基于高斯偽譜法的系繩式InSAR系統(tǒng)展開滑?？刂?/h1>
2017-03-14 05:32:55張志剛張錦繡
哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào) 2017年2期
張志剛，張錦繡
(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 衛(wèi)星技術(shù)研究所，黑龍江 哈爾濱，150080)
基于高斯偽譜法的系繩式InSAR系統(tǒng)展開滑模控制
張志剛，張錦繡
(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 衛(wèi)星技術(shù)研究所，黑龍江 哈爾濱，150080)
針對(duì)系繩式InSAR系統(tǒng)的快速展開問題，設(shè)計(jì)一種系繩張力自適應(yīng)滑模控制器以跟蹤系統(tǒng)展開最優(yōu)路徑。首先使用系統(tǒng)三維動(dòng)力學(xué)模型，然后面向任務(wù)確定系統(tǒng)性能指標(biāo)和約束，基于高斯偽譜法規(guī)劃出系統(tǒng)展開的最優(yōu)路徑，并且提出一種系繩張力自適應(yīng)滑?？刂破髟谙到y(tǒng)存在模型誤差和外界擾動(dòng)情況下跟蹤系統(tǒng)最優(yōu)展開速度，并通過Lyapunov函數(shù)證明閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。仿真結(jié)果表明:在該控制器作用下系統(tǒng)能夠克服模型誤差和外界擾動(dòng)跟蹤系統(tǒng)最優(yōu)展開速度，且在最大估計(jì)初始偏差情況下展開到目標(biāo)位置附近，穩(wěn)態(tài)誤差約為1°。
系繩式InSAR系統(tǒng)；最優(yōu)展開；高斯偽譜法；自適應(yīng)滑?？刂疲幌道K張力控制
與以TanDEM-X系統(tǒng)[1]為代表的分布式SAR衛(wèi)星系統(tǒng)干涉基線周期性變化相比，Moccia[2]提出的繩系衛(wèi)星SAR系統(tǒng)所提供的干涉基線在整個(gè)軌道周期內(nèi)相對(duì)穩(wěn)定，采用單基線即可實(shí)現(xiàn)對(duì)所有星下點(diǎn)緯度的覆蓋。同時(shí)由于采用繩系形式，其在軌展開時(shí)間也由前者以天為量級(jí)大幅縮短到以小時(shí)為量級(jí)，大大提高了系統(tǒng)的在軌部署能力，為繩系衛(wèi)星SAR系統(tǒng)的應(yīng)急應(yīng)用提供了可能。
在系繩SAR任務(wù)中，系統(tǒng)快速且穩(wěn)定的成功展開是完成任務(wù)的前提。盡管針對(duì)空間繩系SAR具體任務(wù)的研究相對(duì)較少，但已有諸多學(xué)者針對(duì)普適性繩系衛(wèi)星系統(tǒng)，尤其是是其展開控制律[3-6]開展了大量研究。Fujii等[7]使用共軛梯度法規(guī)劃出繩系衛(wèi)星系統(tǒng)展開和回收的最優(yōu)軌跡，并基于Lyapunov函數(shù)提出一種反饋控制律來跟蹤最優(yōu)路徑。Jin等[8]使用擬線性化和截?cái)郈hebyshev級(jí)數(shù)來規(guī)劃3自由度繩系衛(wèi)星展開最優(yōu)路徑。文浩等[9]基于二階微分包含將繩系衛(wèi)星系統(tǒng)非線性時(shí)間最優(yōu)控制問題離散為大規(guī)模動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題。Williams等[10-11]對(duì)比了在不同性能指標(biāo)下繩系衛(wèi)星系統(tǒng)展開最優(yōu)路徑。然而由于繩系系統(tǒng)建模時(shí)存在不確定性，以及初始狀態(tài)偏差和外界擾動(dòng)均會(huì)影響控制效率，因此需要對(duì)系統(tǒng)展開進(jìn)行閉環(huán)控制。Williams等[12]將系統(tǒng)在最優(yōu)軌跡附近線性化，并使用滾動(dòng)時(shí)域法求解線性反饋增益，以使系統(tǒng)能夠克服初始偏差和外界擾動(dòng)跟蹤最優(yōu)軌跡，然而該方法計(jì)算量較大[13]。
本文針對(duì)主星與子星質(zhì)量近似接近的繩系衛(wèi)星系統(tǒng)，使用了系統(tǒng)三維動(dòng)力學(xué)模型，然后將系統(tǒng)在Legendre-Gauss-Lobatto配點(diǎn)處離散，結(jié)合系統(tǒng)任務(wù)設(shè)計(jì)優(yōu)化性能指標(biāo)和約束，將系繩式InSAR系統(tǒng)的快速展開問題轉(zhuǎn)換為非線性規(guī)劃問題。在此基礎(chǔ)上提出一種系繩張力自適應(yīng)滑?？刂破饔脕淼窒Ｐ驼`差及外擾擾動(dòng)，并使用Lyapunov理論證明其穩(wěn)定性。
1 系繩式InSAR動(dòng)力學(xué)模型
通過系繩連接的繩系衛(wèi)星系統(tǒng)(見圖1)在圓軌道或小偏心率橢圓軌道運(yùn)行時(shí)會(huì)在重力梯度力矩作用下穩(wěn)定在鉛垂方向或其附近[14]，利用該特性可以將繩系衛(wèi)星系統(tǒng)作為InSAR系統(tǒng)的搭載平臺(tái)來執(zhí)行對(duì)地觀測(cè)任務(wù)。系統(tǒng)的姿態(tài)可以用系繩長度和系繩相對(duì)于系統(tǒng)質(zhì)心軌道坐標(biāo)系的方位來描述。
由于系繩質(zhì)量遠(yuǎn)小于衛(wèi)星質(zhì)量，系統(tǒng)質(zhì)心可近似認(rèn)為在衛(wèi)星質(zhì)心連線上。另外本文中主星和子星面積比相差不大，故作用在系統(tǒng)上的大氣阻力力矩較小，可作為擾動(dòng)處理。同時(shí)為了簡化系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，在建模過程中做出如下假設(shè)：將衛(wèi)星視為質(zhì)點(diǎn)，認(rèn)為衛(wèi)星姿態(tài)可控，即不會(huì)因?yàn)樾l(wèi)星姿態(tài)失穩(wěn)滾轉(zhuǎn)而導(dǎo)致展開失??；系統(tǒng)質(zhì)心軌道為Keplerian軌道；忽略系繩的扭轉(zhuǎn)和彎曲，則在系統(tǒng)質(zhì)心軌道坐標(biāo)系中，其動(dòng)力學(xué)方程可以通過Newton-Eular法推導(dǎo)表示為[12]：
(1)
(2)
(3)
系統(tǒng)質(zhì)心軌道方程為
(4)
式中:μ為地球引力常數(shù)，a為系統(tǒng)質(zhì)心軌道半長軸。
圖1 繩系衛(wèi)星系統(tǒng)圖Fig.1 The tethered satellite system
2 繩系衛(wèi)星系統(tǒng)展開最優(yōu)軌跡規(guī)劃
近年來，由于高效的計(jì)算效率和對(duì)初值的不敏感，偽譜法逐漸成為最優(yōu)控制問題求解方法的研究熱點(diǎn)[15-18]。而Gauss偽譜法又在近似精度，估計(jì)精度及收斂速度上存在優(yōu)勢(shì)，因此選擇Gauss偽譜法來規(guī)劃系統(tǒng)展開的最優(yōu)路徑。
1.1 基于Gauss偽譜法的模型離散
