)具備多級反向Flip分岔這類復(fù)雜的結(jié)構(gòu).然而，需要指出的是，本文的研究主要針對簇發(fā)動(dòng)力學(xué)機(jī)制的定性分析，仍有一些與簇發(fā)相關(guān)的重要問題需進(jìn)一步探討，例如簇發(fā)中延遲現(xiàn)象的本質(zhì)以及延遲量的計(jì)算等問題.

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COMPLEX BURSTING OSCILLATION STRUCTURES IN A TWO-DIMENSIONAL NON-AUTONOMOUS DISCRETE SYSTEM1)

Chen Zhenyang Han Xiujing2)Bi Qinsheng
(Faculty of Civil Engineering and Mechanics，Jiangsu University，Zhenjiang212013，Jiangsu，China)

Bursting oscillations are the archetypes of complex dynamical behaviors in systems with multiple time scales, and the problem related to dynamical mechanisms and classification of bursting oscillations is one of the important problems in bursting research.However,up to now,most of the structures of bursting revealed by researchers are relatively simple.In this paper,we take the non-autonomous discrete Duffing system as an example to explore novel bursting patterns with complex bifurcation structures,which are divided into two groups,i.e.,symmetric bursting induced by Fold bifurcations and asymmetric bursting induced by delayed Flip bifurcations.Typically,the fast subsystem exhibits an S-shaped fi ed point curve with two Fold points,and the stable upper and lower branches evolve into chaos by a cascade of Flip bifurcations.When the non-autonomous term(i.e.,the slow variable)passes through Fold points,transitions to various attractors(e.g.,periodic orbits and chaos)on the stable branches may take place,which accounts for the appearance of Fold-bifurcation-induced symmetric bursting patterns.If the non-autonomous term is not able to pass through Fold points,but to go through Flip points,delayed Flip bifurcations can be observed.Based on this,delayed-Flip-bifurcation-induced asymmetric bursting patterns are obtained.In particular,the bursting patterns reported here exhibit complex structures containing inverse Flip bifurcations,which has been found to be related to the fact that the nonautonomous term slowly passes through Flip points of the fast subsystem in an inverse way.Our results enrich dynamical mechanisms and classification of bursting in discrete systems.

discrete Duffing system,complex bursting patterns,delayed Flip bifurcations,inverse Flip bifurcation structures

O322

A doi：10.6052/0459-1879-16-267

2016-09-22收稿，2016-11-06錄用,2016-11-11網(wǎng)絡(luò)版發(fā)表.

1)國家自然科學(xué)基金(11572141,11632008,11502091,11472115,11402226)和江蘇大學(xué)青年骨干教師培養(yǎng)工程資助項(xiàng)目.

2)E-mail：xjhan@mail.ujs.edu.cn

陳振陽，韓修靜，畢勤勝.一類二維非自治離散系統(tǒng)中的復(fù)雜簇發(fā)振蕩結(jié)構(gòu).力學(xué)學(xué)報(bào),2017,49(1)：165-174

Chen Zhenyang,Han Xiujing,Bi Qinsheng.Complex bursting oscillation structures in a two-dimensional non-autonomous discrete system.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(1)：165-174