以學(xué)生為中心的線性代數(shù)課程設(shè)計(jì)

（杭州師范大學(xué)理學(xué)院 浙江·杭州 311121）

線性代數(shù)是數(shù)學(xué)分支中應(yīng)用最為廣泛的數(shù)學(xué)學(xué)科之一，在計(jì)算機(jī)科學(xué)，統(tǒng)計(jì)學(xué)，數(shù)據(jù)分析，經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域都有重要的模型需要以線性代數(shù)為手段和工具。線性代數(shù)不僅是一種工具，而且是一種思維模式；不僅是一種知識(shí)，而且是一種素養(yǎng)。隨著大數(shù)據(jù)、人工智能等技術(shù)的發(fā)展，當(dāng)代大學(xué)生的線性代數(shù)素養(yǎng)也隨之亟待提高。

但是由于一些客觀原因，學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的效果并不好。以我們杭州師范大學(xué)為例，課程結(jié)束時(shí)，部分學(xué)生分不清行列式和矩陣；在4階矩陣求逆時(shí)一些學(xué)生會(huì)采用伴隨矩陣的方法等等。作為典型的代數(shù)課程，線性代數(shù)雖然是一個(gè)邏輯嚴(yán)密的系統(tǒng)學(xué)科，但是國(guó)內(nèi)比較流行的教材往往會(huì)過于注重體系的建立，沒有從學(xué)生的角度出發(fā)，內(nèi)容編寫枯燥乏味，體系安排不合理，使得課程學(xué)習(xí)成本較高，從而很難達(dá)到預(yù)定的教學(xué)目標(biāo)。譬如國(guó)內(nèi)比較流行的教材，絕大部分都是從行列式開始的，然后講矩陣的基本理論，進(jìn)而是線性方程組和向量組的線性關(guān)系，最后是特征值與特征向量。一上來就講行列式顯得有些抽象，有“勸退”的效果。雖然一類線性方程組的解可以用行列式簡(jiǎn)潔地表示出來（Cramer's Rule），但是這種方式和中學(xué)（初中）求解二、三元一次方程組的消元法沒有很強(qiáng)的繼承關(guān)系，學(xué)習(xí)成本很高。MIT教授Gilbert Strang的線性代數(shù)公開課廣受好評(píng)，他在其著作《Introduction to Linear Algebra》的序中談到“眾所周知，（在超級(jí)計(jì)算機(jī)上）行列式的運(yùn)算速度很慢，線性代數(shù)課程不應(yīng)該以n階矩陣的行列式的公式作為出發(fā)點(diǎn)。這些公式有用，但是不是第一位的?！庇懈みM(jìn)的作者，其線性代數(shù)教材全篇避免使用行列式的概念，如Sheldon Axler在其著作《Linear Algebra Done Right》的序中寫到“行列式是困難的，非直觀的，在很多教科書里沒有給出合適的導(dǎo)入動(dòng)機(jī)?！蓖瑫r(shí)課程往往缺少應(yīng)用實(shí)例的支撐，學(xué)生不知道線性代數(shù)有什么用處，自然提不起對(duì)于學(xué)習(xí)的興趣。學(xué)生在中學(xué)期間養(yǎng)成的應(yīng)試學(xué)習(xí)方式會(huì)使他們陷于做題，忽略對(duì)于數(shù)學(xué)基本概念的理解，缺乏思維模式的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)文化的熏陶，這很難培養(yǎng)創(chuàng)新型人才。這些在很大程度上降低了學(xué)生對(duì)于學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣，阻礙了創(chuàng)新思維的開發(fā)和實(shí)際應(yīng)用能力的培養(yǎng)。因此，我們迫切需要對(duì)于線性代數(shù)課程的教學(xué)進(jìn)行改革。