高斯偽譜法將系統(tǒng)的狀態(tài)變量和控制變量均進(jìn)行離散，并通過正交插值多項(xiàng)式對(duì)其進(jìn)行近似。然后通過在配點(diǎn)處將系統(tǒng)狀態(tài)變量導(dǎo)數(shù)與動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行比較，從而將動(dòng)力學(xué)方程轉(zhuǎn)化為約束。將時(shí)間區(qū)間[t0,tf]轉(zhuǎn)換到[-1,1]，然后將系統(tǒng)狀態(tài)變量和控制變量離散并通過Lagrange插值多項(xiàng)式近似，插值點(diǎn)為
其中LG點(diǎn)不包括初始點(diǎn)和終止點(diǎn)。
系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)微分方程寫為
(5)
使用高斯偽譜法可以將其在LG點(diǎn)處轉(zhuǎn)換為動(dòng)力學(xué)約束：
(6)
式中：X(τ)，U(τ)為通過Lagrange插值得到的近似值，具體過程可以參考文獻(xiàn)[16]。
1.2 面向任務(wù)的性能指標(biāo)與約束
以獲取地面DEM數(shù)據(jù)為目標(biāo)，工作時(shí)的系統(tǒng)基線在cxy平面內(nèi)，結(jié)合繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)構(gòu)型是沿當(dāng)?shù)劂U錘方向分布的，因此希望系統(tǒng)能夠展開并穩(wěn)定在鉛錘方向附近。故系統(tǒng)展開終值應(yīng)滿足：
(7)
以系繩式InSAR系統(tǒng)快速展開到終端位置為目標(biāo)，同時(shí)使系統(tǒng)控制變量變化平滑，以避免展開過程中產(chǎn)生震蕩。根據(jù)上述目標(biāo)選擇優(yōu)化性能指標(biāo)：
(8)
另外系統(tǒng)以系繩張力作為控制變量，因系繩只能產(chǎn)生拉力，故控制變量應(yīng)始終大于零，又其存在最大值限制。因此控制變量應(yīng)滿足以下約束：
(9)
最終，結(jié)合任務(wù)需求系繩式InSAR系統(tǒng)展開最優(yōu)的性能指標(biāo)和約束如下：
(10)
本節(jié)使用Gauss偽譜法將系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程離散為約束方程(6)，再選擇合適的性能指標(biāo)和終端及路徑約束(10)，即將系統(tǒng)展開最優(yōu)軌跡規(guī)劃為題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題。而對(duì)于非線性規(guī)劃問題已有多種成熟的優(yōu)化算法工具包，本文使用序列二次規(guī)劃法程序包SNOPT來獲取系統(tǒng)展開的最優(yōu)軌跡。
3 系繩張力自適應(yīng)滑?？刂破?/h2>
不考慮模型誤差和外界擾動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)展開的偏差主要為插值近似偏差。然而在實(shí)際運(yùn)行過程中，微小外界擾動(dòng)和初始偏差總是不可避免的，采用開環(huán)控制將使系統(tǒng)展過程偏離最優(yōu)軌跡，導(dǎo)致展開結(jié)束后系統(tǒng)存在較大的穩(wěn)態(tài)誤差，情況嚴(yán)重時(shí)甚至導(dǎo)致展開失敗。因此，設(shè)計(jì)一種反饋控制器補(bǔ)償系統(tǒng)誤差和外界擾動(dòng)對(duì)于系統(tǒng)展開是必要的。
大量關(guān)于繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的研究表明其面內(nèi)運(yùn)動(dòng)與面外運(yùn)動(dòng)耦合較弱，通過改變系繩拉力無法有效控制系統(tǒng)的面外擺動(dòng)[19]。在不考慮外界擾動(dòng)時(shí)，如若系統(tǒng)初始面外擺角和面外擺動(dòng)角速度為零時(shí)，則系統(tǒng)將會(huì)一直在軌道平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。在規(guī)劃系統(tǒng)展開最優(yōu)路徑時(shí)，設(shè)定初始面外擺角和面外擺動(dòng)角速度均為零，那么得到的系統(tǒng)展開最優(yōu)軌跡也將一直保持在軌道平面內(nèi)，因此在設(shè)計(jì)系統(tǒng)展開反饋控制器時(shí)為了方便，僅考慮系統(tǒng)的面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，此時(shí)φ=φ′=0。另外本文中系繩質(zhì)量遠(yuǎn)小于衛(wèi)星質(zhì)量，在設(shè)計(jì)系統(tǒng)展開反饋控制器時(shí)可以忽略系繩質(zhì)量，此時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程方程(1)～(3)可以簡化為
(11)
(12)
從系統(tǒng)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的面內(nèi)運(yùn)動(dòng)受Λ′/Λ控制，若系統(tǒng)能夠跟蹤展開繩長及其展開速度，則存在較小面內(nèi)初始擺角偏差時(shí)，系統(tǒng)能夠展開到目標(biāo)位置附近。因此希望設(shè)計(jì)一種系繩張力控制器使系統(tǒng)能夠跟蹤其最優(yōu)展開速度。
系統(tǒng)展開執(zhí)行機(jī)構(gòu)輸出與控制指令之間存在誤差，而且為了方便推導(dǎo)，對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程(1)～(3)進(jìn)行了簡化，為了獲取更加準(zhǔn)確的結(jié)果，此處將上述簡化和誤差以系統(tǒng)模型誤差的方式添加到系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程(12)中：
(13)
式中：ΔM為系統(tǒng)建模時(shí)由于簡化處理造成的誤差，d為外界擾動(dòng)。
實(shí)際上系統(tǒng)模型誤差和外界擾動(dòng)均有界，因此可以假設(shè)：
(14)
式中b為一未知非負(fù)常數(shù)。
(15)
定義滑模面：
(16)
式中c為正值常數(shù)。其相對(duì)真近角的一階微分可以表示為
(17)
定理1：系統(tǒng)在系繩張力展開控制律：
(18)
式中:λ、σ>0，控制下能夠跟蹤展開速度的最優(yōu)軌跡。
證明：
設(shè)計(jì)Lyapunov函數(shù):
(19)
則其相對(duì)真近角的一階微分為
(20)
將式(17)代入式(20)得：
(21)
將式(18)代入可得：
(22)
因此s∈L,∈L，進(jìn)而得到∈L，進(jìn)一步得到控制力u∈L，從而s′∈L。使用Barbalat引理可得，進(jìn)而得到，即系統(tǒng)展開速度能夠跟蹤最優(yōu)軌跡。
(23)
(24)
式中ζ為滑模層厚度。
在控制器(22)作用下的閉環(huán)系統(tǒng)能夠跟蹤系統(tǒng)展開最優(yōu)路徑，其穩(wěn)定性證明與控制器(18)類似，此處不再累述。相比于以前繩系系統(tǒng)展開控制中所用的反饋控制，控制器(22)能夠克服系統(tǒng)建模中的未知有界誤差和外界擾動(dòng)，且相比于文獻(xiàn)[12]中的控制方法，減少了控制過程中的計(jì)算量，以便于實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)跟蹤控制。
4 數(shù)值仿真分析
