在對(duì)比中深化概念的理解

盧清榮

在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，學(xué)習(xí)概念是一個(gè)過(guò)程，表象建立、符號(hào)表達(dá)、本質(zhì)抽象、結(jié)構(gòu)聯(lián)系都需要學(xué)生經(jīng)歷形成過(guò)程并逐步理解，如果教師只注重形式而忽視本質(zhì)，學(xué)生對(duì)概念的理解就會(huì)處于表面化，容易形成錯(cuò)誤概念或造成概念不清的情況。應(yīng)如何抓住概念本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生深度理解呢？

一、對(duì)比想象中凸顯概念表象

師：老師帶來(lái)一個(gè)“神器”——激光測(cè)距儀，它不但能發(fā)光，而且能測(cè)出光的長(zhǎng)度。看，它發(fā)的光到哪兒了？

生：黑板。

師：從發(fā)射點(diǎn)到黑板上光點(diǎn)間有一條線，把這條光線畫(huà)下來(lái)是什么圖形？

生：線段。

師：線段有什么特征？

生：直直的，有兩個(gè)端點(diǎn)。

師：激光測(cè)距儀上顯示數(shù)據(jù)1？郾884米。說(shuō)明這根線段的長(zhǎng)度是——

生：有限長(zhǎng)。

師：用激光測(cè)距儀發(fā)出光線射向遠(yuǎn)方，看不到盡頭。請(qǐng)大家閉上眼睛想一下，如果“神器”有無(wú)限能量，發(fā)出的光線一直射向很遠(yuǎn)很遠(yuǎn)的地方，這是怎樣的光線呢？

師：你們腦海中這條光線是什么樣子的呢？請(qǐng)把它畫(huà)下來(lái)。

生：直直的，一直伸向遠(yuǎn)方，連紙也裝不下。

生：這是發(fā)射點(diǎn)，一直往前伸，就找到一個(gè)端點(diǎn)。

師：你覺(jué)得他們畫(huà)的線有什么共同點(diǎn)？

生：都是直的，只有一個(gè)端點(diǎn)，可以無(wú)限延長(zhǎng)。

師：像這樣把線段的一端無(wú)限延長(zhǎng)，就得到一條射線。它還能繼續(xù)延長(zhǎng)嗎？

師：一直到黑板邊了，還能延長(zhǎng)嗎？線段有限長(zhǎng)，為什么射線無(wú)限長(zhǎng)呢？

生：線段有第二個(gè)端點(diǎn)，射線沒(méi)有第二個(gè)端點(diǎn)，可以無(wú)限長(zhǎng)。

【賞析】心理學(xué)研究表明，兒童學(xué)習(xí)概念依賴(lài)于實(shí)物的直觀可操作性，實(shí)物的外顯特征與圖形的本質(zhì)特征一致時(shí)，操作就成為學(xué)生的思維材料，促進(jìn)學(xué)生形成正確表象。線段是直線的一部分，射線是線段的一端無(wú)限延長(zhǎng)，二者既相互獨(dú)立又相互依存。張老師用“神器”再現(xiàn)兩種線的不同特征：當(dāng)“神器”發(fā)出的光從起點(diǎn)到終點(diǎn)（有始有終），這樣直直的線就是線段；“神器”從發(fā)光點(diǎn)射向遠(yuǎn)方（有始無(wú)終），這樣直直的線就是射線。認(rèn)識(shí)射線的無(wú)限性是學(xué)生的認(rèn)知難點(diǎn)，現(xiàn)實(shí)中物的具象都是有限長(zhǎng)，要把“無(wú)限長(zhǎng)”特征置于學(xué)生頭腦中很不容易。張老師用“神器”幫助學(xué)生形成正確的認(rèn)知表象，再借助圖形，展開(kāi)想象，促使學(xué)生在“感知—表象—想象”的過(guò)程中經(jīng)歷由具體到抽象。從數(shù)學(xué)角度思考，舍棄圖例表象（光），抽象出圖形表象（線）。從生活到數(shù)學(xué)，從感知到想象，從圖例到圖形，從有限到無(wú)限，這樣設(shè)計(jì)符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，有助于他們?cè)趯?duì)比中建構(gòu)表象，使“直直的”“無(wú)限長(zhǎng)”的射線特征得以凸顯。

二、對(duì)比求異中凸顯符號(hào)表達(dá)

