《律呂新書》“小分”算法解析

呂暢

摘要：南宋樂律學(xué)家蔡元定所著《律呂新書》在我國樂律學(xué)史上具有十分重要的地位。學(xué)界以往對《律呂新書》的研究集中于蔡元定十八律的結(jié)構(gòu)及其應(yīng)用，較少針對書中的律學(xué)運算原理進行專門探討。特別是對《律呂新書》律學(xué)理論最為重要的發(fā)明之一“小分”算法，目前尚無專門研究。以此為研究對象，對《律呂新書》中3種“小分”算法的原理加以解析，并進而探討其形成的內(nèi)在原因。

關(guān)鍵詞：《律呂新書》；小分；蔡元定；十八律

中圖分類號：J609.2 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1004-2172（2016）04-0041-08

南宋樂律學(xué)家蔡元定所著《律呂新書》在我國樂律學(xué)史上具有十分重要的地位。朱載堉在《律呂精義》中曾對其高度評價：“先儒惟朱熹最知樂，其次則蔡元定，所論皆有理”“世之言律者，多宗蔡元定”。然而，學(xué)界以往對《律呂新書》的研究集中于蔡元定十八律的結(jié)構(gòu)及其應(yīng)用，較少針對書中的律學(xué)運算原理進行專門探討。特別是對《律呂新書》律學(xué)理論最為重要的發(fā)明之一“小分”算法，除韓國學(xué)者南湘淑在《（律呂新書）的六十調(diào)與六變律研究》一文中略有涉及外，目前還未有對這一課題的專門研究。本文以此為研究對象，逐一解析書中3種“小分”算法的原理、應(yīng)用方式，并進而探討其形成的內(nèi)在原因。

一、六變律的“小分”算法

設(shè)黃鐘起始律律數(shù)為三的十一次方，即黃鐘大數(shù)十七萬七千一百四十七，以三分損益法生十一律，凡十一次上下相生，直至最后一次所生仲呂律數(shù)皆為整數(shù)。若自仲呂繼續(xù)三分損益，其后所得各律便不能盡除。所以《律呂新書》上卷“十二律之實第四”云：

案，十二律之實，約以寸法，則黃鐘、太簇得全寸；約以分法，則南呂、姑洗得全分；約以厘法，則應(yīng)鐘、蕤賓得全厘；約以毫法，則大呂、夷則得全毫；約以絲法，則夾鐘、無射得全絲。至仲呂之實，十三萬一千七十二以三分之不盡二算，其數(shù)不行。此律之所以止于十二也。

但是，蔡元定十八律需要在三分損益十二律后，還需繼續(xù)上下相生六律，即所謂六變律。按照自《管子·地員》和《淮南子·天文訓(xùn)》以來的生律思路，若要使變律的律數(shù)仍為整數(shù)，起始律黃鐘的律數(shù)必須繼續(xù)擴大為三的十七次方，即一億兩千九百一十四萬零一百六十三。

但是，朱熹所作《律呂新書》“序”云：“其言雖多出于近世之未講，而實無一字不本于古人已試之成法”，“序”后黃端節(jié)按語中亦云：“朱子與西山書云：‘但用古書、古語，或注疏，而已意附其下，方甚簡約而極周盡，學(xué)者一覽可得梗概。其他推說之泛濫，旁證之異同，不盡載也?！彼?，為了保留黃鐘大數(shù)為十七萬七千一百四十七的“古法”，蔡元定采用十二律之后繼續(xù)求律時，先將仲呂律數(shù)乘以三的六次方（即七百二十九）的方法。下面結(jié)合六變律律數(shù)“小分”求法加以論述。

《律呂新書》上卷“變律第五”列出了以“小分”算法求出的六變律律數(shù)、律長、半律律長的數(shù)據(jù)：黃鐘，十七萬四千七百六十二，“小分”四百八十六，