根據(jù)任務(wù)需求選定系統(tǒng)參數(shù)：主星質(zhì)量300kg，子星質(zhì)量200kg，軌道半長軸6 645km，軌道偏心率0.002 7，系繩長度1km，系繩線密度0.000 185kg/m，系繩彈性模量EA為6 000N。假設(shè)初始時(shí)刻系統(tǒng)沿鉛錘方向分離，展開機(jī)構(gòu)開始工作時(shí)系繩長度為10m，展開速度為2m/s。則無量綱化后系統(tǒng)的初始狀態(tài)為
(25)
假設(shè)系統(tǒng)展開執(zhí)行機(jī)構(gòu)滿足下面要求：
0≤T≤5N
由于閉環(huán)控制的目標(biāo)是跟蹤系統(tǒng)展開速度最優(yōu)軌跡，為了給控制留有裕度，避免系繩回收，設(shè)定展開時(shí)最小速度為0.05m/s。則系統(tǒng)的展開終端狀態(tài)變?yōu)?/p>
影響系統(tǒng)展開的誤差主要是系統(tǒng)初始狀態(tài)偏差和外界攝動(dòng)影響。其中外界攝動(dòng)影響在低軌以大氣阻力為主，結(jié)合文獻(xiàn)[14]對(duì)系統(tǒng)受到的大氣阻力進(jìn)行估計(jì)，在250km軌道高度處1km長的系繩的大氣阻力約為2mN。假定系統(tǒng)使用推力器進(jìn)行分離，推力器方向偏差最大為5%，且不考慮其對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)的影響，則系統(tǒng)的初始面內(nèi)擺角最大約為3°。
為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的控制器效果，分別對(duì)系統(tǒng)在開環(huán)控制和自適應(yīng)滑?？刂破髯饔孟碌恼归_過程進(jìn)行仿真。系統(tǒng)所受外界攝動(dòng)設(shè)為fd=2 m·N，模型誤差設(shè)為ΔM=0.01sinν1/rad2，其中對(duì)外界攝動(dòng)力做無量綱化處理：
閉環(huán)控制仿真參數(shù)選擇為
仿真時(shí)系統(tǒng)的初始面內(nèi)擺角偏差變化范圍為±3°，每次變化0.5°。為了節(jié)省空間，僅以最大面內(nèi)偏差Δθ0=3°為例畫圖，其他情況則見表2和表3。
表2 不同初始偏差下的系統(tǒng)開環(huán)控制展開及穩(wěn)態(tài)誤差
表3 不同初始偏差下的系統(tǒng)閉環(huán)控制展開及穩(wěn)態(tài)誤差
由仿真圖2～5可知，當(dāng)系統(tǒng)面內(nèi)擺角初始偏差為3度時(shí)，系統(tǒng)在開環(huán)控制下和閉環(huán)控制均能展開到目標(biāo)長度，且系統(tǒng)面外運(yùn)動(dòng)不受面內(nèi)運(yùn)動(dòng)影響。由圖2知在兩種控制下系統(tǒng)的面內(nèi)擺角均在最優(yōu)軌跡附近，但是開環(huán)控制的穩(wěn)態(tài)誤差約為閉環(huán)控制的2倍。系統(tǒng)的面內(nèi)角速度亦如此。由于假設(shè)系統(tǒng)的面外擺角不存在初始偏差，系統(tǒng)的面內(nèi)擺角偏差不影響面外運(yùn)動(dòng)，這也驗(yàn)證了二者的耦合較弱。
圖4和5為系統(tǒng)沿系繩徑向的變化。圖4顯示閉環(huán)控制能夠有效減弱系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)階段的徑向震蕩。可見兩種控制均能在半個(gè)軌道周期內(nèi)將系統(tǒng)展開，且開環(huán)控制更快一些。而閉環(huán)控制下，穩(wěn)態(tài)階段兩顆衛(wèi)星距離變化范圍遠(yuǎn)小于開環(huán)控制，且相對(duì)速度亦比開環(huán)控制小幾倍。
圖2 開環(huán)與閉環(huán)控制下系統(tǒng)面內(nèi)擺角變化Fig.2 The in-plane angle variations under two control laws and optimal trajectory
圖3 開環(huán)與閉環(huán)控制下系統(tǒng)面外擺角變化Fig.3 The out-plane angle variations under two control laws and optimal trajectory
圖4 開環(huán)與閉環(huán)控制下系繩長度變化Fig.4 The tether length variations under two control laws and optimal trajectory
圖5 開環(huán)與閉環(huán)控制下系繩徑向變化速度Fig.5 The deploy velocities under two control laws and optimal trajectory
圖6所示，閉環(huán)控制時(shí)系統(tǒng)控制力相對(duì)開環(huán)控制力僅有微小增幅，而系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差相對(duì)開環(huán)控制明顯減小，因此該控制律是相當(dāng)有效的。
圖7為系統(tǒng)在兩種控制下的面內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡及最優(yōu)軌跡，表明閉環(huán)控制下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差更小，這也與系統(tǒng)在閉環(huán)控制下有著更小的面內(nèi)擺角誤差和徑向誤差相對(duì)應(yīng)。
從系統(tǒng)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡來看系統(tǒng)展開結(jié)束后存在穩(wěn)態(tài)誤差，其原因一方面是由于展開跟蹤控制器的抖動(dòng)影響，導(dǎo)致系繩展開完成后速度不完全為零，如果選擇較小的邊界層厚度ζ，系繩展開結(jié)束速度會(huì)更小，但變化頻率會(huì)更快；另一方面如文獻(xiàn)[14]中指出當(dāng)系統(tǒng)軌道為橢圓時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)行過程中系繩不會(huì)保持鉛垂方向分布，即系繩的面內(nèi)擺角不會(huì)一直保持為零，由系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程方程(1)～(3)可知系統(tǒng)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)存在強(qiáng)耦合，這也會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)展開后系繩長度和變化速度的震蕩。不過，可以通過阻尼器來減弱系統(tǒng)運(yùn)行過程中的縱向震蕩。
圖6 開環(huán)與閉環(huán)控制下系統(tǒng)控制力Fig.6 The control forces under two control laws and optimal trajectory
圖7 開環(huán)與閉環(huán)控制下系統(tǒng)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.7 The in-plane trajectories under two control laws and optimal trajectory
