一類非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)模糊反推近似滑?？刂?

汪濤，胡劍波，李飛，鄭磊

（空軍工程大學(xué)裝備管理與安全工程學(xué)院，西安710038）

一類非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)模糊反推近似滑模控制*

汪濤，胡劍波，李飛，鄭磊

（空軍工程大學(xué)裝備管理與安全工程學(xué)院，西安710038）

針對(duì)一類含有未知非線性函數(shù)項(xiàng)和外界干擾的不確定純反饋非線性系統(tǒng)，提出了一種自適應(yīng)模糊反推近似滑模變結(jié)構(gòu)控制方法。采用中值定理和隱函數(shù)定理使未知非仿射輸入函數(shù)擁有顯式的控制輸入，利用模糊系統(tǒng)逼近未知非線性函數(shù)，動(dòng)態(tài)面控制技術(shù)解決了反推設(shè)計(jì)中出現(xiàn)的“微分爆炸”問題。所提出的自適應(yīng)近似滑?？刂品桨赶魅趿藗鹘y(tǒng)滑模控制中的抖振現(xiàn)象。從理論上證明了所設(shè)計(jì)的控制器能夠保證閉環(huán)系統(tǒng)所有信號(hào)半全局一致終結(jié)有界。仿真算例驗(yàn)證了算法的有效性。

純反饋非線性系統(tǒng)，動(dòng)態(tài)面控制，反推設(shè)計(jì)，模糊系統(tǒng)，近似滑模

0 引言

自20世紀(jì)70年代以來，非線性系統(tǒng)控制理論取得了大量的研究成果。然而，大多數(shù)研究成果都是嚴(yán)反饋非線性系統(tǒng)領(lǐng)域［1-3］的，由于非仿射系統(tǒng)的控制作用包含在非仿射函數(shù)中，這種非仿射特性使得控制器的設(shè)計(jì)變得十分困難［4］，因而取得的成果相對(duì)較少。實(shí)際工程實(shí)踐當(dāng)中，很多系統(tǒng)都具有非仿射特性［5-7］。因此，純反饋非線性系統(tǒng)控制受到了越來越多的關(guān)注。

針對(duì)具有非仿射特性的這類非線性系統(tǒng)，常用的控制方法是利用近似線性化、泰勒級(jí)數(shù)、逆系統(tǒng)等方法。但這些方法往往只能保證控制系統(tǒng)的局部穩(wěn)定，無法實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的大范圍控制。針對(duì)這一問題，很多學(xué)者做了大量的研究，見文獻(xiàn)［8-14］。

受前面文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文針對(duì)一類含有未知非線性函數(shù)項(xiàng)和外界干擾的不確定純反饋非線性系統(tǒng)，利用隱函數(shù)定理與中值定理將非仿射型系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為仿射型系統(tǒng)，利用模糊系統(tǒng)的萬能逼近能力逼近系統(tǒng)未知非線性部分并取消不確定干擾上界先驗(yàn)已知的條件，采用自適應(yīng)反推設(shè)計(jì)策略設(shè)計(jì)控制器，采用動(dòng)態(tài)面技術(shù)解決反推設(shè)計(jì)過程中出現(xiàn)的“微分爆炸”問題，近似函數(shù)的引入使得控制信號(hào)更為平滑、連續(xù)。穩(wěn)定性分析表明，本文所提出的控制方案在保證閉環(huán)系統(tǒng)所有信號(hào)有界的同時(shí)，可以通過參數(shù)選取實(shí)現(xiàn)對(duì)參考指令信號(hào)任意精度的跟蹤。

1 問題描述及準(zhǔn)備

考慮如下一類不確定純反饋非線性系統(tǒng)

控制目標(biāo)：在滿足假設(shè)1～3的條件時(shí)，設(shè)計(jì)自適應(yīng)模糊反推近似滑?？刂破魇沟貌淮_定純反饋非線性系統(tǒng)（1）存在未知非線性函數(shù)和不確定外界干擾時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)所有信號(hào)半全局一致終結(jié)有界，且輸出y能夠穩(wěn)定跟蹤參考指令信號(hào)yr。