全八寸七分八厘一毫六絲二忽不用，

半四寸三分八厘五毫三絲一忽；

林鐘，十一萬六千五百零八，“小分”三-f二十四，全五寸八分二厘四毫一絲一忽三初，半二寸八分五厘六毫五絲六初；

太簇，十五萬五千三百四十四，“小分”四百三十二，全七寸八分二毫四絲四忽七初不用。半三寸九分四厘五毫六絲六忽八初；

南呂，十萬三千五百六十三，“小分”四十五，全五寸二分三厘一毫六忽一初六秒，半二寸五分六厘七絲四忽五初三秒，

姑洗，十三萬八千零八十四，“小分”六十全七寸一厘一毫二絲一初二秒不用，半三寸四分五厘一毫一絲一初一秒；

應(yīng)鐘，九萬二千零五十六，“小分”四十全四寸六分七毫四絲三忽一初四秒余一算，半二寸三分三毫六絲六忽六秒強不用。

如上文所述，黃鐘律數(shù)十七萬七千一百四十七，本為三的十一次方，所以當(dāng)三分損益十一次，得出的仲呂律數(shù)十三萬一千零七十二，不能再為三所整除。為了使仲呂之后繼續(xù)進行三分損益所生成的六律全為整數(shù)，蔡元定再繼續(xù)求律時先將仲呂律數(shù)乘以三的六次方（即七百二十九），然后再三分損益。這樣所得十二律以外六變律律數(shù)雖然均為整數(shù)，但是卻與原來黃鐘律數(shù)十七萬七千一百四十七之間的比數(shù)相差了七百二十九倍。同時，無法使用前文中所定的寸法、分法、厘法、毫法、絲法、忽法來確定各變律律長。于是，這個乘以七百二十九以后所得的律數(shù)，就是“小分”。也就是說，“小分”的含義為“七百二十九分之”，如：“黃鐘十七萬四千七百六十二，‘小分四百八十六”，即“黃鐘律數(shù)為十七萬七千一百四十七又七百二十九分之四百八十六”。

對此，南湘淑在《（律呂新書）的六十調(diào)與六變律研究》中認(rèn)為：“‘小分是表示把不足一的三分之二、九分之四、二十七分之十六、八十一分之五等的數(shù)用七百二十九等分的分子的數(shù)。即在‘變律第五中‘小分x意味著七百二十九分之x。”原理確實如此，但是具體到六變律的實際計算，仍有很多新的變化。下面將筆者整理出的具體算法，按照步驟歸納如下：

1.變黃鐘：

仲呂律數(shù)十三萬一千零七十二乘以七百二十九，得九千五百五十五萬一千四百八十八。三分益一得變黃鐘積數(shù)為一億二千七百四十萬一千九百八十四，再除以七百二十九得十七萬七千一百四十七又七百二十九分之四百八十六，即變黃鐘律數(shù)為十七萬四千七百六十二，“小分”四百八十六。

先不記“小分”，將變黃鐘律數(shù)之整數(shù)十七萬四千七百六十二約以寸法，得八寸，余一萬七千二百九十八。余數(shù)約以分法，得七分，余一千九百八十九。余數(shù)約以厘法，得八厘，余四十五。余數(shù)約以毫法，得一毫，余十八。余數(shù)約以絲法，得三絲。絲法為三，一絲為九忽，故忽法為九分之三，即七百二十九分之二百四十三，亦即“小分”二百四十三為一忽。

“小分”四百八十六為二忽。

至此，可得變黃鐘律長為八寸七分八厘一毫六絲二忽。蔡元定十八律不用。

2.清變黃鐘：

將變黃鐘律數(shù)十七萬四千七百六十二，“小分”四百八十六，除以二，得八萬七千三百八十一，“小分”二百四十三，是為清變黃鐘律數(shù)。將其整數(shù)八萬七千三百八十一，約以寸法，得四寸，余八千六百四十九。余數(shù)約以分法，得三分，余二千零八十八。余數(shù)約以厘法，得八厘，余一百四十四。余數(shù)約以毫法，得五毫，余九。余數(shù)約以絲法，為三絲。

“小分”二百四十三，為一忽。

至此，得清變黃鐘律長為四寸三分八厘五毫三絲一忽。

3.變林鐘：

變黃鐘之積數(shù)一億二千七百四十萬一千九百八十四，三分損一，得變林鐘之積數(shù)為八千四百九十三萬四千六百五十六。除以七百二十九，得以十一萬六千五百零八又七百二十九分之三百二十四，即變林鐘律數(shù)為十一萬六千五百零八，“小分”三百二十四。

