磁場作用下壁面導電率對導電流體流動穩(wěn)定性的影響

董 帥， 劉立帥， 葉學民

(華北電力大學 能源動力與機械工程學院，河北 保定 071003)

磁場作用下壁面導電率對導電流體流動穩(wěn)定性的影響

董 帥， 劉立帥， 葉學民

(華北電力大學 能源動力與機械工程學院，河北 保定 071003)

導電流體在外置靜態(tài)磁場作用下流動時，其流動特性會發(fā)生改變，進而使流體流動的穩(wěn)定性更難以預測。采用非正則模態(tài)穩(wěn)定性分析方法和數(shù)值模擬技術(shù)，研究了法向磁場作用下壁面導電率不同時平行平板內(nèi)導電流體的流動穩(wěn)定性。通過建立并求解擾動變量的原始和伴隨控制方程組，考察了平板導電和平板絕緣情形下初級擾動的增長特征及其空間分布形式。結(jié)果表明，平板導電(Ha≥7)和平板絕緣(Ha≥8)情形下最優(yōu)擾動增長倍數(shù)Gmax和局部雷諾數(shù)R的關(guān)系分別為Gmax≈5.34×10-4R2和Gmax≈6.12×10-4R2，相應的最優(yōu)展向波數(shù)βopt與哈特曼數(shù)Ha成正比；平板導電時的擾動增長特征及其空間分布與平板絕緣情形下基本類似；但在平板導電條件下，磁場對擾動的抑制效果更明顯。

穩(wěn)定性；法向磁場；壁面導電率；非正則模態(tài)；數(shù)值模擬

0 引 言

磁流體力學(Magnetohydrodynamics, 簡稱MHD)是一門研究磁場和流場相互作用的學科，其研究結(jié)果可被廣泛應用在材料制備過程[1]、航空飛行器的設計[2]及熱核聚變反應堆包層設計和制造[3]等方面。導電流體(液態(tài)金屬、電解質(zhì)等)在磁場作用下流動時會產(chǎn)生感生電流，該感生電流與外置磁場相互作用產(chǎn)生洛倫茲力，從而改變流體質(zhì)點的運動。在熱核聚變反應堆的包層內(nèi)，液態(tài)金屬在強磁場環(huán)境下流動，其流動穩(wěn)定性會影響流體的傳熱傳質(zhì)過程，進而影響包層的換熱效率及安全性。因此，研究磁場作用下液態(tài)金屬的流動穩(wěn)定性對熱核聚變反應堆的設計及運行都有重要的理論意義。此外，磁流體流動穩(wěn)定性的研究對晶體增長[4]、翼型減震[5]、高分子聚合物擠壓成型[6]等方面也具有十分重要的意義。

由于導電流體高溫、不透明等條件的限制，流場結(jié)構(gòu)很難在實驗過程中被直接觀測到，目前該領(lǐng)域的大部分工作，均集中于理論分析和數(shù)值模擬，從上個世紀30年代起至今，有大量學者對此進行了研究。當導電流體在外置法向靜態(tài)磁場作用下的平行平板內(nèi)流動時，在平板的近壁面處會形成厚度很薄速度梯度很大的邊界層[7，8]，即哈特曼邊界層。研究者發(fā)現(xiàn)哈特曼邊界層的厚度δ和哈特曼數(shù)Ha有關(guān)，即：δ∝Ha-1。Lundquist[9]最早發(fā)現(xiàn)哈特曼邊界層的穩(wěn)定性和局部雷諾數(shù)R有關(guān)，即：R=Re/Ha，其中，Re為主流雷諾數(shù)。Krasnov等[10]通過非正則模態(tài)穩(wěn)定性分析方法和數(shù)值模擬在哈特曼邊界層穩(wěn)定性的研究中發(fā)現(xiàn)在法向磁場作用下，湍流轉(zhuǎn)變?yōu)閷恿鞯呐R界雷諾數(shù)Rc=350，這與Moresco和Alboussiere[11]經(jīng)實驗獲得的臨界雷諾數(shù)Rc=380接近。Moreau[12]推導了磁場作用下平行平板內(nèi)的MHD方程，發(fā)現(xiàn)平板導電(σ=∞)情形下的主流速度比平板絕緣(σ=0)情形下小，且與Ha有關(guān)。Gerard-Varet[13]采用非正則模態(tài)穩(wěn)定性理論分析了單一無限大平板上的哈特曼邊界層的穩(wěn)定性；結(jié)果表明，在平板導電和平板絕緣情形下，其最優(yōu)擾動為流向漩渦，最優(yōu)擾動增長倍數(shù)Gmax和局部雷諾數(shù)R的關(guān)系分別為Gmax≈4.93×10-4R2和Gmax≈5.65×10-4R2。Krasnov等[14]對展向磁場作用下，導電流體在無限大絕緣平行平板內(nèi)的流動穩(wěn)定性開展了研究，得到了最優(yōu)初始擾動的空間分布及增長率。Vorobev等[15]采用直接數(shù)值模擬分析了平行磁場作用下自由剪切層內(nèi)導電流體的流動穩(wěn)定性問題，通過計算獲得了擾動增長率及其空間分布。Hussain等[16]通過切比雪夫配置點譜方法研究了絕緣平行平板內(nèi)導電流體在外置展向磁場作用下流動的線性穩(wěn)定性；結(jié)果表明，隨磁場強度增加，不穩(wěn)定區(qū)域變小。