我們?cè)谌谓叹€性代數(shù)課程過程中，體會(huì)到上述問題，也在教學(xué)過程中嘗試一些調(diào)整，針對(duì)杭州師范大學(xué)本科多層次的學(xué)生實(shí)際情況，秉承以學(xué)生為中心的思想設(shè)計(jì)教案，采用一些可行的手段，從各方面、多角度進(jìn)行線性代數(shù)教學(xué)的探索與嘗試，在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性、興趣的同時(shí)，降低了學(xué)習(xí)成本，也取得了一定的教學(xué)效果。

1 充分了解學(xué)生學(xué)情

學(xué)生的學(xué)情決定了學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，掌握好學(xué)生已具備的數(shù)學(xué)、科學(xué)等素養(yǎng)，可以幫助我們做到有的放矢。為此，我們對(duì)浙江省的初高中的數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科的教材進(jìn)行了梳理，找出了與線性代數(shù)課程有聯(lián)系的內(nèi)容，并加以分析。例如，與線性方程組有關(guān)的內(nèi)容有初中七年級(jí)二元一次方程組和三元一次方程組。初中課程對(duì)于二元一次方程組求解采用的雖然也是消元法，但是不是標(biāo)準(zhǔn)化操作，操作起來也不輕便，我們需要讓學(xué)生抓住消元法的本質(zhì)，同時(shí)體會(huì)到以前操作的繁瑣性，這樣才體現(xiàn)出矩陣向量形式的簡(jiǎn)化是非常自然的。

2 合理安排符合學(xué)生水平的知識(shí)體系

根據(jù)教學(xué)大綱，結(jié)合主流的教材，會(huì)形成以下的知識(shí)體系：用線性方程組作為一個(gè)引子，以導(dǎo)出行列式的概念，然后討論矩陣的一般運(yùn)算理論，再用線性相關(guān)性討論線性方程組解的結(jié)構(gòu)，接著討論特征值、特征線和矩陣相似對(duì)角化，如果是要求較高的專業(yè)，最后會(huì)選擇性地討論二次型。這樣的體系以線性方程組為開端，用消元法推導(dǎo)行列式定義為目的，但是行列式的定義比較抽象，學(xué)習(xí)成本較高，以此作為開門內(nèi)容會(huì)給學(xué)生一個(gè)錯(cuò)覺，整門課程都會(huì)很難很抽象，進(jìn)而也容易對(duì)這整門課程產(chǎn)生恐懼與排斥，起到“勸退”效應(yīng)。我們?cè)O(shè)計(jì)的是先借由線性方程組直接發(fā)展出基于初等行變換的矩陣形式的高斯消元法。這個(gè)和學(xué)生已有的線性方程組知識(shí)是一脈相承的，同時(shí)在第一章就介紹了貫穿整個(gè)課程的基本方法——高斯消元法，可以起到一個(gè)先入為主的作用，防止學(xué)生后續(xù)通常會(huì)出現(xiàn)的用伴隨矩陣求逆矩陣的現(xiàn)象。緊接著討論矩陣的基本運(yùn)算，特別是乘法，又給出線性方程組的矩陣表示，給學(xué)生以“驀然回首”的效果。此后可以介紹線性相關(guān)性和線性方程組解的結(jié)構(gòu)，作為線性方程組的完結(jié)篇，使知識(shí)結(jié)構(gòu)富有層次性，從計(jì)算，到表示，再到結(jié)構(gòu)探討。此后我們安排加入行列式，作為對(duì)方矩可逆的特征判斷，也為特征理論提供一個(gè)工具。特征理論相對(duì)陌生，但是學(xué)生在高中數(shù)列中采用過特征方法（未了解原理），我們以此為抓手導(dǎo)入特征理論。最后聯(lián)系高中圓錐曲線導(dǎo)入二次型。這樣安排的教學(xué)體系，在執(zhí)行中也得到了學(xué)生的歡迎。