先不記“小分”，將變林鐘整數(shù)十一萬六千五百零八，約以寸法，得五寸，余一萬八千零九十三。余數(shù)約以分法，得八分，余五百九十七。余數(shù)約以厘法，得二厘，余一百。余數(shù)約以毫法，得四毫，余三。余數(shù)約以絲法，得一絲。

“小分”三百二十四，約以忽法，得一忽，余八十一。余數(shù)需繼續(xù)約以初法。一忽為九初，得一初為七百二十九分之二十七，即“小分”二十七為一初。以余數(shù)約之，得三初。

至此，得變林鐘律長為五寸八分二厘四毫一絲一忽三初。

4.清變林鐘：

將變林鐘律數(shù)十一萬六千五百零八，“小分”三百二十四，除以二，得清變林鐘律數(shù)五萬八千二百五十四，“小分”一百六十二。將其整數(shù)五萬八千二百五十四，約以寸法，得二寸，余一萬八千八百八十八。余數(shù)約以分法，得八分，余一千三百九十。余數(shù)約以厘法，得五厘，余一百七十七。余數(shù)約以毫法，得六毫，余十五。余數(shù)約以絲法，得五絲。

“小分”一百六十二，不足一忽，約以初法，得六初。

至此，得清變林鐘律長為二寸八分五厘六毫五絲六初。

5.變太簇：

將變林鐘之積數(shù)八千四百九十三萬四千六百五十六，三分益一，得變太簇之積數(shù)一億一千三百二十四萬六千二百零八。除以七百二十九，得十五萬五千三百四十四又七百二十九分之四百三十二，即變太簇律數(shù)為十五萬五千三百四十四，“小分”四百三十二。

先不記“小分”，將變太簇整數(shù)十五萬五千三百四十四，約以寸法，得七寸，余一萬七千五百六十三。余數(shù)約以分法，得八分，余六十七。余數(shù)不足一厘，約以毫法，得二毫，余十三。余數(shù)約以絲法，得四絲，余一。余數(shù)約以忽法，得三忽。

“小分”四百三十二，約以忽法，得一忽，余“小分”一百八十九。余數(shù)約以初法，得七初。

至此，整數(shù)與“小分”相加，得變太簇律長為七寸八分二毫四絲四忽七初。蔡元定十八律不用。

6.清變太簇：

將變太簇律數(shù)十五萬五千三百四十四，“小分”四百三十二，除以二，得清變太簇律數(shù)為七萬七千六百七十二，“小分”二百一十六。

先不記“小分”，將清變太簇律數(shù)整數(shù)七萬七千六百七十二，約以寸法，得三寸，余一萬八千六百二十三。余數(shù)約以分法，得八分，余一千一百二十七。余數(shù)約以厘法，得四厘，余一百五十五。余數(shù)約以毫法，得五毫，余二十。余數(shù)約以絲法，得六絲，余二。余數(shù)約以忽法，得六忽。

“小分”二百一十六，不足一忽，約以初法，得八初。

至此，得清變太簇律長為三寸九分四厘五毫六絲六忽八初。

7.變南呂：

將變太簇之積數(shù)一億一千三百二十四萬六千二百零八，三分損一，得變南呂之積數(shù)七千五百四十九萬七千四百七十二。除以七百二十九，得變南呂律數(shù)為十萬三千五百六十三又七百二十九分之四十五，即變南呂律數(shù)為十萬三千五百六十三，“小分”四十五。

先不記“小分”，將變南呂律數(shù)整數(shù)十萬三千五百六十三，以寸法約之，得五寸，余五千一百四十八。余數(shù)約以分法，得二分，余七百七十四。余數(shù)約以厘法，得三厘，余四十五。余數(shù)約以毫法，得一毫，余十八。余數(shù)約以絲法，得六絲。

“小分”四十五，約以初法，得一初，余十八。一初為七百二十九分之二十七，為九秒，一秒即為七百二十九分之三，即“小分”三。故余數(shù)十八約以秒法，得六秒。

至此，得變南呂律長為五寸二分三厘一毫六忽一初六秒。

8.清變南呂：

將變南呂律數(shù)十萬三千五百六十三，“小分”四十五，除以二，不得盡除。乃將變南呂之積數(shù)七千五百四十九萬七千四百七十二，除以二，得清變南呂積數(shù)為三千七百七十四萬八千七百三十六。除以七百二十九，得五萬一千七百八十一又七百二十九分之三百八十七，即清變南呂律數(shù)為五萬一千七百八十一，“小分”三百八十七。

