基于加速度反演頻域動載荷的一種正則化途徑*

彭凡，王樑，肖健，胡絢，韋冰峰

(1.湖南大學(xué) 機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，湖南 長沙 410082; 2.北京強(qiáng)度與環(huán)境研究所，北京 100076)

基于加速度反演頻域動載荷的一種正則化途徑*

彭凡1?，王樑1，肖健2，胡絢1，韋冰峰2

(1.湖南大學(xué) 機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，湖南 長沙 410082; 2.北京強(qiáng)度與環(huán)境研究所，北京 100076)

基于加速度頻響函數(shù)矩陣反演頻域動載荷是病態(tài)逆問題，反求的結(jié)果精度差，對數(shù)據(jù)的小擾動敏感，基于Tikhonov正則化方法，提出一種反演途徑，將測點(diǎn)響應(yīng)與待求激勵進(jìn)行歸一化變換，在此基礎(chǔ)上引入變換后的頻響函數(shù)矩陣和正則化泛函進(jìn)行求解，應(yīng)用廣義交叉驗(yàn)證準(zhǔn)則選取最優(yōu)正則化參數(shù).考慮簡支矩形薄板上的4個動載荷的識別問題，分析激勵點(diǎn)和響應(yīng)測點(diǎn)的不同位置以及動載荷大小之間相差程度不同的4個算例，將本文方法與不采用歸一化變換的正則化求解結(jié)果進(jìn)行2種相對誤差的均方根比較.結(jié)果表明，利用歸一化變換可提高動載荷反演精度，增強(qiáng)正則化方法的抗噪能力，當(dāng)測點(diǎn)之間的響應(yīng)以及各動載荷大小相差較大時(shí)，明顯改善了識別精度.

動態(tài)載荷；頻響函數(shù)；反問題；正則化；歸一化

載荷識別的理論和應(yīng)用研究受到了研究者越來越多的重視[1-5],目前，人們已提出了多種頻域內(nèi)反演動態(tài)載荷的技術(shù)，其中頻響函數(shù)矩陣求逆是一類重要方法[6-7].然而，反演的病態(tài)特性使得量測數(shù)據(jù)的小擾動導(dǎo)致結(jié)果不準(zhǔn)確，甚至不可信.當(dāng)以測點(diǎn)的加速度頻域響應(yīng)作為輸入時(shí)，低頻段的反演誤差非常明顯.正則化方法是提高反求精度和穩(wěn)健性的一條重要途徑，典型的正則化方法包括截?cái)嗥娈愔捣纸夂蚑ikhonov正則化方法[8].截?cái)嗥娈愔捣纸夥ǖ幕舅枷胧菍⑺玫膹V義解式子右端進(jìn)行截?cái)郲9]，即只保留前面若干個對應(yīng)于較大奇異值的部分，將后面的對應(yīng)于較小奇異值的部分過濾掉，如何選取截?cái)嚅撝?，是該方法的難點(diǎn).Tikhonov正則化方法通過引入包含響應(yīng)殘差和激勵的模的泛函，由泛函對載荷的一階偏導(dǎo)為零，得到正則化以后的激勵求解列式[10-11].文獻(xiàn)[12-13]提出綜合使用奇異值分解法與Tikhonov正則化的載荷識別策略，當(dāng)頻響函數(shù)矩陣的條件數(shù)大于某一臨界值時(shí)，使用正則化技術(shù)，反之，由奇異值分解法實(shí)施反求.張磊等[14]提出在總體最小二乘算法的基礎(chǔ)上進(jìn)行Tikhonov正則化，利用共軛梯度法解算該目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化問題.然而，當(dāng)各響應(yīng)測點(diǎn)的響應(yīng)之間、響應(yīng)與激勵之間以及激勵與激勵之間在數(shù)量上差別大，會導(dǎo)致正則化方法效果差，有必要重新考察變分泛函的構(gòu)造.為此，文中由歸一化變換使得加速度響應(yīng)和激勵的模值在一個相近的范圍內(nèi)變化，在此基礎(chǔ)上重新構(gòu)造變分泛函，給出一種Tikhonov正則化求解途徑，通過簡支矩形薄板的多點(diǎn)載荷反求算例檢驗(yàn)其有效性.