3 合理采用符合學(xué)生水平的概念體系

線性代數(shù)作為一個(gè)典型的代數(shù)課程，概念多，且往往有不少等價(jià)的概念。我們會(huì)根據(jù)學(xué)生理解難易的角度來選擇概念的形式。例如，通常行列式都是以完全展開的形式來介紹，這樣做法的好處在于方便理論體系的論證；而我們的課程面向非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，需以計(jì)算為主，這行列式的定義不方便計(jì)算。我們選擇采用按一行（或一列）展開的歸納方式來定義方陣的行列式，因?yàn)檫@樣的方法是計(jì)算行列式的最主要手段之一，非常實(shí)用且易于上手。又如，一般教材中討論矩陣的秩是在基于行列式的、用子式的方式來介紹，這也是出于理論體系的需求。我們的體系弱化行列式的作用，強(qiáng)化了高斯消元法的作用，在課程開頭便以階梯形矩陣非零行的行數(shù)作為矩陣秩的定義。采用這種方式定義秩，既有可操作性，又方便敘述方程解的存在性定理，更利于學(xué)生理解消元法的本質(zhì)。

4 增加知識(shí)的應(yīng)用案例

在我們學(xué)校，線性代數(shù)是一門公共課，課程面對(duì)的專業(yè)非常多元：物理、化學(xué)、經(jīng)濟(jì)金融、電商、計(jì)算機(jī)類等。一方面為培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，另一方面也展示線性代數(shù)的重要性，我們會(huì)在課程中加入很多應(yīng)用性的案例，例如在線性方程組的應(yīng)用中，我們會(huì)采用電路、化學(xué)方程組、物物交換定價(jià)等案例展示線性方程組的作用；又如在討論矩陣乘法時(shí)，財(cái)務(wù)表格的計(jì)算也可以采用矩陣的乘法，搜索引擎的原理也是矩陣的乘法。

5 建立課程的在線學(xué)習(xí)資源

為了幫助學(xué)生課后學(xué)習(xí)，我們也錄制了線性代數(shù)課程視頻。除了系統(tǒng)的課程內(nèi)容，根據(jù)多年的經(jīng)驗(yàn)積累，我們針對(duì)于學(xué)生的思維誤區(qū)、概念理解的難點(diǎn)、易錯(cuò)的問題單獨(dú)錄短視頻，使得課程視頻更有指向性。例如，我們就針對(duì)于矩陣的求逆錄制一個(gè)短視頻，把初等變換法和伴隨矩陣求逆法做了比較，使得學(xué)生可以體會(huì)到2階逆兩種方法都可以，對(duì)于3階及以上，初等變換法計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)潔。這也使得期末考試中不再出現(xiàn)使用伴隨矩陣求4階逆矩陣的現(xiàn)象。

6 構(gòu)建多維度的課后交流機(jī)制

課堂時(shí)間非常有限，除了精心設(shè)計(jì)我們的課堂教學(xué)，我們需要給學(xué)生課后以表達(dá)的平臺(tái)。我們會(huì)有固定時(shí)間固定地點(diǎn)的線下答疑，開通網(wǎng)上如釘釘、微信、QQ等APP的全天候的線上答疑。在交流過程中，我們不僅會(huì)解決問題，也幫助學(xué)生培養(yǎng)合理的學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)方法。特別是疫情期間，為保證課程的有序進(jìn)行，線性代數(shù)課程除了在線授課之外，學(xué)生的作業(yè)都是在線提交，教師在線批改，快速反饋，及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生的問題，及時(shí)指正，同時(shí)也及時(shí)調(diào)整課堂的不足。釘釘?shù)華PP支持進(jìn)行會(huì)議模式，直接交流學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)效率。

以上的改革策略是我們基于在杭州師范大學(xué)教學(xué)過程中的嘗試，不一定會(huì)適合于兄弟學(xué)校的具體情形，我們只是提供一種思考。當(dāng)然我們還會(huì)在后續(xù)的教學(xué)工作中不斷改進(jìn)完善，使得線性代數(shù)這門課程可以取得更好的效果。