高中數(shù)學(xué)“錯(cuò)題”的教育功能研究

徐周鈺

【摘 要】隨著教學(xué)制度改革，教學(xué)內(nèi)容主要從以前的課本知識(shí)逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯啃詫W(xué)習(xí)。尤其是高中數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)于學(xué)生的研究性要求很高，高中數(shù)學(xué)常會(huì)出現(xiàn)資料“錯(cuò)題”，學(xué)生經(jīng)過學(xué)習(xí)找出這些錯(cuò)題，便可從中考驗(yàn)自己的數(shù)學(xué)知識(shí)掌握程度，體現(xiàn)出自己的研究精神。“錯(cuò)題”對(duì)于老師和學(xué)生都是一種考驗(yàn)，如何在學(xué)習(xí)過程中辨別這些“錯(cuò)題”，針對(duì)這些錯(cuò)題應(yīng)該從中總結(jié)出怎樣的經(jīng)驗(yàn)將成為學(xué)生和教師學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。文章針對(duì)高中數(shù)學(xué)“錯(cuò)題”的相關(guān)情況進(jìn)行研究，為促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)、研究提供一些幫助。

【關(guān)鍵詞】錯(cuò)題；高中數(shù)學(xué)；教育功能

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-0568（2016）36-0049-02

為了適應(yīng)當(dāng)前教育改革的要求，教師在教學(xué)過程中不得不轉(zhuǎn)變角色，從以前的以“講”為主教學(xué)逐漸變?yōu)橐詫W(xué)生“學(xué)”為主體教學(xué)，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)投入更多研究，主要實(shí)現(xiàn)掌握學(xué)習(xí)方法，然后自己從事學(xué)習(xí)研究。由于教學(xué)模式的轉(zhuǎn)變，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中發(fā)揮的作用越來(lái)越大，高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中經(jīng)常會(huì)遇到一些資料上出現(xiàn)“錯(cuò)題”的情況，如何識(shí)別這些錯(cuò)題，并且從中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)將是檢驗(yàn)學(xué)生學(xué)習(xí)水平的最好工具。因此，學(xué)生只有學(xué)習(xí)到一定程度，才能夠發(fā)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)資料上的“錯(cuò)題”，否則，就會(huì)跟著資料錯(cuò)下去。下面將針對(duì)高中數(shù)學(xué)中的“錯(cuò)題”教學(xué)作用和功能進(jìn)行分析，指出學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中發(fā)現(xiàn)錯(cuò)題的重要性。

一、“錯(cuò)題”在數(shù)學(xué)發(fā)展中的積極作用

錯(cuò)題在數(shù)學(xué)發(fā)展史上給數(shù)學(xué)教學(xué)造成了很多阻礙，課堂上的錯(cuò)題在教學(xué)中具有很高的借鑒價(jià)值和教學(xué)指導(dǎo)作用。數(shù)學(xué)家遇到的錯(cuò)題對(duì)于其研究具有很好的指導(dǎo)作用，同時(shí)也為數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)新東西提供了研究對(duì)象。比如，費(fèi)馬為了找出素?cái)?shù)的表達(dá)式，他提出了Fn=22 +1，當(dāng)n=0，1，2，3，4…時(shí)，它們均為素?cái)?shù)。于是便提出結(jié)論：當(dāng)n為任何非負(fù)整數(shù)時(shí)，用表達(dá)式Fn=22 +1可以表示素?cái)?shù)。

對(duì)于上述命題，很多數(shù)學(xué)家都投入過大量研究，表明該題屬于錯(cuò)誤命題。當(dāng)n=5時(shí)，上式子中的值并不是素?cái)?shù)，從而推翻了費(fèi)馬的猜想?？v觀數(shù)學(xué)發(fā)展史，其實(shí)就是從一個(gè)“錯(cuò)題”到另外一個(gè)“錯(cuò)題”的發(fā)展歷史，在不斷論證過程中實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的教與學(xué)，當(dāng)然也有一些科學(xué)家在“錯(cuò)題”中不斷進(jìn)步，努力尋求真理，為數(shù)學(xué)發(fā)展做出了突出貢獻(xiàn)。

二、“錯(cuò)題”在高中數(shù)學(xué)中的作用

1. 可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)和理解

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師可以為學(xué)生設(shè)置缺漏、創(chuàng)新疑點(diǎn)，通過學(xué)生自己鉆研探索和鞏固新知識(shí)。從“錯(cuò)題”教學(xué)中，讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考問題，積極培養(yǎng)他們的自主學(xué)習(xí)能力，為其今后的學(xué)習(xí)和研究打下基礎(chǔ)。

錯(cuò)題1：已知f（sinx）=sin2x，則f（cosx）等于： （ ）

A. sin2x B. -sin2x C. ±sin2x D. cos2x

針對(duì)這個(gè)錯(cuò)題，一個(gè)學(xué)生使用兩種方法進(jìn)行解題，最后呈現(xiàn)出不同的答案，由此說明此題為錯(cuò)題。

