揭示概念形成過程，促進(jìn)學(xué)生理解本質(zhì)

顧志明

摘要：概念教學(xué)最關(guān)鍵的部分就是概念的形成：打開蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)概念中的深層次的思維活動(dòng)，以一些實(shí)際事例為載體，帶領(lǐng)學(xué)生分析各個(gè)實(shí)際事例、抽象出概念的共同本質(zhì)屬性、歸納得出數(shù)學(xué)概念。數(shù)學(xué)概念的形成一般需要經(jīng)過很長的時(shí)間，所以數(shù)學(xué)概念教學(xué)一定要注重引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)概念的形成過程，啟發(fā)學(xué)生抽象、概括出概念的本質(zhì)屬性，達(dá)到理解概念的本質(zhì)。

關(guān)鍵詞：概念形成；本質(zhì)屬性；算術(shù)平方根；教學(xué)

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）01-0015

概念是思維的基本單位。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程實(shí)際上是推理的過程，而推理又離不開判斷，判斷又是以概念為基礎(chǔ)的。所以，理解概念是一切數(shù)學(xué)活動(dòng)的基礎(chǔ)，概念不清就無法進(jìn)一步開展其他數(shù)學(xué)活動(dòng)。因而，我們數(shù)學(xué)教師在進(jìn)行概念教學(xué)時(shí)，以概念的形成過程為基礎(chǔ)，以學(xué)生的實(shí)際水平為起點(diǎn)，讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程，掌握概念的本質(zhì)屬性，學(xué)會(huì)概念形成的方法，為后續(xù)的學(xué)習(xí)積累概念學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，更好地運(yùn)用于實(shí)踐中。

筆者現(xiàn)以人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級下冊第6章第一節(jié)“算術(shù)平方根”為例進(jìn)行分析，請大家指導(dǎo)。

一、課例重現(xiàn)及設(shè)計(jì)意圖

1. 溫故知新

教師通過提問：同學(xué)們，第一章我們學(xué)習(xí)了什么呢？

教師問：對于生產(chǎn)生活來說，有理數(shù)是否夠用了呢？數(shù)的范圍是否需要進(jìn)一步發(fā)展呢？

設(shè)計(jì)意圖：引起學(xué)生思考，讓學(xué)生回顧有理數(shù)的定義、性質(zhì)、運(yùn)算以及應(yīng)用。學(xué)習(xí)是有用的，是一種需要。刺激學(xué)生深層次思考，接下去要學(xué)習(xí)什么新知識。

2. 問題情境

教師點(diǎn)出：通過本章的學(xué)習(xí)我們會(huì)有深刻的體會(huì)，下面我們就從最簡單的圖形——正方形開始研究。

如果已知一個(gè)正方形的邊長是1，那么它的面積是……

設(shè)計(jì)意圖：連續(xù)幾個(gè)問題就是分化出本質(zhì)屬性：從數(shù)的角度看，就是求一個(gè)正數(shù)的平方等于多少？從形的角度看，就是已知一個(gè)正方形的邊長求它的面積的問題。

教師再次提出：但在實(shí)際生活中，我們可能會(huì)碰到反過來的問題。比如，要制作一個(gè)面積為4的正方形，你會(huì)怎么做？

要做一個(gè)正方形，首先要找到它的邊長。很自然地提出問題：

如果已知面積是1，邊長是多少？面積是4呢？……和剛才的問題比較，我們現(xiàn)在的問題是求什么？

小結(jié)：從形的角度看，已知面積求邊長；從數(shù)的角度看，已知一個(gè)正數(shù)的平方，求這個(gè)正數(shù)。

設(shè)計(jì)意圖：引發(fā)學(xué)生深度思考，如何用已經(jīng)掌握的知識來解決新的問題。

這種運(yùn)算我們學(xué)過嗎？（一種新的運(yùn)算），這種新的運(yùn)算與前面的平方運(yùn)算有何聯(lián)系？

3. 形成概念

如果把這個(gè)正數(shù)的平方記為a，這個(gè)正數(shù)設(shè)為x，也就是說，已知x2=a，求x，我們把這個(gè)正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根（板書概念）比如，22=4，則2叫做4的算術(shù)平方根……