近年來，國內(nèi)外學者對導電流體在矩形管道中的流動特性和穩(wěn)定性做了較多研究，即考慮了側(cè)壁的影響。Priede等[17]研究了壁面導電率σ為有限值(0 <σ< ∞)時矩形管道內(nèi)液態(tài)金屬流動的穩(wěn)定性，獲得了基本流的近似解。劉嬋等[18]研究了法向磁場作用下，液態(tài)金屬在上下壁面完全導電(σ=∞)、左右壁面導電率不同的方管中流動的線性穩(wěn)定性，得到了擾動的增長率和擾動速度在通道截面上的分布。

綜上所述，壁面導電率對導電流體的流動穩(wěn)定性有較大影響，研究此問題對進一步指導磁流體邊界層穩(wěn)定性在工業(yè)生產(chǎn)中的應用有重要意義。為此，本文探討法向磁場作用下壁面導電和絕緣時平行平板內(nèi)導電流體的流動穩(wěn)定性，分析兩種情形下擾動的增長特征及其空間分布，重點考察哈特曼數(shù)Ha、雷諾數(shù)Re的影響。

1 數(shù)值方法

1.1 物理模型

研究對象為不可壓縮導電流體在兩塊無限大平行平板內(nèi)的流動，在流場中施加一個穩(wěn)恒均勻的靜態(tài)法向磁場。平板間距為d，流體的導電率、密度和運動粘度分別為σ0、ρ和υ，外置磁場強度為B，層流流場中心線上的速度為U。平板內(nèi)的流體靠壓力來驅(qū)動，體積流量保持定值。

1.2 控制方程組

本文針對導電流體流動處于低磁雷諾數(shù)下開展的研究，即只考慮外界磁場對流場的作用，而忽略流場對磁場的影響，其相應的無量綱控制方程組和邊界條件為

(1)

式中：p為壓力；φ為電勢；u為速度矢量，u、υ、w分別為流向x、展向y、法向z上的速度；e=(0,0,1)為單位矢量。對方程組和邊界條件進行無量綱化時，取哈特曼層流流動中心線上的速度U為特征速度，平板間距的一半L為特征長度，即L=d/2；磁場強度特征值為B，相應的電勢特征值為σ0UB，壓力和時間的特征值分別為ρU2和L/U。式(1)中有兩個重要的無量綱參數(shù)：表征洛倫茲力和粘性力相對大小的哈特曼數(shù)Ha：

表征慣性力和粘性力相對大小的主流雷諾數(shù)Re：

1.3 線性分析

將控制方程組的解分解為基本流和擾動，因此，流場中的物理量可表示為

(2)

將式(2)代入式(1)，聯(lián)立基本流的控制方程組，并進行線性化處理，可得關(guān)于擾動的線性方程組：

(3)

為分析擾動的增長特征及其獲得的最大值，采用非正則模態(tài)穩(wěn)定性分析方法[19-21]。為此，將擾動項展開成如下形式：

(4)

式中：α和β分別為流向波數(shù)和展向波數(shù)。為定量描述擾動的增長特征，選取變量E(t)表示擾動動能隨時間的變化：

(5)