先不記“小分”，將清變南呂律數(shù)五萬一千七百八十一，以寸法約之，得二寸，余一萬二千四百一十五。余數(shù)以分法約之，得五分，余一千四百八十。余數(shù)約以厘法，得六厘，余二十二。余數(shù)約以絲法，得七絲，余一。余數(shù)約以忽法，得三忽。

“小分”三百八十七，約以忽法，得一忽，余一百四十四。余數(shù)約以初法，得五初，余九。余數(shù)約以秒法，得三秒。

至此，得清變南呂律長為二寸五分六厘七絲四忽五初三秒。

9.變姑冼：

將變南呂之積數(shù)七千五百四十九萬七千四百七十二，三分益一，得變姑冼積數(shù)一億零六十六萬三千二百九十六。除以七百二十九，得十三萬八千零八十四又七百二十九分之六十，即變姑冼律數(shù)為十三萬八千零八十四，“小分”六十。

先不記“小分”，將變姑冼律數(shù)整數(shù)十三萬八千零八十四，約以寸法，得七寸，余三百零三。余數(shù)不足一分，約以厘法，得一厘，余六十。余數(shù)約以毫法，得二毫，余六。余數(shù)約以絲法，得二絲。

“小分”六十，約以初法，得二初，余六。余數(shù)約以秒法，得二秒。

至此，得變姑冼律長為七寸一厘二毫二絲二初二秒。蔡元定十八律不用。

10.清變姑冼：

將變姑冼律數(shù)十三萬八千零八十四，“小分”六十，除以二，得清變姑冼律數(shù)為六萬九千零四十二，“小分”三十。

先不記“小分”，將清變姑冼律數(shù)整數(shù)六萬九千零四十二，約以寸法，得三寸，余九千九百九十三。余數(shù)約以分法，得四分，余一千二百四十五。余數(shù)約以厘法，得五厘，余三十。余數(shù)約以毫法，得一毫，余三。余數(shù)約以絲法，得一絲。

“小分”三十，約以初法，得一初，余三。約以秒法，得一秒。

至此，得清變姑冼律長為三寸四分五厘一毫一絲一初一秒。

11.變應(yīng)鐘：

將變姑冼之積數(shù)一億零六十六萬三千二百九十六，三分損一，得變應(yīng)鐘之積數(shù)六千七百一十萬八千八百六十四。除以七百二十九，得九萬二千零五十六又七百二十九分之四十，即變應(yīng)鐘律數(shù)為九萬二千零五十六，“小分”四十。

先不記“小分”，將變應(yīng)鐘律數(shù)整數(shù)九萬二千零五十六，約以寸法，得四寸，余一萬三千三百二十四。余數(shù)約以分法，得六分，余二百零二。余數(shù)不足一厘，約以毫法，得七毫，余十三。余數(shù)約以絲法，得四絲，余一。余數(shù)約以忽法，得三忽。

“小分”四十，約以初法，得一初，余十三。約以秒法，得四秒，余一。

至此，得變應(yīng)鐘律長為四寸六分七毫四絲三忽一初四秒余一算

12.清變應(yīng)鐘：

將變應(yīng)鐘律數(shù)九萬二千零五十六，“小分”四十，除以二，得清變應(yīng)鐘律數(shù)為四萬六千零二十八，“小分”二十。

先不記“小分”將清變應(yīng)鐘律數(shù)四萬六千零二十八，約以寸法，得二寸，余六千六百六十二。余數(shù)約以分法，得三分，余一百零一。余數(shù)不足一厘，約以毫法，得三毫，余二十。余數(shù)約以絲法，得六絲，余二，余數(shù)約以忽法，得六忽。

“小分”二十，約以秒法，得六秒，余二。

至此，得清變應(yīng)鐘律長為二寸三分三毫六絲六忽六秒余二算。蔡元定十八律不用。

由上述運算過程可知，這段計算過程在第八步“清變南呂”一條中，因變南呂之律數(shù)不可整除于二，需要先使用積數(shù)運算，再利用“小分”，解決無理數(shù)的整數(shù)表示問題。