1 問題的歸一化變換及正則化求解

測點(diǎn)的響應(yīng)向量與待求激勵向量之間滿足：

(1)

(2)

考慮n>m，由Tikhonov正則化方法, 引入殘差向量模與激勵向量模表示的泛函[3]:

(3)

式中:λ為正則化參數(shù);上標(biāo)“H”表示共軛轉(zhuǎn)置運(yùn)算.由泛函對力取極值得到:

(4)

式中:I為m階單位矩陣.將式(1)中的頻響函數(shù)矩陣進(jìn)行奇異值分解:

(5)

式中:U和V為酉矩陣；S為對角奇異矩陣.令式(4)中的λ=0，然后結(jié)合式(5)，可得到載荷反求的奇異值分解方法，等價(jià)于最小二乘解[2]：

(6)

進(jìn)一步考察式(2)和式(3)可見，當(dāng)各響應(yīng)測點(diǎn)的響應(yīng)之間、響應(yīng)與激勵之間以及激勵與激勵之間在模值上存在較大差別時(shí)，泛函取極值并不一定能夠保證各個待求激勵有相近的精度，甚至可能出現(xiàn)正則化方法失效的情況.本文提出Tikhonov正則化方法的改進(jìn)策略，將頻域中的響應(yīng)向量與激勵向量的各分量幅值變化范圍進(jìn)行歸一化處理，使它們具有接近相同的變化范圍，令

(7)

(8)

式中：qi(i=1,…,n)和ri(i=1,…,m)稱為歸一化因子，qi和ri可取為第i個響應(yīng)與激勵的模值在所考慮頻段內(nèi)的平均值.進(jìn)一步引入變換后的頻響函數(shù)矩陣：

(9)

歸一化動載荷的最小二乘解為:

(10)

將式(5)代入式(9)，得

(11)

再將式(11)代入式(10),有

(12)

結(jié)合式(12)和式(7)，可見式(12)和式(6)是相同的，表明歸一化變換后，載荷反求的最小二乘解與變換前是一致的.

采用Tikhonov正則化方法求解歸一化變換后的反演問題,引入以下泛函：

(13)

(14)

式(14)和式(4)分別表示了經(jīng)過歸一化變換和未經(jīng)歸一化處理的正則化方法.將式(14)求得的激勵代入式(7)的第二式，得到真實(shí)載荷向量.因?yàn)榧钍谴罅?，為得到相?yīng)的歸一化因子ri，可先將反求問題在所考慮的頻段內(nèi)進(jìn)行奇異值分解求解，由此得到各激勵大小的平均值，以此作為歸一化因子的估計(jì)值.

確定式(4)和式(14)中正則化參數(shù)是算法的關(guān)鍵，文中采用廣義交叉驗(yàn)證法(GCV)[15]確定最優(yōu)正則化因子，它使下面函數(shù)取最小值.

(15)

2 算例及討論

2.1 算例設(shè)計(jì)及誤差定義

考慮圖1所示四邊簡支的矩形薄板，其尺寸為600mm×500mm×1.2mm，彈性模量為207GPa，密度為7 850kg/m3，泊松比為0.3，取模態(tài)阻尼比為0.03.矩形薄板的前3階固有頻率分別為19.8，44.1和54.8Hz.薄板受橫向動載荷F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3和F4作用，激勵頻率為10～300Hz.在矩形薄板上布置7個響應(yīng)測點(diǎn)ai(i=1,…,7)，利用有限元計(jì)算獲得頻響函數(shù)及Fi(i=1,…,4)作用下測點(diǎn)的橫向加速度時(shí)域響應(yīng)，加入噪聲，以模擬實(shí)測響應(yīng).頻響函數(shù)的高斯白噪聲模型為：

N(ω)=Nndej2πNud.