為了驗(yàn)證該控制器的適用性，對(duì)不同面內(nèi)擺角初始偏差下的系統(tǒng)分別進(jìn)行開環(huán)控制和閉環(huán)控制，系統(tǒng)展開時(shí)間，展開長度和穩(wěn)態(tài)階段誤差分別見表2和表3。
從表2的結(jié)果可以知道，不同初始面內(nèi)擺角偏差對(duì)開環(huán)控制影像很大。隨著面內(nèi)初始擺角偏差的減小，系統(tǒng)展開時(shí)間增加，當(dāng)面內(nèi)初始偏差減到1°時(shí)，系統(tǒng)在閉環(huán)控制下已無法在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成展開，且系統(tǒng)展開長度會(huì)隨著面內(nèi)擺角初始偏差的反向增大而減小。當(dāng)面內(nèi)初始擺角偏差為1.5°時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差最小，而理論上當(dāng)面內(nèi)初始擺角偏差為0時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差最小，這是因?yàn)樵陂_環(huán)控制下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差除了受到面內(nèi)初始擺角偏差的影響外，還受到外界擾動(dòng)和建模誤差的影響。當(dāng)系統(tǒng)為開環(huán)控制時(shí)，有意使系統(tǒng)初始面內(nèi)擺角偏差為正值有利于系統(tǒng)的展開，且若選擇合適也可使系統(tǒng)展開到目標(biāo)位置附近。
從表3可以知道，系統(tǒng)在閉環(huán)控制下均能夠展開到目標(biāo)位置附近，不過展開時(shí)間稍有偏差。相比開環(huán)控制，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差明顯減小，特別是系繩徑向穩(wěn)態(tài)誤差，最大為0.8m，繩長變化速率最大為0.08m/s。系統(tǒng)面內(nèi)擺角誤差則隨著初始誤差的減小而減小，但由于外界擾動(dòng)的存在，當(dāng)面內(nèi)擺角初始誤差為零時(shí)其穩(wěn)態(tài)誤差并不為零。雖然系統(tǒng)在開環(huán)控制下也有幾率展開的目標(biāo)位置附近，但是亦有很大幾率在規(guī)劃時(shí)間內(nèi)無法完成展開。因此相比于開環(huán)控制，所設(shè)計(jì)的系繩張力自適應(yīng)滑?？刂破髂軌虮ＷC系統(tǒng)在規(guī)劃時(shí)間內(nèi)展開到目標(biāo)位置附近，快速完成系統(tǒng)配置。
4 結(jié)論
本文面向系繩式InSAR系統(tǒng)任務(wù)要求，基于高斯偽譜法規(guī)劃出系統(tǒng)快速展開的最優(yōu)軌跡，并通過反饋控制使系統(tǒng)展開跟蹤最優(yōu)軌跡，結(jié)論如下：
1)所設(shè)計(jì)的系繩張力自適應(yīng)滑?？刂破骺梢钥朔到y(tǒng)模型誤差和外界擾動(dòng)跟蹤系統(tǒng)最優(yōu)展開軌跡；
2)在閉環(huán)控制下系統(tǒng)能夠展開到目標(biāo)位置附近，且系統(tǒng)面內(nèi)擺角穩(wěn)態(tài)誤差隨著系統(tǒng)面內(nèi)擺角初始誤差的減小而減?。?/p>
3)與開環(huán)控制相比，閉環(huán)極大地提高了系統(tǒng)展開的成功率，有效地降低了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，使系統(tǒng)能夠完成快速配置。
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Sliding mode control of a tethered InSAR system deployment on the basis of the Gauss pseudospectral method
ZHANG Jinxiu，ZHANG Zhigang
(Research Center of Satellite Technology, Harbin Institute of Technology, Harbin 150080, China)
The rapid deployment of a tethered InSAR was studied in the study. The Gauss pseudospectral method (GPM) was used to plan the optimal deployment trajectory and an adaptive sliding mode controller was proposed to counteract the adverse impact of modeling error and external disturbances. First, a simple system model was used and discretized as constraints by GPM. Second, the optimal deployment trajectory that can satisfy the mission requirement was acquired. Finally, an adaptive sliding mode controller was designed to track the optimal deployment velocity trajectory and stability was analyzed using Barbalat′s lemma. Numerical simulations show the system could deploy in the vicinity of the target location under the controller with a maximum steady error of 1 degree.
tethered InSAR system; optimal deployment; Gauss pseudospectral method; adaptive sliding mode control; tension control
2015-09-17.
日期：2016-11-14.
國家自然科學(xué)基金重大計(jì)劃項(xiàng)目(91438202).
張志剛(1988-), 男, 博士研究生； 張錦繡(1978-), 男, 教授,博士生導(dǎo)師.
張志剛，E-mail:zhzhghit@126.com.
10.11990/jheu.201509055
http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20161114.1036.026.html
V448.22
A
1006-7043(2017)02-0293-07
張志剛，張錦繡. 基于高斯偽譜法的系繩式InSAR系統(tǒng)展開滑模控制[J]. 哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào)， 2017, 38(2): 293-299. ZHANG Jinxiu，ZHANG Zhigang. Sliding mode control of a tethered InSAR system deploymenton the basis of the Gauss pseudospectral method[J]. Journal of Harbin Engineering University, 2017, 38(2): 293-299.