師：如果把線段的兩端都無(wú)限延長(zhǎng)，那會(huì)怎樣呢？大家閉上眼睛，想一想，再畫(huà)下來(lái)。

師：根據(jù)畫(huà)射線的經(jīng)驗(yàn)，比一比這兩位同學(xué)畫(huà)的線，你更喜歡哪一條？

生：畫(huà)到本子邊，連紙都裝不下。

生：只畫(huà)一部分。

生：更喜歡短的，因?yàn)樗膬蛇厸](méi)有端點(diǎn)，沒(méi)有端點(diǎn)就意味著可以無(wú)限延長(zhǎng)。

師：盡管他沒(méi)有畫(huà)到邊上，但同學(xué)們也能看出它可以無(wú)限延長(zhǎng)，這樣畫(huà)既簡(jiǎn)潔又美觀。

師：這樣的線叫——

生：直線。

師：把線段兩端都無(wú)限延長(zhǎng)，就得到一條直線。

師：直線有什么特點(diǎn)？

生：兩端沒(méi)有端點(diǎn)，而且是直的。無(wú)限長(zhǎng)。

師：是的。直線沒(méi)有端點(diǎn)，而且是無(wú)限長(zhǎng)。誰(shuí)能畫(huà)一條直線？

師：你覺(jué)得線段、射線和直線有什么相同點(diǎn)，又有什么不同點(diǎn)？

生：它們都是直的，但端點(diǎn)個(gè)數(shù)不同，射線和直線都是無(wú)限長(zhǎng)，線段是有限長(zhǎng)。

【賞析】在概念形成過(guò)程中，教師要目標(biāo)明確地引導(dǎo)學(xué)生全面了解概念的內(nèi)涵，使他們充分經(jīng)歷概念抽象的過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生真正理解概念的實(shí)質(zhì)，看到符號(hào)就能聯(lián)想符號(hào)所代表的概念的本質(zhì)特征，有助于學(xué)生提高抽象能力和推理能力。反之，如果只從形式上認(rèn)識(shí)符號(hào)，而不懂符號(hào)的本質(zhì)含義，學(xué)生對(duì)概念的學(xué)習(xí)就會(huì)處于淺層次。學(xué)生在抽象直線的符號(hào)表達(dá)時(shí)，出現(xiàn)兩種不同的畫(huà)法：一種是用畫(huà)到本子邊表示直線無(wú)限長(zhǎng)；另一種則畫(huà)得很短，但用沒(méi)有端點(diǎn)表示它的無(wú)限長(zhǎng)。兩種符號(hào)表達(dá)直線“無(wú)限長(zhǎng)”特征的方式不同，張老師及時(shí)抓住生成資源，引導(dǎo)學(xué)生分析是用“畫(huà)滿裝不下”的外顯形式反映特征，還是用“線無(wú)端點(diǎn)”來(lái)表示它的無(wú)限性。其實(shí)，兩種不同的畫(huà)法都能正確反映學(xué)生對(duì)射線“無(wú)限長(zhǎng)”特征的理解，“畫(huà)滿紙裝不下”反映了學(xué)生思維還處于具象階段，是外部環(huán)境反映特征；用“線無(wú)端點(diǎn)”的形式反映“無(wú)限長(zhǎng)”，是學(xué)生對(duì)符號(hào)意義表達(dá)的真正理解，學(xué)生在深刻體會(huì)端點(diǎn)作用的情況下，弄清線段、射線和直線的區(qū)別——端點(diǎn)個(gè)數(shù)不同。張老師能抓住學(xué)生課堂生成資源，組織學(xué)生對(duì)比和辨識(shí)符號(hào)表達(dá)的實(shí)際意義，凸顯符號(hào)的概括性和簡(jiǎn)潔性。

三、對(duì)比求同中凸顯概念本質(zhì)

