高中物理常見的極值問題解法探究

趙子怡

摘 要：高中物理里面有一種經(jīng)常出現(xiàn)的題型就是求極值問題，它可以準(zhǔn)確的考察學(xué)生對物理知識理解使用的情況，培養(yǎng)學(xué)生使用數(shù)學(xué)知識遷移力，判斷和應(yīng)用的能力，同時(shí)它也是很多年高考物理重要的題型，分值很大。對大量題的解法做出具體的分析，可以發(fā)現(xiàn)求極值主要的解法有數(shù)學(xué)法、物理法、實(shí)驗(yàn)法。筆者通過對這三種主要的解法進(jìn)行說明。

關(guān)鍵詞：中學(xué)物理 物理?xiàng)l件 函數(shù)方程 物理極值 數(shù)學(xué)變換

中圖分類號：G633 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2016）10（c）-0160-02

1 數(shù)學(xué)法

數(shù)學(xué)法，顧名思義，就是使用數(shù)學(xué)里面的知識對物理里實(shí)際的問題進(jìn)行解決的方法。它也是物理里面求極值最為經(jīng)常使用的一種有效的方法。主要過程是：首先審題，認(rèn)真的閱讀和思考，明白題目里面說明物理現(xiàn)象與發(fā)生物理的過程是怎樣的。其次是要繪制物理的狀態(tài)圖，最大限度把題意用圖示的方法表現(xiàn)出來，同時(shí)還要標(biāo)明這些物理量的從屬關(guān)系。再次是要建立函數(shù)的基本表達(dá)式。最后是對函數(shù)的表達(dá)式做好分析和研究，再把需要求的物理量極值求解出來。數(shù)學(xué)法具體可以分為以下幾點(diǎn)。

1.1 一次函數(shù)法

當(dāng)求極值物理量在所有的物理過程中只是隨著一個(gè)物理量化而改變，同時(shí)成一次函數(shù)關(guān)系：y=ax+b，則所求的物理量極值就是這個(gè)物理過程中始末兩個(gè)狀態(tài)時(shí)這個(gè)物理量的值。

（1）當(dāng)a>0，始狀態(tài)為最小值，末狀態(tài)為最大值。

（2）當(dāng)a<0，始狀態(tài)為最大值，末狀態(tài)為最小值。

例1：一輛汽車從離車站2 km的地方開始從公路作v =10 km/h的勻速運(yùn)動(dòng)。求汽車從開始到3 h過程離車站最大的距離與最小的距離。

解：據(jù)S=Vot+So，當(dāng)t=0時(shí)，s存在最小值，Smin=So=2 km。

當(dāng)t=3 h，s有最大值。Smin=l0×3+2=32 km。

答：這個(gè)汽車在0～3 h內(nèi)距離車站最大的距離為32 km，最小的距離是2 km。

1.2 二次函數(shù)法

當(dāng)需求的極值物理量在全部過程里面只是隨一個(gè)基本的物理量變化而變化，并且成二次函數(shù)的關(guān)系也就是y=ax2+bx+c，就可以使用配方法把上面的y=ax2+bx+c變化為y=a（x+m）2+k。

（1）當(dāng)a>0，不論x取何值，a（x+m）2≥0。

則x=-m時(shí)，y有極小值，即所求的物理量有最小值。Ymin=k=（4ac-b2）/4a。

（2）當(dāng)a<0，不論x取何值a（x+m）3于≤0。

則x=-m時(shí)，y有極大值，所求物理量就有最大值。Ymin=k=（4ac一b2）/ 4a。

例：一汽車在十字路口等綠燈，當(dāng)綠燈亮的時(shí)候這輛汽車以a=3 m/s2的加速度開始加速行駛，正在此時(shí)一自行車以6 m/s的速度勻速從后面超過了汽車，求汽車從路口開動(dòng)后，在追上自行車前的過程中什么時(shí)候兩車的距離最大以及最大的距離？

解：設(shè)兩車的行駛時(shí)間是t秒，則t秒內(nèi)自行車行駛距離是S1=V0t，汽車行駛距是S2=at2，所以t秒內(nèi)兩車距離是△s=S1-S2

S=6t-×3t2

=-（t+m）2+k

=-（t-2）2+6當(dāng)t=2 s時(shí)，s有最大值s=6 m

答：當(dāng)t=2 s時(shí)兩車距離是最大的，最大距離是Smax=6 m

1.3 一元一次方程的極值問題

一元二次方程的相關(guān)知識ax+bc+c=0（a≠0）是一元二次方程，它的兩個(gè)根是x1=，x2= 。

當(dāng)判別⊿=b2-4ac>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2。當(dāng)⊿=b2-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1=x2=-，當(dāng)⊿=b2-4ac<0，無實(shí)數(shù)根。