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張志剛，張錦繡
(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 衛(wèi)星技術(shù)研究所，黑龍江 哈爾濱，150080)
基于高斯偽譜法的系繩式InSAR系統(tǒng)展開滑模控制
張志剛，張錦繡
(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 衛(wèi)星技術(shù)研究所，黑龍江 哈爾濱，150080)
針對(duì)系繩式InSAR系統(tǒng)的快速展開問題，設(shè)計(jì)一種系繩張力自適應(yīng)滑模控制器以跟蹤系統(tǒng)展開最優(yōu)路徑。首先使用系統(tǒng)三維動(dòng)力學(xué)模型，然后面向任務(wù)確定系統(tǒng)性能指標(biāo)和約束，基于高斯偽譜法規(guī)劃出系統(tǒng)展開的最優(yōu)路徑，并且提出一種系繩張力自適應(yīng)滑?？刂破髟谙到y(tǒng)存在模型誤差和外界擾動(dòng)情況下跟蹤系統(tǒng)最優(yōu)展開速度，并通過Lyapunov函數(shù)證明閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。仿真結(jié)果表明:在該控制器作用下系統(tǒng)能夠克服模型誤差和外界擾動(dòng)跟蹤系統(tǒng)最優(yōu)展開速度，且在最大估計(jì)初始偏差情況下展開到目標(biāo)位置附近，穩(wěn)態(tài)誤差約為1°。
系繩式InSAR系統(tǒng)；最優(yōu)展開；高斯偽譜法；自適應(yīng)滑?？刂疲幌道K張力控制
與以TanDEM-X系統(tǒng)[1]為代表的分布式SAR衛(wèi)星系統(tǒng)干涉基線周期性變化相比，Moccia[2]提出的繩系衛(wèi)星SAR系統(tǒng)所提供的干涉基線在整個(gè)軌道周期內(nèi)相對(duì)穩(wěn)定，采用單基線即可實(shí)現(xiàn)對(duì)所有星下點(diǎn)緯度的覆蓋。同時(shí)由于采用繩系形式，其在軌展開時(shí)間也由前者以天為量級(jí)大幅縮短到以小時(shí)為量級(jí)，大大提高了系統(tǒng)的在軌部署能力，為繩系衛(wèi)星SAR系統(tǒng)的應(yīng)急應(yīng)用提供了可能。
在系繩SAR任務(wù)中，系統(tǒng)快速且穩(wěn)定的成功展開是完成任務(wù)的前提。盡管針對(duì)空間繩系SAR具體任務(wù)的研究相對(duì)較少，但已有諸多學(xué)者針對(duì)普適性繩系衛(wèi)星系統(tǒng)，尤其是是其展開控制律[3-6]開展了大量研究。Fujii等[7]使用共軛梯度法規(guī)劃出繩系衛(wèi)星系統(tǒng)展開和回收的最優(yōu)軌跡，并基于Lyapunov函數(shù)提出一種反饋控制律來跟蹤最優(yōu)路徑。Jin等[8]使用擬線性化和截?cái)郈hebyshev級(jí)數(shù)來規(guī)劃3自由度繩系衛(wèi)星展開最優(yōu)路徑。文浩等[9]基于二階微分包含將繩系衛(wèi)星系統(tǒng)非線性時(shí)間最優(yōu)控制問題離散為大規(guī)模動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題。Williams等[10-11]對(duì)比了在不同性能指標(biāo)下繩系衛(wèi)星系統(tǒng)展開最優(yōu)路徑。然而由于繩系系統(tǒng)建模時(shí)存在不確定性，以及初始狀態(tài)偏差和外界擾動(dòng)均會(huì)影響控制效率，因此需要對(duì)系統(tǒng)展開進(jìn)行閉環(huán)控制。Williams等[12]將系統(tǒng)在最優(yōu)軌跡附近線性化，并使用滾動(dòng)時(shí)域法求解線性反饋增益，以使系統(tǒng)能夠克服初始偏差和外界擾動(dòng)跟蹤最優(yōu)軌跡，然而該方法計(jì)算量較大[13]。
本文針對(duì)主星與子星質(zhì)量近似接近的繩系衛(wèi)星系統(tǒng)，使用了系統(tǒng)三維動(dòng)力學(xué)模型，然后將系統(tǒng)在Legendre-Gauss-Lobatto配點(diǎn)處離散，結(jié)合系統(tǒng)任務(wù)設(shè)計(jì)優(yōu)化性能指標(biāo)和約束，將系繩式InSAR系統(tǒng)的快速展開問題轉(zhuǎn)換為非線性規(guī)劃問題。在此基礎(chǔ)上提出一種系繩張力自適應(yīng)滑?？刂破饔脕淼窒Ｐ驼`差及外擾擾動(dòng)，并使用Lyapunov理論證明其穩(wěn)定性。
1 系繩式InSAR動(dòng)力學(xué)模型
通過系繩連接的繩系衛(wèi)星系統(tǒng)(見圖1)在圓軌道或小偏心率橢圓軌道運(yùn)行時(shí)會(huì)在重力梯度力矩作用下穩(wěn)定在鉛垂方向或其附近[14]，利用該特性可以將繩系衛(wèi)星系統(tǒng)作為InSAR系統(tǒng)的搭載平臺(tái)來執(zhí)行對(duì)地觀測(cè)任務(wù)。系統(tǒng)的姿態(tài)可以用系繩長度和系繩相對(duì)于系統(tǒng)質(zhì)心軌道坐標(biāo)系的方位來描述。
由于系繩質(zhì)量遠(yuǎn)小于衛(wèi)星質(zhì)量，系統(tǒng)質(zhì)心可近似認(rèn)為在衛(wèi)星質(zhì)心連線上。另外本文中主星和子星面積比相差不大，故作用在系統(tǒng)上的大氣阻力力矩較小，可作為擾動(dòng)處理。同時(shí)為了簡化系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，在建模過程中做出如下假設(shè)：將衛(wèi)星視為質(zhì)點(diǎn)，認(rèn)為衛(wèi)星姿態(tài)可控，即不會(huì)因?yàn)樾l(wèi)星姿態(tài)失穩(wěn)滾轉(zhuǎn)而導(dǎo)致展開失??；系統(tǒng)質(zhì)心軌道為Keplerian軌道；忽略系繩的扭轉(zhuǎn)和彎曲，則在系統(tǒng)質(zhì)心軌道坐標(biāo)系中，其動(dòng)力學(xué)方程可以通過Newton-Eular法推導(dǎo)表示為[12]：
(1)
(2)
(3)
系統(tǒng)質(zhì)心軌道方程為
(4)
式中:μ為地球引力常數(shù)，a為系統(tǒng)質(zhì)心軌道半長軸。
圖1 繩系衛(wèi)星系統(tǒng)圖Fig.1 The tethered satellite system
2 繩系衛(wèi)星系統(tǒng)展開最優(yōu)軌跡規(guī)劃
近年來，由于高效的計(jì)算效率和對(duì)初值的不敏感，偽譜法逐漸成為最優(yōu)控制問題求解方法的研究熱點(diǎn)[15-18]。而Gauss偽譜法又在近似精度，估計(jì)精度及收斂速度上存在優(yōu)勢(shì)，因此選擇Gauss偽譜法來規(guī)劃系統(tǒng)展開的最優(yōu)路徑。
1.1 基于Gauss偽譜法的模型離散
高斯偽譜法將系統(tǒng)的狀態(tài)變量和控制變量均進(jìn)行離散，并通過正交插值多項(xiàng)式對(duì)其進(jìn)行近似。然后通過在配點(diǎn)處將系統(tǒng)狀態(tài)變量導(dǎo)數(shù)與動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行比較，從而將動(dòng)力學(xué)方程轉(zhuǎn)化為約束。將時(shí)間區(qū)間[t0,tf]轉(zhuǎn)換到[-1,1]，然后將系統(tǒng)狀態(tài)變量和控制變量離散并通過Lagrange插值多項(xiàng)式近似，插值點(diǎn)為