式中：上標“*”代表變量的共軛復數(shù)。初始擾動的衰減或增長倍數(shù)由下式表示：

(6)

式中：T為所要考察的時刻；0是初始時刻；G稱為擾動增長倍數(shù)。

對于一組確定的哈特曼數(shù)Ha和局部雷諾數(shù)R，某一初始擾動會在某一展向波數(shù)β、流向波數(shù)α、和時刻t下，達到所有擾動增長倍數(shù)G的最大值，即最優(yōu)擾動增長倍數(shù)Gmax，對應的展向波數(shù)、流向波數(shù)、和時刻分別稱為最優(yōu)展向波數(shù)βopt、最優(yōu)流向波數(shù)αopt和最優(yōu)時刻topt。在剪切流研究中發(fā)現(xiàn)，無論是平行平板流[22]，還是邊界層流動[23]，或圓管中的流動[24]，初始最優(yōu)擾動的類型均為沿著流場方向的漩渦(α=0)，且一般為關(guān)于法向?qū)ΨQ或者反對稱的漩渦。本文對擾動類型為對稱漩渦的情況進行分析，并設定流向波數(shù)α=0，只考慮展向波數(shù)β的變化。

1.4 模型驗證

本文采用高精度的切比雪夫配置點譜方法，網(wǎng)格節(jié)點布置的特點是兩邊密集、中間稀疏，從而可以更好地求解哈特曼邊界層內(nèi)的流場結(jié)構(gòu)。首先，經(jīng)計算得到Ha=0下，Re=5000時平板流中的最優(yōu)擾動增長倍數(shù)Gmax=4 897.18，對應的流向波數(shù)α=0，最優(yōu)展向波數(shù)βopt=2.044，這與Butler 和 Farrell[25]計算的結(jié)果吻合；并通過大量計算，驗證了網(wǎng)格無關(guān)性。網(wǎng)格數(shù)目N不同時的計算結(jié)果如表1所示，當Ha數(shù)增加時，需相應增加網(wǎng)格節(jié)點個數(shù)，以提高計算精度。

表1Ha=0、5、10，Re=5 000，網(wǎng)格數(shù)目N不同時最優(yōu)擾動增長倍數(shù)Gmax

Tab.1 The optimal amplification of perturbationGmaxas function of differentNatHa=0、5、10 andRe=5 000

NGmaxHa=0Ha=5Ha=10324897.73516.84133.80644897.18516.79133.771284897.17516.77133.762564897.17516.77133.75

2 結(jié)果與討論

圖1給出了壁面導電率和哈特曼數(shù)Ha不同時的速度分布，u0為層流流場中流向速度分量。可以發(fā)現(xiàn)，平板導電和平板絕緣情形下無量綱速度分布規(guī)律一致，表明壁面導電率對兩種情形下無量綱速度分布沒有影響。當哈特曼數(shù)Ha=0，即無磁場作用下，其流動為平板泊肅葉流。隨Ha提高，中心區(qū)域速度分布趨于平緩，哈特曼層中速度梯度增大，這是因為施加磁場后，流場中心區(qū)域感生電流的方向與磁場方向垂直，產(chǎn)生了阻礙流體流動的洛倫茲力。而在近壁面處，感生電流會形成閉合回路，其電流方向與中心處的相反，從而產(chǎn)生推動流體流動的洛倫茲力。

圖1 壁面導電率和哈特曼數(shù)Ha不同時的速度分布Fig.1 The velocity distribution with different wall conductivity and Hartmann numbers

圖2為局部雷諾數(shù)R=300、哈特曼數(shù)Ha=5、展向波數(shù)β和壁面導電率不同時，擾動增長倍數(shù)G隨t的演化特征。由圖可知，當β不變時，平板導電和平板絕緣情形下G隨t的演化規(guī)律基本一致，均呈單峰曲線變化；但在平板導電條件下，G的峰值小于平板絕緣情形，且向右移動，表明平板導電時，G達到峰值時的t大于平板絕緣情形。

圖2 R=300，Ha=5，展向波數(shù)β和壁面導電率不同時G隨t的演化圖Fig.2 Evolution curves of the amplification of perturbation G as function of time t with different β and wall conductivity at R=300, Ha=5