二、二變聲的“小分”算法

如上文所述，三分損益十二律全為整數(shù)，黃鐘起始律律數(shù)至少需為三的十一次方，十七萬七千一百四十七。同理，以三分損益法求五聲音階，起始的宮音律數(shù)至少需為三的四次方，八十一。成書于先秦的《管子·地員》中便已運用這組數(shù)據(jù)記錄了最早的三分損益法，并為《律呂新書》上卷“律生五聲圖第六”所繼承：“宮聲八十一，商聲七十二，角聲六十四，徵聲五十四，羽聲四十八?！?/p>

同時，蔡元定還指出：“黃鐘之?dāng)?shù)九九八十一，是為五聲之本。三分損一，以下生徵。徵三分益一，以上生商。商三分損一，以下生羽。羽三分益一，以上生角。至角聲之?dāng)?shù)六十四，以三分之不盡一算，數(shù)不可行，此聲之?dāng)?shù)所以止于五也?！奔匆园耸粸槠鹗悸蓴?shù)，只能得到五聲音階整數(shù)，若繼續(xù)上下相生則“數(shù)不可行”，不能整除。在不改變這組數(shù)據(jù)的前提下，想要繼續(xù)生律，求出律書為整數(shù)的二變聲，形成七聲古音階，又要用到“小分”算法。這與六變律時遇到的問題在原理上是一致的。

這就是《律呂新書》上卷“變聲第七”的核心內(nèi)容：

變宮聲，四十二，“小分”六；

變徵聲，五十六，“小分”八。

案，五聲宮與商，商與角，徵與羽，相去各一律。至角與徵，羽與宮，相去乃二律。相去一律則音節(jié)和，相去二律則音節(jié)遠。故角徵之間，近徵收一聲，比徵少下，故謂之變徵。羽宮之間，近宮收一聲，少高于宮，故謂之變宮也。

角聲之實六十有四，以三分之不盡一算。既不可行，當(dāng)有以通之聲之變者二，故置一而兩三之，得九。以九，因角聲之實六十有四，得五百七十六。三分損益再生變徵、變宮二聲，以九歸之，以從五聲之?dāng)?shù)，存其余數(shù)以為強弱。至變徵之?dāng)?shù)五百一十二，以三分之又不盡二算，其數(shù)又不行。此變聲所以止于二也。

變宮、變徵，宮不成宮，徵不成徵，古人謂之“和”“繆”。又曰：所以濟五聲之不及也。變聲非正，故不為調(diào)也。

宮音律數(shù)八十一時，角音律數(shù)六十四三分損一，下生得變宮律數(shù)，再由變宮音律數(shù)三分益一，上生得變徵律數(shù)。算法原理與變律算法一致，但是“小分”之分母為九。

具體算法如下：

1.設(shè)宮音律數(shù)為三的四次方八十一，則三分損益四次后得出的角音已經(jīng)不能再被三所整除。為了得出律數(shù)為整數(shù)的變宮、變徵，需要將角聲律數(shù)六十四，乘以三的二次方（即九）以為“小分”，得五百七十六，為角音積數(shù)。

2.角音之積數(shù)五百七十六，三分損一，得三百八十四，為變宮音積數(shù)。變宮音積數(shù)三百八十四除九，得四十二又九分之六。至此，得變宮聲律數(shù)為四十二，“小分”六。

3.將變宮聲積數(shù)三百八十四，三分益一，得五百一十二，為變徵音積數(shù)。變徵音積數(shù)五百一十二除以九，得五十六又九分之八。至此，得變徵聲律數(shù)為五十六，“小分”八。

這是《律呂新書》中的第二種“小分”算法，“小分”的含義為“九分之”。

三、《律呂新書》?！妒酚洝ぢ蓵肥陕砷L所用的“小分”算法

在《律呂新書》下卷第二節(jié)“律長短圍徑之?dāng)?shù)第二”中，蔡元定對司馬遷《史記·律書》中十二律律長進行了勘誤，并再次用到“小分”算法。原文如下：