其中LG點(diǎn)不包括初始點(diǎn)和終止點(diǎn)。
系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)微分方程寫為
(5)
使用高斯偽譜法可以將其在LG點(diǎn)處轉(zhuǎn)換為動(dòng)力學(xué)約束：
(6)
式中：X(τ)，U(τ)為通過Lagrange插值得到的近似值，具體過程可以參考文獻(xiàn)[16]。
1.2 面向任務(wù)的性能指標(biāo)與約束
以獲取地面DEM數(shù)據(jù)為目標(biāo)，工作時(shí)的系統(tǒng)基線在cxy平面內(nèi)，結(jié)合繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)構(gòu)型是沿當(dāng)?shù)劂U錘方向分布的，因此希望系統(tǒng)能夠展開并穩(wěn)定在鉛錘方向附近。故系統(tǒng)展開終值應(yīng)滿足：
(7)
以系繩式InSAR系統(tǒng)快速展開到終端位置為目標(biāo)，同時(shí)使系統(tǒng)控制變量變化平滑，以避免展開過程中產(chǎn)生震蕩。根據(jù)上述目標(biāo)選擇優(yōu)化性能指標(biāo)：
(8)
另外系統(tǒng)以系繩張力作為控制變量，因系繩只能產(chǎn)生拉力，故控制變量應(yīng)始終大于零，又其存在最大值限制。因此控制變量應(yīng)滿足以下約束：
(9)
最終，結(jié)合任務(wù)需求系繩式InSAR系統(tǒng)展開最優(yōu)的性能指標(biāo)和約束如下：
(10)
本節(jié)使用Gauss偽譜法將系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程離散為約束方程(6)，再選擇合適的性能指標(biāo)和終端及路徑約束(10)，即將系統(tǒng)展開最優(yōu)軌跡規(guī)劃為題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題。而對(duì)于非線性規(guī)劃問題已有多種成熟的優(yōu)化算法工具包，本文使用序列二次規(guī)劃法程序包SNOPT來獲取系統(tǒng)展開的最優(yōu)軌跡。
3 系繩張力自適應(yīng)滑?？刂破?/h2>
不考慮模型誤差和外界擾動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)展開的偏差主要為插值近似偏差。然而在實(shí)際運(yùn)行過程中，微小外界擾動(dòng)和初始偏差總是不可避免的，采用開環(huán)控制將使系統(tǒng)展過程偏離最優(yōu)軌跡，導(dǎo)致展開結(jié)束后系統(tǒng)存在較大的穩(wěn)態(tài)誤差，情況嚴(yán)重時(shí)甚至導(dǎo)致展開失敗。因此，設(shè)計(jì)一種反饋控制器補(bǔ)償系統(tǒng)誤差和外界擾動(dòng)對(duì)于系統(tǒng)展開是必要的。
大量關(guān)于繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的研究表明其面內(nèi)運(yùn)動(dòng)與面外運(yùn)動(dòng)耦合較弱，通過改變系繩拉力無法有效控制系統(tǒng)的面外擺動(dòng)[19]。在不考慮外界擾動(dòng)時(shí)，如若系統(tǒng)初始面外擺角和面外擺動(dòng)角速度為零時(shí)，則系統(tǒng)將會(huì)一直在軌道平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。在規(guī)劃系統(tǒng)展開最優(yōu)路徑時(shí)，設(shè)定初始面外擺角和面外擺動(dòng)角速度均為零，那么得到的系統(tǒng)展開最優(yōu)軌跡也將一直保持在軌道平面內(nèi)，因此在設(shè)計(jì)系統(tǒng)展開反饋控制器時(shí)為了方便，僅考慮系統(tǒng)的面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，此時(shí)φ=φ′=0。另外本文中系繩質(zhì)量遠(yuǎn)小于衛(wèi)星質(zhì)量，在設(shè)計(jì)系統(tǒng)展開反饋控制器時(shí)可以忽略系繩質(zhì)量，此時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程方程(1)～(3)可以簡化為
(11)
(12)
從系統(tǒng)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的面內(nèi)運(yùn)動(dòng)受Λ′/Λ控制，若系統(tǒng)能夠跟蹤展開繩長及其展開速度，則存在較小面內(nèi)初始擺角偏差時(shí)，系統(tǒng)能夠展開到目標(biāo)位置附近。因此希望設(shè)計(jì)一種系繩張力控制器使系統(tǒng)能夠跟蹤其最優(yōu)展開速度。
系統(tǒng)展開執(zhí)行機(jī)構(gòu)輸出與控制指令之間存在誤差，而且為了方便推導(dǎo)，對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程(1)～(3)進(jìn)行了簡化，為了獲取更加準(zhǔn)確的結(jié)果，此處將上述簡化和誤差以系統(tǒng)模型誤差的方式添加到系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程(12)中：
(13)
式中：ΔM為系統(tǒng)建模時(shí)由于簡化處理造成的誤差，d為外界擾動(dòng)。
實(shí)際上系統(tǒng)模型誤差和外界擾動(dòng)均有界，因此可以假設(shè)：
(14)
式中b為一未知非負(fù)常數(shù)。
(15)
定義滑模面：
(16)
式中c為正值常數(shù)。其相對(duì)真近角的一階微分可以表示為
(17)
定理1：系統(tǒng)在系繩張力展開控制律：
(18)
式中:λ、σ>0，控制下能夠跟蹤展開速度的最優(yōu)軌跡。
證明：
設(shè)計(jì)Lyapunov函數(shù):
(19)
則其相對(duì)真近角的一階微分為
(20)
將式(17)代入式(20)得：
(21)
將式(18)代入可得：
(22)
因此s∈L,∈L，進(jìn)而得到∈L，進(jìn)一步得到控制力u∈L，從而s′∈L。使用Barbalat引理可得，進(jìn)而得到，即系統(tǒng)展開速度能夠跟蹤最優(yōu)軌跡。
(23)
(24)
式中ζ為滑模層厚度。
在控制器(22)作用下的閉環(huán)系統(tǒng)能夠跟蹤系統(tǒng)展開最優(yōu)路徑，其穩(wěn)定性證明與控制器(18)類似，此處不再累述。相比于以前繩系系統(tǒng)展開控制中所用的反饋控制，控制器(22)能夠克服系統(tǒng)建模中的未知有界誤差和外界擾動(dòng)，且相比于文獻(xiàn)[12]中的控制方法，減少了控制過程中的計(jì)算量，以便于實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)跟蹤控制。
4 數(shù)值仿真分析