解法1：cosx=sin（x+），因此得出f（cosx）=f[sin（x+）]=sin2（x+）=sin（π+2x）=-sin2x。因此結(jié)果選B。

解法2：cosx=sin（-x），因此f（cosx）=f[sin（-x）]=sin2（-x）=sin（π-2x）=sin2x，故結(jié)果選A。

在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)此類錯(cuò)誤時(shí)，教師就可在課堂上讓學(xué)生自己進(jìn)行研究，結(jié)果發(fā)現(xiàn)確實(shí)存在著兩個(gè)不同的答案，很顯然這種題目不正確，經(jīng)過不同解法取得的結(jié)果也應(yīng)該是一致的。錯(cuò)題一般都具有一定的隱蔽性，通過學(xué)生自己尋找結(jié)果，這比教師直接告知結(jié)果效果要好。學(xué)生通過研究可以加深對(duì)題目的記憶和理解，有利于他們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中不斷開發(fā)自己的創(chuàng)新鉆研意識(shí)。

2. 可以完善學(xué)生的認(rèn)知

數(shù)學(xué)教學(xué)尤其是新知識(shí)教學(xué)，教師需要根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)出錯(cuò)規(guī)律來(lái)評(píng)估他們的學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)在什么位置，在學(xué)習(xí)中找出薄弱點(diǎn)，通過對(duì)“錯(cuò)題”的分析和研究，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中實(shí)現(xiàn)知識(shí)的整合。

錯(cuò)題2：曲線C：y2-4x2=1，試求斜率為2的直線與曲線C相交軌跡的中點(diǎn)。

假設(shè)：與曲線交于A、B兩點(diǎn)，其中A（x1，y1），B（x2，y2），終點(diǎn)為P（x，y）。一些學(xué)生解題時(shí)，設(shè)A、B在曲線C上，因此可以得出關(guān)系式子：y1-4x12=1…（1）；y2-4x22=1…（2）；由（1）-（2）得出：y1+y2=4（x1+x2）；從題意來(lái)看，直線斜率為2，即k=2；（x1+x2）/2=x；（y1+y2）/2=y。根據(jù)計(jì)算，得出的相交軌跡為直線y=2x。但是采用另外一種解法則會(huì)出現(xiàn)不同的結(jié)果。通過列方程組求解，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)斜率為2的支線與C曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，沒有2個(gè)交點(diǎn)，說明此題其實(shí)是一個(gè)錯(cuò)題。很多人利用中點(diǎn)弦求解都采用點(diǎn)差法，但卻忽略了一個(gè)問題，即對(duì)于題目的自身考慮，對(duì)于圖形結(jié)構(gòu)認(rèn)知不到位而出現(xiàn)差錯(cuò)。

3. 有利于培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑精神

學(xué)生在求知階段通過發(fā)現(xiàn)資料錯(cuò)誤并進(jìn)行矯正，可以加深對(duì)知識(shí)本質(zhì)屬性的理解，弄清楚一些比較容易混淆的知識(shí)點(diǎn)，聯(lián)系知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)區(qū)別，使學(xué)生可以正確理解和掌握知識(shí)。很多學(xué)生對(duì)于高考題深信不疑，認(rèn)為高考題是不可能出現(xiàn)差錯(cuò)的，但是實(shí)際情況卻并非如此。實(shí)踐證明，如果教師能夠根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)的知識(shí)，然后結(jié)合高考數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的有爭(zhēng)議的“錯(cuò)題”進(jìn)行教學(xué)，常常會(huì)收到意想不到的效果。

例如，錯(cuò)題3：已知數(shù)列Sn的{an}為前n項(xiàng)和，且Sn=（an+1）2，試求{an}的通項(xiàng)公式，并證明數(shù)列{an}為等差或者等比數(shù)列。當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=（an+1）2-（an-1+1）2，可以得出（an-1）2=（an-1+1）2。即可以得出an-an-1=2或者an=-an-1（n≥2）；當(dāng)an-an-1=2時(shí)，數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且公差d=2，由S1=（a1+1）2以及S1=a1，得出a1=1。故，an=2n-1（n∈N*）；當(dāng)an=-an-1時(shí)，數(shù)列{an}成等比數(shù)列，且公比q=-1，因此得出an=（-1）n-1（n∈N*）。從上述解題來(lái)看，仔細(xì)一看存在著問題，通過列舉反例：a1=1，a2=-1，a3-a2=2，a4-a3=2，……因此，滿足條件的數(shù)列有很多，這道題目屬于錯(cuò)題，如果讓這道題目變成正確題，就應(yīng)添加條件：an>0。由此可見，通過錯(cuò)題可以使學(xué)生加深對(duì)數(shù)列的認(rèn)識(shí)和理解，可以有效診治學(xué)生的數(shù)學(xué)思維頑疾，并增強(qiáng)其綜合運(yùn)用能力。

“錯(cuò)題”不僅是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的難點(diǎn)問題，更是遺留給教育學(xué)者研究的寶貴財(cái)富。高中數(shù)學(xué)教學(xué)中通過“錯(cuò)題”教學(xué)可以有效提升學(xué)生的各方面能力，對(duì)于整合學(xué)生的知識(shí)構(gòu)架具有非常重要的作用。學(xué)生發(fā)現(xiàn)“錯(cuò)題”、解決“錯(cuò)題”不僅是一種學(xué)習(xí)能力的體現(xiàn)，也是其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)之后對(duì)于知識(shí)的綜合利用。本文針對(duì)“錯(cuò)題”教學(xué)的功能研究，分析了其在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要作用，以案例方式向讀者呈現(xiàn)高中數(shù)學(xué)教學(xué)“錯(cuò)題”以及提出解決方案。

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（編輯：朱澤玲）