司馬遷《律書》：

按，《律書》此章所記分寸之法與他記不同，以難曉故，多誤。

蓋取黃鐘之律九寸，一寸九分，凡八十一分。而又以十約之為寸，故云八寸十分一。本作“七分一”者，誤也。今以相生次序，列而正之。其應(yīng)鐘以下則有“小分”，“小分”以三為法，如歷家太少余分強弱耳。其法未密也。今以二千一百八十七為全分，七百二十九為三分一，一千四百五十八為三分二，余分之多者為強，少者為弱，列于逐律之下。其誤字悉正之。

先在九進位制下設(shè)黃鐘律長為九寸，每寸即為九分，則黃鐘律長共計八十一分。再將八十一分轉(zhuǎn)為十進位制，十分一寸，則黃鐘律長為八寸十分一。按照三分損益法即可求得前五律。

蔡元定的發(fā)明創(chuàng)造，主要體現(xiàn)在后七律。他認(rèn)為司馬遷在內(nèi)的歷代律學(xué)家在算法上“太少余分強弱”，沒有作到絕對精確，“其法未密也”。因此，在以三為分母的分?jǐn)?shù)的方式表示的基礎(chǔ)上，蔡元定再對分?jǐn)?shù)之余加以“小分”。具體的算法大致與第一卷《律呂本原》中“變律第五”“變聲第七”二節(jié)的“小分”算法相同。但是，由于寸、分之后，以三為法，即以三為分母的分?jǐn)?shù)作下一級單位，故而“小分”之前已有分?jǐn)?shù)，而且在此算法下，還新出現(xiàn)了“小分”減法，因此更加復(fù)雜。下面逐一解讀。

（一）前五律具體算法如下：

1.黃鐘

黃鐘起始律設(shè)為八十一分，再設(shè)十分為一寸，則得八又十分之一寸，即八寸十分一。

2.林鐘

黃鐘律長八十一分，三分損一，得五十四分，即五又十分之四寸，亦即五寸十分四。

3.太簇

林鐘律長五十四分，三分益一，得七十二分，即七又十分之二寸，亦即七寸十分二。

4.南呂

太簇律長七十二分，三分損一，得四十八分，即四又十分之八寸，亦即四寸十分八。

5.姑洗

南呂律長四十八分，三分益一，得六十四分，即六又十分之四寸，亦即六寸十分四。

因黃鐘起始律長八十一，本為三的四次方，故而三分損益至第五次便不可整除。至求得完備十二律，尚需繼續(xù)三分損益七次，因此設(shè)“小分”為三的七次方，即二千一百八十七。將無法整除的分?jǐn)?shù)之余數(shù)乘此“小分”，即可整除。此處“小分”的含義為“二千一百八十七分之”。

因設(shè)定分、寸之下一級單位，必須是以三為分母，所以“小分”是此分?jǐn)?shù)之后的余數(shù)。當(dāng)分、寸之下，得出三分之一、或三分之二的完整分子后，若“小分”余數(shù)為正，以“強”表示，“小分”余數(shù)為負(fù)，則以“弱”表示。

（二）后七律具體算法如下：

1.應(yīng)鐘

姑洗律長六十四分，三分損一，得四十二又三分之二分，即四寸二分三分二。

2.蕤賓

應(yīng)鐘律長四十二又三分之二分，三分益一，得五十六又九分之八分。九分之八即為三分之二余九分之二。九分之二乘二千一百八十七，得四百八十六。

至此，得蕤賓律數(shù)五寸六分三分二，強四百八十六。

3.大呂

蕤賓律長五十六又九分之八分，不計“小分”，重上生，三分益一，得七十五又二十七分之二十三。余數(shù)二十七分之二十三，即為三分之二余二十七分之五。余數(shù)二十七分之五乘二千一百八十七，得“小分”四百零五。

至此，得大呂律長為七寸五分三分二，強四百零五。

4.夷則

大呂律長七十五又二十七分之二十三，三分損一，得五十又八十一分之四十六。三分之二即為八十一分之五十四，余數(shù)八十一分之四十六尚差八十一分之八，以弱表示。八十一分之八乘二千一百八十七，得二百一十六。