圖3為R=300、Ha=5，壁面導電率不同時，擾動增長倍數(shù)G和β隨t的演化過程。隨t持續(xù)，擾動增長倍數(shù)G逐漸增大，直到G在某一時刻t和某一展向波數(shù)β下得到最大值，即Gmax，此時對應最優(yōu)展向波數(shù)βopt和最優(yōu)時刻topt。與平板導電情形相比可以發(fā)現(xiàn)，平板絕緣時的Gmax在較小的topt和βopt下達到峰值，且Gmax的峰值高于平板導電情形，表明平板導電時，磁場對擾動的抑制效果更明顯。由圖3(b)還可看出，同一t下，平板導電時的β大于平板絕緣情形。

圖3 R=300，Ha=5，壁面導電率不同時(a)Gmax隨t的演化圖(b) β隨t的演化圖Fig.3 Evolution curves of the optimal amplification of perturbation Gmax (a) and spanwise wavenumber (b) as function of time t with different wall conductivity at R=300, Ha=5

圖4和圖5為R=500，Ha=5和15，壁面導電率不同時最優(yōu)初級擾動在初始時刻的空間分布。由圖可知，當平板導電和平板絕緣時，最優(yōu)初級擾動在初始時刻的空間分布類似，均為流向漩渦，且隨磁場強度增加，漩渦的尺寸變小，對應的展向波數(shù)增加。流向漩渦和主流相互作用，從而產(chǎn)生流向條紋結(jié)構(gòu)，進而導致主流失穩(wěn)，發(fā)生旁路轉(zhuǎn)捩。在強磁場作用下，流向漩渦受到強烈抑制作用，其尺度和作用范圍都減小，相應的擾動增長倍數(shù)減小，流場也更為穩(wěn)定。兩種情形的主要區(qū)別體現(xiàn)在哈特曼邊界層附近平板導電時的各個擾動分量略高于平板絕緣情形。由圖還可看出，兩種情形下法向和展向速度分量要比流向速度分量大一個數(shù)量級，表明初始時刻的擾動動能主要來自于法向和展向；當Ha=15時，兩種情形下的流向、展向及法向速度在中心區(qū)域都保持在零附近，表明隨Ha增加，哈特曼邊界層厚度變薄，中心區(qū)域范圍擴大，也意味著上、下兩個哈特曼邊界層的流動行為基本上互不影響。

圖4 R=500，Ha=5，壁面導電率不同時最優(yōu)初級擾動在初始時刻的空間分布Fig.4 Distribution of optimal primary perturbation at initial time with different wall conductivity at R=500, Ha=5

圖5 R=500，Ha=15，壁面導電率不同時最優(yōu)初級擾動在初始時刻的空間分布Fig.5 Distribution of optimal primary perturbation at initial time with different wall conductivity at R=500,Ha=15

圖6給出了壁面導電率不同，局部雷諾數(shù)R=300、500、700、1 000時，Gmax和Ha的關(guān)系。由圖可知，當R不同時，平板導電和平板絕緣情形下的Gmax隨Ha變化趨勢相同，即隨Ha提高Gmax增大，并在達到峰值后趨于平緩。在同一Ha下，隨R增加Gmax增大，且平板導電時的Gmax小于平板絕緣情形，表明平板導電時，磁場對擾動的抑制作用較強。

圖6 R和壁面導電率不同時Gmax和Ha的關(guān)系Fig.6 The optimal amplification of perturbation Gmax as function of Ha with different R and wall conductivity

圖7為壁面導電率和Ha不同時Gmax和R的關(guān)系。由圖可知，當Ha不同時，平板導電和平板絕緣情形下的Gmax隨R演化規(guī)律相同，即隨R提高Gmax增大。在同一R下，平板導電時的Gmax小于平板絕緣情形，由圖7(b)可看出，當Ha較大時，Ha不會對Gmax產(chǎn)生影響。依據(jù)上述結(jié)果可得，平板導電情形下當Ha≥7時，最優(yōu)擾動增長倍數(shù)Gmax和局部雷諾數(shù)R呈平方關(guān)系，即Gmax≈5.34×10-4R2；平板絕緣情形下當Ha≥8時，最優(yōu)擾動增長倍數(shù)Gmax和局部雷諾數(shù)R的關(guān)系為Gmax≈6.12×10-4R2，這兩種情形下得到的結(jié)果與Gerard-Varet[13]的結(jié)果基本吻合，表明Ha較大時，上、下兩個哈特曼邊界層基本上各自獨立，其流動穩(wěn)定性與單一無限大平板情形類似。