2 控制器設(shè)計(jì)

采用反推控制方法，控制器設(shè)計(jì)分為n步，控制器設(shè)計(jì)可以分為兩個(gè)階段：第1階段（Step1～Step n-1）：利用模糊系統(tǒng)的萬能逼近能力，結(jié)合動(dòng)態(tài)面控制和反推設(shè)計(jì)方法，處理未知非線性函數(shù)項(xiàng)；第2階段（Step n）：結(jié)合滑?？刂品椒?，使系統(tǒng)對(duì)于匹配不確定性具有魯棒性，采用近似函數(shù)代替開關(guān)函數(shù)有效地消除控制抖振。具體設(shè)計(jì)步驟如下：

Step1：定義系統(tǒng)的跟蹤誤差，即第1階子系統(tǒng)誤差為e1=x1-yr。e1的導(dǎo)數(shù)為

Stepi（2≤i≤n-1）：定義系統(tǒng)的第i（i=2，…，n-1）階子系統(tǒng)誤差為ei=xi-βi-1。ei的導(dǎo)數(shù)為

βi-1為第i-1階子系統(tǒng)虛擬控制αi-1通過一階濾波器后的輸出，則有

根據(jù)隱函數(shù)定理與中值定理可得

選取第i階子系統(tǒng)的虛擬控制律

其中，ki＞0為待設(shè)計(jì)參數(shù)。i為最優(yōu)權(quán)值向量的自適應(yīng)估計(jì)值。

其中，i為濾波器時(shí)間常數(shù)。

Stepn：定義系統(tǒng)的第n階子系統(tǒng)誤差為en=xnβn-1。en的導(dǎo)數(shù)為

由中值定理知

將式（19）代入式（18），可得

由于鐵路貨車軸承為雙列圓錐滾子軸承，而雙列圓錐滾子軸承結(jié)構(gòu)復(fù)雜、故障特征頻率難以精確計(jì)算，且早期微弱故障往往又淹沒于系統(tǒng)噪聲而難于提取，加之各種頻率成分交加使得頻率成分更加復(fù)雜，因此采用傳統(tǒng)方法進(jìn)行故障精密診斷十分困難，直接對(duì)其進(jìn)行頻譜分析往往不能成功，所以可借助共振解調(diào)技術(shù)對(duì)采集的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行分析與處理。

為了增強(qiáng)系統(tǒng)魯棒性，補(bǔ)償系統(tǒng)不確定外界干擾對(duì)系統(tǒng)跟蹤控制效果的影響，采用滑模變結(jié)構(gòu)控制方法設(shè)計(jì)第n階子系統(tǒng)控制律。選取滑模面s=en，則可以設(shè)計(jì)系統(tǒng)最終控制律為

為抑制控制輸入存在的抖振現(xiàn)象，采用如下連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)近似控制律中的符號(hào)函數(shù)：

可以得到連續(xù)且可導(dǎo)的近似滑模變結(jié)構(gòu)控制律

3 穩(wěn)定性分析

證明：對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)（1），選取Lyapunov函數(shù)

對(duì)V求導(dǎo)，可得

第i+1階子系統(tǒng)誤差為

由式（7）、式（8）和式（28），可得

對(duì)s求導(dǎo)，可得

將式（30）代入式（28）對(duì)ωi求導(dǎo)，可得

由界化不等式和假設(shè)3，可知

將自適應(yīng)律（23）代入式（32）可得

根據(jù)Young不等式可得

將式（34）～式（40）代入式（33），可得

若設(shè)計(jì)參數(shù)滿足

其中，r1＞0。則有

其中，r2為有界常數(shù)。

證畢。

4 仿真實(shí)例

考慮如下三階非仿射純反饋非線性系統(tǒng)：

仿真結(jié)果如圖1～圖6所示。圖1為系統(tǒng)輸出y跟蹤參考指令信號(hào)yr軌跡變化曲線，可以看出，在自適應(yīng)反推近似滑?？刂坡勺饔孟?，系統(tǒng)輸出能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)參考指令信號(hào)的穩(wěn)定跟蹤，并且跟蹤誤差能夠控制在較小范圍內(nèi)。圖2～圖4分別為模糊系統(tǒng)對(duì)系統(tǒng)中未知非線性函數(shù)α1、α2、α3的逼近效果，逼近效果可以通過模糊器參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，圖5為基于lyapunov穩(wěn)定性理論設(shè)計(jì)的自適應(yīng)參數(shù)D?的變化曲線，可以看出，閉環(huán)系統(tǒng)所有狀態(tài)有界。