根據(jù)任務(wù)需求選定系統(tǒng)參數(shù)：主星質(zhì)量300kg，子星質(zhì)量200kg，軌道半長軸6 645km，軌道偏心率0.002 7，系繩長度1km，系繩線密度0.000 185kg/m，系繩彈性模量EA為6 000N。假設(shè)初始時(shí)刻系統(tǒng)沿鉛錘方向分離，展開機(jī)構(gòu)開始工作時(shí)系繩長度為10m，展開速度為2m/s。則無量綱化后系統(tǒng)的初始狀態(tài)為
(25)
假設(shè)系統(tǒng)展開執(zhí)行機(jī)構(gòu)滿足下面要求：
0≤T≤5N
由于閉環(huán)控制的目標(biāo)是跟蹤系統(tǒng)展開速度最優(yōu)軌跡，為了給控制留有裕度，避免系繩回收，設(shè)定展開時(shí)最小速度為0.05m/s。則系統(tǒng)的展開終端狀態(tài)變?yōu)?/p>
影響系統(tǒng)展開的誤差主要是系統(tǒng)初始狀態(tài)偏差和外界攝動(dòng)影響。其中外界攝動(dòng)影響在低軌以大氣阻力為主，結(jié)合文獻(xiàn)[14]對(duì)系統(tǒng)受到的大氣阻力進(jìn)行估計(jì)，在250km軌道高度處1km長的系繩的大氣阻力約為2mN。假定系統(tǒng)使用推力器進(jìn)行分離，推力器方向偏差最大為5%，且不考慮其對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)的影響，則系統(tǒng)的初始面內(nèi)擺角最大約為3°。
為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的控制器效果，分別對(duì)系統(tǒng)在開環(huán)控制和自適應(yīng)滑?？刂破髯饔孟碌恼归_過程進(jìn)行仿真。系統(tǒng)所受外界攝動(dòng)設(shè)為fd=2 m·N，模型誤差設(shè)為ΔM=0.01sinν1/rad2，其中對(duì)外界攝動(dòng)力做無量綱化處理：
閉環(huán)控制仿真參數(shù)選擇為
仿真時(shí)系統(tǒng)的初始面內(nèi)擺角偏差變化范圍為±3°，每次變化0.5°。為了節(jié)省空間，僅以最大面內(nèi)偏差Δθ0=3°為例畫圖，其他情況則見表2和表3。
表2 不同初始偏差下的系統(tǒng)開環(huán)控制展開及穩(wěn)態(tài)誤差
表3 不同初始偏差下的系統(tǒng)閉環(huán)控制展開及穩(wěn)態(tài)誤差
由仿真圖2～5可知，當(dāng)系統(tǒng)面內(nèi)擺角初始偏差為3度時(shí)，系統(tǒng)在開環(huán)控制下和閉環(huán)控制均能展開到目標(biāo)長度，且系統(tǒng)面外運(yùn)動(dòng)不受面內(nèi)運(yùn)動(dòng)影響。由圖2知在兩種控制下系統(tǒng)的面內(nèi)擺角均在最優(yōu)軌跡附近，但是開環(huán)控制的穩(wěn)態(tài)誤差約為閉環(huán)控制的2倍。系統(tǒng)的面內(nèi)角速度亦如此。由于假設(shè)系統(tǒng)的面外擺角不存在初始偏差，系統(tǒng)的面內(nèi)擺角偏差不影響面外運(yùn)動(dòng)，這也驗(yàn)證了二者的耦合較弱。
圖4和5為系統(tǒng)沿系繩徑向的變化。圖4顯示閉環(huán)控制能夠有效減弱系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)階段的徑向震蕩。可見兩種控制均能在半個(gè)軌道周期內(nèi)將系統(tǒng)展開，且開環(huán)控制更快一些。而閉環(huán)控制下，穩(wěn)態(tài)階段兩顆衛(wèi)星距離變化范圍遠(yuǎn)小于開環(huán)控制，且相對(duì)速度亦比開環(huán)控制小幾倍。
圖2 開環(huán)與閉環(huán)控制下系統(tǒng)面內(nèi)擺角變化Fig.2 The in-plane angle variations under two control laws and optimal trajectory
圖3 開環(huán)與閉環(huán)控制下系統(tǒng)面外擺角變化Fig.3 The out-plane angle variations under two control laws and optimal trajectory
圖4 開環(huán)與閉環(huán)控制下系繩長度變化Fig.4 The tether length variations under two control laws and optimal trajectory
圖5 開環(huán)與閉環(huán)控制下系繩徑向變化速度Fig.5 The deploy velocities under two control laws and optimal trajectory
圖6所示，閉環(huán)控制時(shí)系統(tǒng)控制力相對(duì)開環(huán)控制力僅有微小增幅，而系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差相對(duì)開環(huán)控制明顯減小，因此該控制律是相當(dāng)有效的。
圖7為系統(tǒng)在兩種控制下的面內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡及最優(yōu)軌跡，表明閉環(huán)控制下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差更小，這也與系統(tǒng)在閉環(huán)控制下有著更小的面內(nèi)擺角誤差和徑向誤差相對(duì)應(yīng)。
從系統(tǒng)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡來看系統(tǒng)展開結(jié)束后存在穩(wěn)態(tài)誤差，其原因一方面是由于展開跟蹤控制器的抖動(dòng)影響，導(dǎo)致系繩展開完成后速度不完全為零，如果選擇較小的邊界層厚度ζ，系繩展開結(jié)束速度會(huì)更小，但變化頻率會(huì)更快；另一方面如文獻(xiàn)[14]中指出當(dāng)系統(tǒng)軌道為橢圓時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)行過程中系繩不會(huì)保持鉛垂方向分布，即系繩的面內(nèi)擺角不會(huì)一直保持為零，由系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程方程(1)～(3)可知系統(tǒng)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)存在強(qiáng)耦合，這也會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)展開后系繩長度和變化速度的震蕩。不過，可以通過阻尼器來減弱系統(tǒng)運(yùn)行過程中的縱向震蕩。
圖6 開環(huán)與閉環(huán)控制下系統(tǒng)控制力Fig.6 The control forces under two control laws and optimal trajectory
圖7 開環(huán)與閉環(huán)控制下系統(tǒng)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.7 The in-plane trajectories under two control laws and optimal trajectory
為了驗(yàn)證該控制器的適用性，對(duì)不同面內(nèi)擺角初始偏差下的系統(tǒng)分別進(jìn)行開環(huán)控制和閉環(huán)控制，系統(tǒng)展開時(shí)間，展開長度和穩(wěn)態(tài)階段誤差分別見表2和表3。