然后用新符號表示新概念。

為了簡便表示正數(shù)a的算術(shù)平方根，我們把它記作：，讀作：根號a，a叫做被開方數(shù)。特殊的，當(dāng)被開方數(shù)是0的時(shí)候，由于02=0，我們規(guī)定，0的算術(shù)平方根是0。

設(shè)計(jì)意圖：引進(jìn)符號后，教師要及時(shí)啟發(fā)學(xué)生把數(shù)學(xué)符號和它所表示的內(nèi)容對應(yīng)，讓他們能一看到符號就可以想到符號所表示的概念以及相應(yīng)內(nèi)容。數(shù)學(xué)中的推理，難點(diǎn)是如何能合理地、恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用符號，這就要建立在學(xué)生對符號所表示本質(zhì)內(nèi)容的把握上。

所以下面安排了例題是非常及時(shí)有效的。

4. 概念應(yīng)用

例1. 求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：

（1）100；（2）；（3）0.0001

教師：那么如何來求算術(shù)平方根？比如100的算術(shù)平方根是多少？為什么？

回到定義，板書解題過程。

這個(gè)過程要求學(xué)生說教師寫，規(guī)范書寫格式。

然后小結(jié)：要利用平方運(yùn)算來求算術(shù)平方根。

設(shè)計(jì)意圖：通過這個(gè)過程，使新學(xué)的概念和學(xué)生以前學(xué)習(xí)的內(nèi)容建立了聯(lián)系，進(jìn)而將新概念編入到已有知識體系，從而形成新的知識體系。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)一定要有價(jià)值，能解決實(shí)際問題，最好有大家都關(guān)心的事情。下面用本章節(jié)引言的例子來體現(xiàn)價(jià)值是非常恰當(dāng)?shù)摹?/p>

例2. 同學(xué)們，你們知道宇宙飛船離開地球進(jìn)入軌道正常運(yùn)行的速度在什么范圍內(nèi)嗎？它既要大于第一宇宙速度ν1（單位：m/s2），又要小于第二宇宙速度ν2（單位m/s2）。ν12=gR，ν22=2gR，g≈10m/s2，R是地球半徑，R≈6.4×106m。如何求ν1，ν2呢？

速度要大于ν1，小于ν2，也就是說算術(shù)平方根是有大小的。

追問：比如的和 哪個(gè)大？從數(shù)的角度看，被開方數(shù)越大，它的算術(shù)平方根也就越大。從形的角度看，面積為4的正方形明顯要比1的正方形大， 那么正方形的面積越大，則邊長越大。

設(shè)計(jì)意圖：再次利用本節(jié)課開始提到的問題，起到了首尾呼應(yīng)的作用，再次讓學(xué)生分別從數(shù)和形兩方面體會(huì)算術(shù)平方根的概念。

我們再來仔細(xì)觀察一下表格中的數(shù)據(jù)，算術(shù)平方根是連續(xù)的整數(shù)，而被開方數(shù)……1和4之間還有整數(shù)2和3，是否存在面積是2的正方形？從形的角度看，可能存在，從數(shù)的角度看，就是求2的算術(shù)平方根，從數(shù)的角度看，究竟有多大？從形的角度看，究竟有多長？有興趣的同學(xué)可以通過正方形的折疊或借助計(jì)算機(jī)等多角度進(jìn)行研究。

設(shè)計(jì)意圖：再次激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引出下節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容——無理數(shù)也是有大小的，本節(jié)課結(jié)束。

二、課例評析——如何進(jìn)行概念教學(xué)

1. 提出問題

很多教師在進(jìn)行“算術(shù)平方根”教學(xué)時(shí)，沒有從概念形成的過程和本質(zhì)出發(fā)，以前怎么學(xué)的現(xiàn)在就怎么教，不給學(xué)生深入理解的時(shí)間和表達(dá)自己見解的機(jī)會(huì)，而是一開始就直接給出概念，然后讓學(xué)生花大量的時(shí)間進(jìn)行重復(fù)性解題訓(xùn)練。這樣的概念課教學(xué)是否合理呢？學(xué)生看起來會(huì)說會(huì)寫，是否真的理解了“算術(shù)平方根”的概念呢？