圖1 系統(tǒng)輸出跟蹤參考指令信號(hào)軌跡

圖2 函數(shù)α1模糊逼近效果

圖6為采用近似變結(jié)構(gòu)控制策略下的控制輸入信號(hào)曲線，若采用傳統(tǒng)不連續(xù)的滑模變結(jié)構(gòu)控制方案（22）。其控制輸入信號(hào)曲線如圖7所示。對(duì)比分析可知，近似滑模變結(jié)構(gòu)控制方法能夠有效削弱傳統(tǒng)滑模不連續(xù)控制器所產(chǎn)生的抖振現(xiàn)象。

圖3 函數(shù)α2模糊逼近效果

圖5 自適應(yīng)參數(shù)

圖4 函數(shù)α3模糊逼近效果

圖7 控制輸入信號(hào)（不連續(xù)控制器）

5 結(jié)論

本文研究了一類n階不確定非仿射純反饋非線性系統(tǒng)自適應(yīng)反推滑模控制問題，利用中值定理和隱函數(shù)定理將相應(yīng)子系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為類仿射系統(tǒng)。利用模糊系統(tǒng)的萬能逼近能力逼近系統(tǒng)未知非線性部分，采用自適應(yīng)反推設(shè)計(jì)方案設(shè)計(jì)控制器，使控制器的設(shè)計(jì)系統(tǒng)化，動(dòng)態(tài)面控制技術(shù)解決了反推控制器計(jì)算復(fù)雜性的問題和非仿射純反饋非線性系統(tǒng)中可能存在的控制器循環(huán)結(jié)構(gòu)問題。近似滑?？刂剖沟每刂菩盘?hào)更為平滑、連續(xù)，削弱了傳統(tǒng)滑?？刂浦械亩墩瘳F(xiàn)象，取消了不確定干擾上界先驗(yàn)已知的條件。應(yīng)用Lyapunov穩(wěn)定性理論對(duì)所設(shè)計(jì)的閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，證明了系統(tǒng)所有信號(hào)半全局一致終結(jié)有界，可以通過參數(shù)選取實(shí)現(xiàn)對(duì)參考指令信號(hào)任意精度的跟蹤。

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Adaptive Fuzzy Backstepping Approximate Sliding Mode Control for A Class of Nonlinear Systems

WANG Tao，HU Jian-bo，LI Fei，ZHENG Lei
（School of Materiel Management and Safety Engineering，Air Force Engineering University，Xi’an 710038，China）

An adaptive fuzzy backstepping approximate sliding mode variable structure control approach is presented for a class of pure-feedback nonlinear systems with uncertainties and external interference.By using implicit function theorem and mean value theorem，unknown non-affine input functions can be transformed to partially affine forms，the fuzzy system is used to approximate the unknown nonlinearities in systems，the problem of explosion of complexity in traditional backstepping design is eliminated by utilizing dynamic surface control.By using adaptive approximate sliding mode control，the earthquake shaking phenomenon in traditional sliding mode control is decreased.At last，the proposed controller ensures the semi-global uniformly ultimately boundedness for all the closed loop signals.A numerical example is presented to demonstrate the effectiveness of the proposed algorithm.

pure-feedback nonlinear systems，dynamic surface control，backstepping，fuzzy system，approximate sliding mode

TP 273

A

1002-0640（2017）02-0034-05

2016-01-05

2016-02-27

國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室基金資助項(xiàng)目（ICT1401）

汪濤（1992-），男，四川峨眉人，碩士。研究方向：變結(jié)構(gòu)控制理論與應(yīng)用、信息系統(tǒng)工程。