(16)

式中:j為虛數(shù)單位；Nud為0～1之間均勻分布隨機(jī)數(shù)；Nnd為正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)，其均值為0，方差為A(ω)10-(B/20)， A(ω)為頻響函數(shù)的幅頻值，B為信噪比SNR.給測點(diǎn)的時(shí)域響應(yīng)加入噪聲的模型為：

(17)

算例考慮兩組激勵力和響應(yīng)測點(diǎn)的位置組合，組合Ⅰ與組合Ⅱ的坐標(biāo)分別繪于圖1(a)和(b)，坐標(biāo)值分別列于表1與表2.在位置組合Ⅰ中，載荷F4作用點(diǎn)和測點(diǎn)4都靠近簡支邊界；而在組合Ⅱ中，兩者都移向板中心，而F1的作用點(diǎn)及測點(diǎn)1成為最靠近邊界的點(diǎn).顯然，載荷靠近邊界，激發(fā)的振動響應(yīng)減弱，不利于反求精度的提高.對每一組位置組合，分別討論如表3所示的兩種加載條件，在10～300Hz的頻率段內(nèi)，每個頻域載荷的大小為常數(shù).加載條件Ⅰ中的4個載荷頻域值之間差別較大，有關(guān)系F1= 5F2= 10F3= 20F4；加載條件Ⅱ的4個載荷頻域值相等.

對每個動態(tài)力，引入相對誤差的均方根值來比較載荷識別的精度，有

(18)

式中:εi表示第i個動載荷的識別誤差，為各頻點(diǎn)的均方根值； FRi,k為第i個動載荷在第k個頻率點(diǎn)的反求幅頻值；FTi,k為實(shí)際幅頻值；n為10～300Hz內(nèi)的頻率點(diǎn)數(shù).

取各動載荷識別誤差的平均，可得到總體平均誤差為：

(19)

式中:nf為待識別激勵數(shù)目.

相應(yīng)于兩組位置組合分析兩組算例，為便于結(jié)果對比，統(tǒng)一取頻響函數(shù)的信噪比SNR=30dB.加速度響應(yīng)的2種噪聲水平分別為η=5%和10%.

(a)位置組合Ⅰ

(b)位置組合Ⅱ

表1 位置組合Ⅰ的坐標(biāo)

表2 位置組合Ⅱ的坐標(biāo)

表3 對應(yīng)位置組合Ⅰ和載荷條件Ⅰ的相對誤差

2.2 算例1

對于表1所示位置組合Ⅰ的動載荷，考慮加載條件Ⅰ，分別采用不經(jīng)歸一化處理和經(jīng)過歸一化處理的正則化方法反求載荷，結(jié)果如圖2所示.由圖2可知， 4個反演載荷均在低頻范圍內(nèi)波動大，在較高頻段內(nèi)，反求值與實(shí)際值相差很小.這是因?yàn)榛诩铀俣确辞蟮哪孢\(yùn)算項(xiàng)之模值隨頻率減小而顯著增加，隨頻率增加而減小，故在低頻段，頻響函數(shù)矩陣求逆的條件數(shù)較大，導(dǎo)致較大的誤差與波動.圖2表明，歸一化變換后的正則化求解能提高識別精度，尤其在低頻段內(nèi)，效果明顯.而在大于二階基頻(約45 Hz)的頻率段，兩種反演途徑給出的結(jié)果接近相同.

由2種正則化途徑所得載荷的相對誤差結(jié)果如表3所示.由表3可知，F(xiàn)4的識別誤差最大，這是因?yàn)镕4的頻域值最小，且最靠近邊界.經(jīng)過歸一化變換后，各載荷的相對誤差都減小了，尤以F4的降低最明顯，總體平均誤差也下降較多.

f/Hz

f/Hz

f/Hz

f/Hz

分析載荷頻域值相同的加載條件Ⅱ，識別誤差結(jié)果如表4所示.由表4可知，2種正則化途徑所得結(jié)果的誤差相比表3列出的對應(yīng)值減小，歸一化處理對F1，F(xiàn)2和F3的識別效果改善較小，但明顯提高了F4的識別精度.這是因?yàn)镕4接近邊界，產(chǎn)生的測點(diǎn)加速度響應(yīng)小，歸一化變換將其影響放大了，使得其識別精度得到提高.