1.4 一元二次方程解決物理極值

如圖1中AB是均勻直桿，每米重為W。A端插在墻內(nèi)在距A長d處掛了一個(gè)重物M，重是P，現(xiàn)在B處向上抬平直桿。問AB長為多少時(shí)，力F最?。?/p>

這個(gè)大部分人會(huì)覺得，F(xiàn)力臂很大，就是AB桿越長就特別省力。而實(shí)際上，直桿AB越長桿自身就越重，人們需要耗費(fèi)一些能量來支持桿自身重量，這樣直桿AB越長卻不一定會(huì)省力，桿AB究竟多長才可以達(dá)到省力呢？下面進(jìn)行方程的分析。

1.5 三角函數(shù)極值問題

正弦余弦函數(shù)知識。

y=和y=分別為正弦與余弦函數(shù)，它們值域都是y←[-1，1]。對y=函數(shù)來說，當(dāng)x=2kπ+，K=0， 1， 2， 3，……時(shí)，y有極大值是1。

倍角公式sin2x =2sinx0 cosx。

使用三角函數(shù)解決物理極值案例，以初速度V把一物體向上拋出，如果不計(jì)空氣阻力，為了讓物體拋出水平距離最遠(yuǎn)，拋物體的速度方向與水平夾角是多大？

分析：這個(gè)問題是在不計(jì)空氣阻力下做的斜拋運(yùn)動(dòng)，大家可以把這個(gè)運(yùn)動(dòng)分為兩個(gè)部分：在水平方向上看做勻速直線的運(yùn)動(dòng)。而在豎直方向上看成是豎直上拋，這個(gè)曲線運(yùn)動(dòng)的通過這樣的分解成為兩個(gè)部份直線運(yùn)動(dòng)。

2 物理法

（1）當(dāng)a=0時(shí)，速度有最大值。（2）約束力（像接觸面彈力，繩的張力）為0時(shí)，一些物理量達(dá)到了極值。（3）當(dāng)速度為0時(shí)，位移是最大值。（4）相對速度為0時(shí)，一些物理量達(dá)到極值。（5）當(dāng)感應(yīng)電動(dòng)勢e=0時(shí)，利用回路的磁通量絕對值達(dá)到極值。（6）在振蕩電路中，當(dāng)i=0時(shí)，電量有極值；當(dāng)q=0時(shí)，電流有極值。

例：己知：如圖2所示，LC振蕩電路中電容器極板1上的電量隨時(shí)間變化的曲線如圖2所示，則：

A.a，c兩時(shí)刻電路電流最大，方向相同。

B.a，c兩時(shí)刻電路電流最大，方向相反。

C.b，d兩時(shí)刻電路電流最大，方向相同。

D.b，d兩時(shí)刻電路電流最大，方向相反。

分析：在振蕩電路里面，當(dāng)q=0時(shí)，電流最大，因此A，B不正確，同時(shí)b，d兩時(shí)刻的放電過程是相反的，b為正向放電剛結(jié)束，d為反向放電剛結(jié)束，所以電流的方向正好是相反的，因此選項(xiàng)D是正確的。

3 實(shí)驗(yàn)法

物理學(xué)和其他的學(xué)科相比，是實(shí)踐性特備強(qiáng)的課程，物理學(xué)很多的定理和規(guī)則全是利用實(shí)驗(yàn)研究來得出的。物理學(xué)里面的極值問題也能夠通過實(shí)驗(yàn)的步驟進(jìn)行的，筆者在上面舉出的各個(gè)例題都是可以利用實(shí)驗(yàn)法進(jìn)行確定。但是最可貴的是有一部分的物理量變化規(guī)律由于物理?xiàng)l件限制，大家就能夠用實(shí)驗(yàn)法就可以進(jìn)行確定了。

4 結(jié)語

物理學(xué)里面的求極值方法屬于知識性很強(qiáng)，涉及面非常大的。筆者的這個(gè)問題只是總結(jié)了一些常見求解的方法，不是特別的全面。廣大的學(xué)生在高中物理求極值這個(gè)問題上，除了文章中說明的這些比較常見的解題方法之外，也可以使用解析幾何的相關(guān)知識和數(shù)學(xué)的歸納分式法進(jìn)行相關(guān)的求極值。它不但能夠解決力學(xué)的相關(guān)問題，還能解決熱學(xué)、電磁學(xué)、光學(xué)等這些極值的問題。

參考文獻(xiàn)

[1] 徐建.福州物理學(xué)會(huì)新編高中數(shù)理化復(fù)習(xí)參考叢書[M].天津：天津科學(xué)技術(shù)出版社，2016.