2. 理論背景

認(rèn)識論原理指出，人們對事物本質(zhì)的認(rèn)識不可能一次性完成，需要經(jīng)歷由感性到理性的循環(huán)往復(fù)過程；同時(shí)，由于事物不可能孤立地存在，因此必須用聯(lián)系的觀點(diǎn)才能真正認(rèn)清事物本質(zhì)。同樣的，對于概念教學(xué)的規(guī)律，我們也應(yīng)該從過程和聯(lián)系兩個(gè)角度進(jìn)行考查。也就是要把概念放到相應(yīng)的概念體系中，考查它的來龍去脈，即不僅要知道學(xué)習(xí)這一概念需要怎樣的基礎(chǔ)，還要知道掌握它以后能干什么。

3. 概念形成過程

本章要學(xué)習(xí)算術(shù)平方根、平方根、立方根等概念。在學(xué)習(xí)本章之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了有理數(shù)的有關(guān)知識，其中有平方運(yùn)算，這是算術(shù)平方根概念形成的前提條件。平方與算術(shù)平方根是互逆的關(guān)系，是概念的本質(zhì)屬性。學(xué)習(xí)算術(shù)平方根，就可以使用到被開方數(shù)都可以表示成有理數(shù)的平方。

數(shù)學(xué)來源于生活，運(yùn)用于生活。一切的學(xué)習(xí)都是為了解決實(shí)際問題。所以，課本從實(shí)際問題開始，分析抽象各個(gè)事例的共同屬性，概括形成概念。課本中的“探究”欄目，讓學(xué)生將兩個(gè)面積為1的小正方形剪拼成一個(gè)面積為2的大正方形，再求出這個(gè)大正方形的邊長。這也是一個(gè)要用算術(shù)平方根的實(shí)際問題，接著，用有理數(shù)夾逼的方法來估計(jì)的大小，通過估計(jì)，得到的近似值，再指出 是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)，通過推廣可以知道，，等也是這類數(shù)，為后面學(xué)習(xí)無理數(shù)的概念做了鋪墊。用有理數(shù)估計(jì)無理數(shù)的大小，要讓學(xué)生細(xì)細(xì)體會(huì)的。“探究”分別從數(shù)和形兩方面揭示了算術(shù)平方根的本質(zhì)，能幫助學(xué)生更好地理解算術(shù)平方根這個(gè)概念，體會(huì)到它的應(yīng)用價(jià)值。

綜上所述，在沒有真正把握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性時(shí)就進(jìn)行概念應(yīng)用只能是一種無效的應(yīng)用，這時(shí)學(xué)生的思維活動(dòng)也會(huì)是無序的、低效的。這樣會(huì)給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來負(fù)擔(dān)，而且也會(huì)使學(xué)生的思維訓(xùn)練受到阻礙。我們要在新概念與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有關(guān)概念的聯(lián)系上花費(fèi)時(shí)間，而不僅僅是讓學(xué)生大聲齊讀概念幾遍。因?yàn)?，如果學(xué)生沒有經(jīng)歷這個(gè)概念形成的全過程，他們就無法真正理解這個(gè)概念，更談不上應(yīng)用。因此，教師在進(jìn)行概念教學(xué)時(shí)，一定立足在了解概念豐富的形成過程基礎(chǔ)上，以學(xué)生已有的知識儲備為起點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程得到新概念。只有這樣，才能促進(jìn)學(xué)生真正理解概念的本質(zhì)屬性，學(xué)會(huì)概念形成的方法，為后續(xù)的學(xué)習(xí)積累概念學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，更好地運(yùn)用于實(shí)踐中。

參考文獻(xiàn)：

[1] 曹才翰，章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)概論（3版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2014.

（作者單位：浙江省仙居縣第二中學(xué) 317300）