表4 對應(yīng)位置組合Ⅰ和載荷條件Ⅱ的相對誤差

2.3 算例2

分析位置組合Ⅱ，首先考慮載荷條件Ⅰ，誤差結(jié)果如表5所示.比較表5與表3可見，F(xiàn)4的誤差減小，而F1的誤差有所增加，主要原因是此位置組合中的F4作用點(diǎn)靠近板中部，從而激發(fā)了較強(qiáng)的響應(yīng)，而F1相對其余3個載荷更靠近邊界.歸一化變換改善了反求的總體精度，且明顯降低了F4的相對誤差.

表5 對應(yīng)位置組合Ⅱ和載荷條件Ⅰ的相對誤差

考慮載荷條件Ⅱ，誤差如表6所示.從總體和個體來看，2種正則化途徑所給結(jié)果的識別精度接近相同，原因在于4個頻域載荷相同，且作用點(diǎn)離邊界較遠(yuǎn)以及各測點(diǎn)頻域相應(yīng)的強(qiáng)度接近相同.同樣由于F1離邊界相對最近，故識別誤差最大的載荷由F4變成了F1，而歸一化處理使得F1的識別誤差略有減小.

表6 對應(yīng)位置組合Ⅱ和載荷條件Ⅱ的相對誤差

3 結(jié) 論

在頻域中采用歸一化變換，將各測點(diǎn)響應(yīng)和待求載荷的大小變化調(diào)整到相近的范圍，構(gòu)造新的Tikhonov泛函進(jìn)行正則化求解.利用數(shù)值仿真所得結(jié)果可知：

1)歸一化處理能從整體和個體上提高各動載荷的反演精度.

2)當(dāng)頻域動載荷大小相差較明顯，或者載荷作用點(diǎn)靠近邊界時(shí)，歸一化處理使得相應(yīng)荷載的反求精度明顯改善，抵抗測量噪性干擾的能力增強(qiáng).

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A Regularization Approach of Dynamic Load Identification in Frequency Domain by Acceleration Responses

PENG Fan1?,WANG Liang1，XIAO Jian2，HU Xuan1, WEI Bingfeng2

( 1. College of Mechanical and Vehicle Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China; 2. Research Institute of Beijing Structure and Environment Engineering，Beijing 100076, China)

Load identification based on acceleration frequency response matrix is an ill-conditioned problem. The identification accuracy can obviously be affected by small perturbations of the response data. Based on Tikhonov regularization method, a new approach is proposed in which both the response data at measured points and the loads to be identified are normalized, the transformed frequency response matrix and regularization function are introduced, and the corresponding problem of functional minimum is solved to obtain the loads. The optimal regularization parameters are determined by generalized cross validation criterion. The identification of four transverse dynamic loads on a rectangular thin plate with simply supported edges is performed. Four numerical examples are designed to have different application locations of loads and measured points as well as different magnitude ratio of dynamic loads in frequency domain. The results show that the new approach of dynamic load identification in frequency domain is effective to improve the identification accuracy and the noise resistance. Particularly, the errors of the identification can be significantly reduced in the cases where the large difference between the magnitudes of dynamic loads in frequency domain exists, or when excitation positions are close to structural boundaries.

dynamic loads; frequency response function; inverse problem; regularization; normalization

1674-2974(2017)02-0075-05

10.16339/j.cnki.hdxbzkb.2017.02.011

2016-02-20

湖南省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11JJ3001), Natural Science Foundation of Hunan Province of China(11JJ3001)

彭凡(1963-)，男，湖南湘鄉(xiāng)人，湖南大學(xué)教授，博士

?通訊聯(lián)系人，E-mail:fanpeng@hnu.edu.cn

O326；O347.1

A