從表2的結(jié)果可以知道，不同初始面內(nèi)擺角偏差對(duì)開環(huán)控制影像很大。隨著面內(nèi)初始擺角偏差的減小，系統(tǒng)展開時(shí)間增加，當(dāng)面內(nèi)初始偏差減到1°時(shí)，系統(tǒng)在閉環(huán)控制下已無法在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成展開，且系統(tǒng)展開長度會(huì)隨著面內(nèi)擺角初始偏差的反向增大而減小。當(dāng)面內(nèi)初始擺角偏差為1.5°時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差最小，而理論上當(dāng)面內(nèi)初始擺角偏差為0時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差最小，這是因?yàn)樵陂_環(huán)控制下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差除了受到面內(nèi)初始擺角偏差的影響外，還受到外界擾動(dòng)和建模誤差的影響。當(dāng)系統(tǒng)為開環(huán)控制時(shí)，有意使系統(tǒng)初始面內(nèi)擺角偏差為正值有利于系統(tǒng)的展開，且若選擇合適也可使系統(tǒng)展開到目標(biāo)位置附近。
從表3可以知道，系統(tǒng)在閉環(huán)控制下均能夠展開到目標(biāo)位置附近，不過展開時(shí)間稍有偏差。相比開環(huán)控制，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差明顯減小，特別是系繩徑向穩(wěn)態(tài)誤差，最大為0.8m，繩長變化速率最大為0.08m/s。系統(tǒng)面內(nèi)擺角誤差則隨著初始誤差的減小而減小，但由于外界擾動(dòng)的存在，當(dāng)面內(nèi)擺角初始誤差為零時(shí)其穩(wěn)態(tài)誤差并不為零。雖然系統(tǒng)在開環(huán)控制下也有幾率展開的目標(biāo)位置附近，但是亦有很大幾率在規(guī)劃時(shí)間內(nèi)無法完成展開。因此相比于開環(huán)控制，所設(shè)計(jì)的系繩張力自適應(yīng)滑?？刂破髂軌虮ＷC系統(tǒng)在規(guī)劃時(shí)間內(nèi)展開到目標(biāo)位置附近，快速完成系統(tǒng)配置。
4 結(jié)論
本文面向系繩式InSAR系統(tǒng)任務(wù)要求，基于高斯偽譜法規(guī)劃出系統(tǒng)快速展開的最優(yōu)軌跡，并通過反饋控制使系統(tǒng)展開跟蹤最優(yōu)軌跡，結(jié)論如下：
1)所設(shè)計(jì)的系繩張力自適應(yīng)滑?？刂破骺梢钥朔到y(tǒng)模型誤差和外界擾動(dòng)跟蹤系統(tǒng)最優(yōu)展開軌跡；
2)在閉環(huán)控制下系統(tǒng)能夠展開到目標(biāo)位置附近，且系統(tǒng)面內(nèi)擺角穩(wěn)態(tài)誤差隨著系統(tǒng)面內(nèi)擺角初始誤差的減小而減?。?/p>
3)與開環(huán)控制相比，閉環(huán)極大地提高了系統(tǒng)展開的成功率，有效地降低了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，使系統(tǒng)能夠完成快速配置。
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Sliding mode control of a tethered InSAR system deployment on the basis of the Gauss pseudospectral method
ZHANG Jinxiu，ZHANG Zhigang
(Research Center of Satellite Technology, Harbin Institute of Technology, Harbin 150080, China)
The rapid deployment of a tethered InSAR was studied in the study. The Gauss pseudospectral method (GPM) was used to plan the optimal deployment trajectory and an adaptive sliding mode controller was proposed to counteract the adverse impact of modeling error and external disturbances. First, a simple system model was used and discretized as constraints by GPM. Second, the optimal deployment trajectory that can satisfy the mission requirement was acquired. Finally, an adaptive sliding mode controller was designed to track the optimal deployment velocity trajectory and stability was analyzed using Barbalat′s lemma. Numerical simulations show the system could deploy in the vicinity of the target location under the controller with a maximum steady error of 1 degree.
tethered InSAR system; optimal deployment; Gauss pseudospectral method; adaptive sliding mode control; tension control
2015-09-17.
日期：2016-11-14.
國家自然科學(xué)基金重大計(jì)劃項(xiàng)目(91438202).
張志剛(1988-), 男, 博士研究生； 張錦繡(1978-), 男, 教授,博士生導(dǎo)師.
張志剛，E-mail:zhzhghit@126.com.
10.11990/jheu.201509055
http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20161114.1036.026.html
V448.22
A
1006-7043(2017)02-0293-07
張志剛，張錦繡. 基于高斯偽譜法的系繩式InSAR系統(tǒng)展開滑模控制[J]. 哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào)， 2017, 38(2): 293-299. ZHANG Jinxiu，ZHANG Zhigang. Sliding mode control of a tethered InSAR system deploymenton the basis of the Gauss pseudospectral method[J]. Journal of Harbin Engineering University, 2017, 38(2): 293-299.
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