至此，得夷則律長為五寸零三分二，弱二百一十六。

5.夾鐘

夷則律長五十又八十一分之四十六，三分益一，得六十七又二百四十三分之一百零三。余數(shù)二百四十三分之一百零三，為三分之一，再余二百四十三分之二十二。余數(shù)二百四十三分之二十二乘以二千一百八十七，得一百九十八。

至此，得夾鐘律長為六寸七分三分一，強一百九十八。

6.無射

夾鐘律長六十七又二百四十三分之一百零三，三分損一，得四十四又七百二十九分之六百九十二。余數(shù)七百二十九分之六百九十二，為三分之二，再余七百二十九分之二百零六。余數(shù)七百二十九分之二百零六乘以二千一百八十七，得六百一十八。

至此，得無射律長為四寸四分三分二，強六百一十八。

7.仲呂

無射律長四十四又七百二十九分之六百九十二，三分益一，得五十九又二千一百八十七分之二千零三十九。余數(shù)二千一百八十七分之二千零三十九，為三分之二，再余二千一百八十七分之五百八十一。余數(shù)二千一百八十七分之五百八十一乘以二千一百八十七，得五百八十一。

至此，得仲呂律長為五寸九分三分二，強五百八十一。

這就是《律呂新書》中的第三種“小分”算法。“小分”的含義為“二千一百八十七分之”。

結(jié)語

通過上文對《律呂新書》“小分”算法的解讀可知，可以發(fā)現(xiàn)蔡元定的律學(xué)理念中的兩個顯著特點：

第一，追求理論律學(xué)運算的完美精密度?！堵蓞涡聲废戮怼昂吐暤谖濉痹疲骸奥蓪W(xué)微妙，其生數(shù)立法，正在毫厘秒忽之間，今乃以不盡之算，不容損益。遂或棄之，或增之，則其畸贏贅虧之積，亦不得為此律矣”。可見，蔡元定在運算數(shù)據(jù)精密度上有著極為嚴(yán)苛的要求。正是為了完滿的求得十八律中六變律律數(shù)，以及十二律律長的整數(shù)，蔡元定發(fā)明了“小分”算法。

第二，沿用古代律學(xué)文獻中的已有數(shù)據(jù)，并保留原有數(shù)據(jù)。上文所論的3種算法，均體現(xiàn)了這一原則：對五聲音階律數(shù)的“小分”求法，沿用《管子·地員》中的數(shù)據(jù)，對十二律律數(shù)、律長的“小分”求法沿用《淮南子·天文訓(xùn)》的數(shù)據(jù)；即便獨到的九進位制，蔡元定亦認(rèn)為是延續(xù)了《史記·律書》的傳統(tǒng)。這就是朱熹在《律呂新書》“序”中所說的：“但用古書、古語，或注疏，而已意附其下?！比寮页绻诺乃枷耄l(fā)展至宋代，達到了前所未有的極致，最終形成理學(xué)?！堵蓞涡聲纷鳛樗未韺W(xué)主要經(jīng)典之一，其律學(xué)理論亦被打上深深的崇古烙印。

筆者認(rèn)為，上述兩點不僅是“小分”算法，而且也是蔡元定十八律理論產(chǎn)生的內(nèi)在原因?！靶》帧彼惴ú粌H是洞悉蔡元定律學(xué)理論的關(guān)鍵所在，而且集中反映了其律學(xué)理念。

歷史的時針指向南宋，中國古代律學(xué)家在尋求十二律完滿旋宮的道路上，已經(jīng)經(jīng)歷了京房六十律、錢樂之三百六十律、何承天新律、王樸律等一系列探索。蔡元定對于完滿運算數(shù)據(jù)的追求，決定了他不滿足于京房和錢樂之仍然存在誤差的律學(xué)理論，盡管這一誤差已經(jīng)很小。同時，對于古代律學(xué)文獻已有數(shù)據(jù)和算法的尊重，使他恪守三分損益法，反對何承天與王樸調(diào)整生律法的嘗試。在他發(fā)明的十八律理論中，則既實現(xiàn)了對“古法”的堅守，又解決了十二律旋宮問題。

因此，不論是“十八律”還是“小分”算法，都不僅是蔡元定的律學(xué)理論建樹，也是理解南宋以后理學(xué)觀念影響下樂律學(xué)理論發(fā)展趨勢的重要史料。

責(zé)任編輯：李姝