例談三角函數(shù)模型的應(yīng)用

閆麗麗

【摘要】本文以利用三角函數(shù)模型解決日常實(shí)際問(wèn)題為主線，以函數(shù)與方程思想和數(shù)形結(jié)合思想為精髓，結(jié)合現(xiàn)代信息技術(shù)手段將函數(shù)知識(shí)整合提升，并靈活應(yīng)用在實(shí)際問(wèn)題中，有助于增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出的基本理念，倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式；提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力；發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)；體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值；注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合等.新教材配置了大量的應(yīng)用問(wèn)題，涉及生活實(shí)際的方方面面.但是學(xué)生對(duì)某些內(nèi)容的實(shí)際背景很陌生，再加上原有認(rèn)知水平的局限和數(shù)據(jù)處理的復(fù)雜性，很難從實(shí)際問(wèn)題中抽象、概括出數(shù)學(xué)模型并解決問(wèn)題.這樣，應(yīng)用問(wèn)題自然成為學(xué)生學(xué)習(xí)中的一大難題，又由于高考中此類應(yīng)用問(wèn)題考查較少，也成為課堂教學(xué)中很容易被忽略的部分.隨著時(shí)代的發(fā)展，信息技術(shù)已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)中，使用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)和網(wǎng)絡(luò)，可以幫助學(xué)生收集有關(guān)信息、處理復(fù)雜數(shù)據(jù)、描繪準(zhǔn)確圖像、模擬數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和探索數(shù)學(xué)結(jié)論，進(jìn)而解決實(shí)際問(wèn)題，完整地體會(huì)數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)思想和方法.

“數(shù)學(xué)探究”、“數(shù)學(xué)建?！钡葘W(xué)習(xí)活動(dòng)，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，養(yǎng)成獨(dú)立思考、積極探索的習(xí)慣.學(xué)生在運(yùn)用函數(shù)模型解決問(wèn)題時(shí)，不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、反思與建構(gòu)等思維過(guò)程，這些過(guò)程是數(shù)學(xué)思維能力的具體體現(xiàn)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一.

三角函數(shù)模型是高中階段的重要函數(shù)模型，周期性是其最顯著的特征，“周而復(fù)始”現(xiàn)象在自然界和日常生活中普遍存在.所以，三角函數(shù)模型的研究?jī)r(jià)值和應(yīng)用價(jià)值顯而易見.本文圍繞高中新課程必修4第一章§1.6三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用的例4的解決，探討函數(shù)模型及應(yīng)用的更有效的教學(xué)過(guò)程，研究解決數(shù)學(xué)建模問(wèn)題的一般方法.

例 貨船進(jìn)出港時(shí)間問(wèn)題：海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時(shí)返回海洋.下面是某港口在某季節(jié)每天的時(shí)間與水深關(guān)系表：

（1）選用一個(gè)函數(shù)來(lái)近似描述這個(gè)港口的水深與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，給出整點(diǎn)時(shí)的水深的近似數(shù)值（精確到0.1）.

（2）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規(guī)定至少要有1.5米的安全間隙（船底與洋底的距離），該船何時(shí)能進(jìn)入港口？在港口能待多久？

（3）若某船的吃水深度為4米，安全間隙為1.5米，該船在2：00開始卸貨，吃水深度以每小時(shí)0.3米的速度減少，那么該船在什么時(shí)間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？

活動(dòng)一：引導(dǎo)學(xué)生觀察上述問(wèn)題表格中的數(shù)據(jù)，會(huì)發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？比如重復(fù)出現(xiàn)的幾個(gè)數(shù)據(jù).并進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生做出散點(diǎn)圖.

解 （1）以時(shí)間為橫坐標(biāo)，水深為縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中畫出散點(diǎn)圖.

教法與學(xué)法思考

本例緊緊圍繞潮汐漲落的規(guī)律性變化問(wèn)題，循序漸進(jìn)地介紹三角函數(shù)模型的應(yīng)用，體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的價(jià)值和作用，及數(shù)學(xué)與日常生活和其他學(xué)科的聯(lián)系.在教學(xué)中，教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生解決有一定綜合性和思考價(jià)值的問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識(shí)解決問(wèn)題的能力，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的分析問(wèn)題、數(shù)形結(jié)合、抽象概括、數(shù)學(xué)建模等能力，體會(huì)如何從復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題抽象概括出理想化的數(shù)學(xué)模型，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題后，添加現(xiàn)實(shí)條件還原為可實(shí)際操作的實(shí)際問(wèn)題.由于實(shí)際問(wèn)題常常涉及一些復(fù)雜數(shù)據(jù)，因此要鼓勵(lì)學(xué)生利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器處理數(shù)據(jù)，包括建立有關(guān)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖進(jìn)行函數(shù)擬合等.在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生先自己動(dòng)手探索，再進(jìn)行師生、生生交流的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生思考問(wèn)題，探索方法，總結(jié)規(guī)律，從而培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦的能力，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體.