師：直線有什么價(jià)值呢？你們能從生活中找到直線嗎？

生：黑板的一條邊是直線。

生：黑板邊有限長(zhǎng)是線段。

……

師：老師不為難大家了，在我們生活中要是想看到直線還真不容易，但直線的價(jià)值可以在解決問(wèn)題中有所體會(huì)。

師：直線上的點(diǎn)可以表示數(shù)（圖1）。看到0、1、2、3，你覺(jué)得后面的點(diǎn)應(yīng)該是——

生：4。

師：你覺(jué)得5在哪里？指一指。

師：10應(yīng)該寫(xiě)在哪里？

生：10已經(jīng)到屏幕外面了。

師：你肯定這個(gè)10依然在——

生：在這條直線上。

師：在這條直線上能找到100嗎？（能）

師：這條直線上能找到1000、10000、100000000嗎？（能）

師：在這條直線上能找到最大的數(shù)嗎？（不能）為什么？

生：因?yàn)橹本€無(wú)限長(zhǎng)，在上面找到的數(shù)也是無(wú)限大的。

【賞析】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）》指出，為了適應(yīng)時(shí)代發(fā)展的要求以及對(duì)人才培養(yǎng)的需要，數(shù)學(xué)教學(xué)要注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。直線在現(xiàn)實(shí)世界中是“虛擬”的，應(yīng)用意識(shí)難以體現(xiàn)。張老師先讓學(xué)生到生活中尋找直線。學(xué)生邊找、邊質(zhì)疑、邊否認(rèn)，好奇心驅(qū)使他們盡快找到答案。于是，張老師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“線上找數(shù)”的活動(dòng)——學(xué)生先經(jīng)歷形式化看得見(jiàn)的“線上找數(shù)”過(guò)程，感知線與數(shù)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，再經(jīng)歷意象化的“更大的數(shù)想象更長(zhǎng)的線”的抽象過(guò)程，以具體無(wú)限大數(shù)想象與之對(duì)應(yīng)無(wú)限長(zhǎng)的線，數(shù)形結(jié)合，相得益彰。學(xué)生在對(duì)比求同活動(dòng)中觀察、分析和比較，歸納出“數(shù)是無(wú)限大，直線無(wú)限長(zhǎng)”的共同特征，借助數(shù)形結(jié)合的方法深化了其對(duì)直線本質(zhì)特征的認(rèn)識(shí)。

四、對(duì)比變化中凸顯結(jié)構(gòu)聯(lián)系

師：經(jīng)過(guò)一點(diǎn)可以畫(huà)多少條直線？

生：無(wú)數(shù)條。

師：請(qǐng)你經(jīng)過(guò)這條直線上的一點(diǎn)，再畫(huà)出兩條不同方向的直線。

師：在圖中還看到了什么圖形？

生：角。

師：人們研究這兩條直線相交的不同情況時(shí)就想到研究角，大家請(qǐng)聽(tīng)——

課件錄音：經(jīng)過(guò)一點(diǎn)的兩條不同直線，有無(wú)數(shù)種位置關(guān)系。為了表示它們不同的位置關(guān)系，人們想到了研究角，當(dāng)其中一個(gè)角的大小確定了，兩條直線位置關(guān)系也就確定了。

師：關(guān)于角，我們以前就認(rèn)識(shí)了，老師請(qǐng)大家自學(xué)例2的所有內(nèi)容，看一看，你對(duì)角又有什么新的認(rèn)識(shí)？

生：從一點(diǎn)引出兩條射線組成角。

師：誰(shuí)能邊畫(huà)邊給大家介紹一下？

學(xué)生一邊畫(huà)一邊講角的頂點(diǎn)和角的兩條邊。

師：角的兩條邊其實(shí)就是——

生：兩條射線。

【賞析】為什么要把角安排在這里讓學(xué)生學(xué)習(xí)，這是一線教師常有的困惑。角的知識(shí)在這里的學(xué)習(xí)到底體現(xiàn)了知識(shí)間怎樣的邏輯關(guān)系呢？張老師從點(diǎn)發(fā)展到畫(huà)線，在無(wú)數(shù)條線中確立兩條有代表性的線組成角，而角的大小確定兩線相交的位置關(guān)系。張老師能夠理清知識(shí)間的前后聯(lián)系，把角的概念學(xué)習(xí)置于知識(shí)的整體結(jié)構(gòu)體系中，使學(xué)生在對(duì)比變化中理清知識(shí)間的脈絡(luò)關(guān)系。弄清知識(shí)間的聯(lián)系和發(fā)展，從而有效促進(jìn)學(xué)生形成整體的知識(shí)鏈。如果學(xué)生能長(zhǎng)期學(xué)習(xí)這些有結(jié)構(gòu)的知識(shí)鏈，就會(huì)在不經(jīng)意間產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的積極認(rèn)知與內(nèi)化，并在頭腦里形成相應(yīng)的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而形成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

張老師抓住知識(shí)的本質(zhì)特征，從知識(shí)整體結(jié)構(gòu)體系把握概念，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念表象、符號(hào)、本質(zhì)特征、結(jié)構(gòu)聯(lián)系的學(xué)習(xí)過(guò)程，在觀察、對(duì)比和分析中內(nèi)化概念間相互聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的認(rèn)知能力，促進(jìn)學(xué)生在有效對(duì)比中深化概念理解。

（作者單位：江蘇省睢寧縣實(shí)驗(yàn)小學(xué) 責(zé)任編輯：王彬）