圖7 壁面導電率和Ha不同時Gmax和R的關(guān)系Fig.7 The optimal amplification of perturbation Gmax as function of R with different Ha and wall conductivity

圖8為壁面導電率不同時，最優(yōu)展向波數(shù)βopt隨哈特曼數(shù)Ha的變化。如圖所示，平板導電和平板絕緣情形下βopt隨Ha變化的規(guī)律基本一致，隨Ha提高βopt增大，其主要區(qū)別是平板導電時βopt大于平板絕緣情形。由擬合直線1可看出，平板導電情形下當Ha≥7時βopt和Ha成正比，即βopt=0.845Ha；平板絕緣情形下當Ha≥8時，βopt和Ha的關(guān)系為βopt=0.76Ha。

圖8 壁面導電率不同時βopt和Ha的關(guān)系Fig.8 The optimal spanwise wavenumber βopt as function of Ha with different wall conductivity

3 結(jié) 論

(1) 平板導電情形下當Ha≥7時，最優(yōu)擾動增長倍數(shù)Gmax和局部雷諾數(shù)R呈平方關(guān)系，即Gmax≈5.34×10-4R2，相應的最優(yōu)展向波數(shù)βopt與哈特曼數(shù)Ha的關(guān)系為βopt=0.845Ha；平板絕緣情形下當Ha≥8時，最優(yōu)擾動增長倍數(shù)Gmax和局部雷諾數(shù)R的關(guān)系為Gmax≈6.12×10-4R2，相應的最優(yōu)展向波數(shù)βopt與哈特曼數(shù)Ha的關(guān)系為βopt=0.76Ha。

(2)當Ha較大時，上、下兩個哈特曼邊界層基本上各自獨立，其流動穩(wěn)定性與單一無限大平板情形類似；哈特曼邊界層附近，平板導電時的各個擾動分量略高于平板絕緣情形。

(3)平板導電時的擾動增長趨勢與平板絕緣情形基本一致；但在平板導電條件下，磁場對擾動的抑制效果更明顯。

(4)平板導電和平板絕緣時，最優(yōu)初級擾動在初始時刻的空間分布類似，均為沿流向的漩渦；隨磁場強度增加，漩渦尺寸減小，對應的展向波數(shù)增加；受到磁場的限制作用，流向漩渦位于壁面處的哈特曼邊界層附近。

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Effect of Wall Conductivity on Stability of Conducting Fluid Flow Under Magnetic Field

DONG Shuai, LIU Lishuai, YE Xuemin

(School of Energy Power and Mechanical Engineering, North China Electric Power University, Baoding 071003, China)

When conducting fluid is passing through an outside static magnetic field, the characteristics of the flow will be different, what's more, the stability of the flow is more difficult to predict. Non-normal modal stability analysis and numerical simulation are used in this paper to study the stability of conducting fluid within a parallel plate with different wall conductivity in a vertical magnetic field. The growth rate and spatial distributions of primary perturbations are calculated respectively in conducting plate and insulating plate by solving iteratively the direct and adjoint governing equations of disturbance variables. The results show that the relationship between increased times of optimal disturbanceGmaxand local Reynolds numberRare different in conducting plate and insulating plate and the relationships can be expressed as follows: Gmax≈5.34×10-4Rand Gmax≈6.12×10-4R2. The corresponding optimal span-wise wave numberβoptis proportional to the Hartmann numberHain some range. The growth of disturbances and spatial distributions of primary perturbations in the conducting plates is similar to the one in the insulating plates. When the plates are conductive, the suppression effect of the magnetic field on the disturbances is more significant.

stability; vertical magnetic field; wall conductivity; non-normal modal; numerical simulation

10.3969/j.ISSN.1007-2691.2017.01.16

2016-03-26.

國家自然科學基金資助項目(11302076);河北省自然科學基金資助項目(A2014502047);中央高?；究蒲袠I(yè)務費資助項目(2014MS111).

O 361.5

A

1007-2691(2017)01-0103-08

董帥(1982-)，男，講師，主要從事磁流體力學和流動穩(wěn)定性分析的研究工作。