基于Tikhonov正則化與模型減縮技術的虛擬迭代載荷反求*

張邦基, 周守玉，謝慶喜,張農(nóng)

(湖南大學 汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，湖南 長沙 410082)

基于Tikhonov正則化與模型減縮技術的虛擬迭代載荷反求*

張邦基, 周守玉，謝慶喜?,張農(nóng)

(湖南大學 汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，湖南 長沙 410082)

將模型減縮技術應用于動態(tài)響應的求解，基于Tikhonov正則化載荷反求方法， 在迭代過程逐步修正載荷信號，使系統(tǒng)的響應逼近期望響應信號，最終精確反求出載荷信號.算例表明，該方法相對于傳統(tǒng)Tikhonov方法，既保留了良好抗噪特點，同時又提高了峰值載荷處的反求精度，從而使得整體反求精度更高.

載荷反求；正則化；虛擬減縮；迭代方法

工程振動問題備受關注，結構動態(tài)載荷的精確獲取可為工程結構的振動分析、疲勞分析等提供基礎，然而因經(jīng)濟性或技術條件的限制，許多情況下載荷難以通過直接測量的方式獲取，如汽車車身所受的激振力、輪船行駛時受到的波浪式?jīng)_擊載荷等.因此利用載荷反求方法間接獲取激振載荷具有重要意義.

載荷反求是通過系統(tǒng)響應和振動特性來反求結構所受載荷，是動力學第二類反問題[1].國內(nèi)外學者針對動態(tài)載荷反求的理論和技術研究做了很多工作[2-4].傳統(tǒng)的反求方法有時域法與頻域法兩大類[5]，隨著計算機技術的發(fā)展，遺傳算法[6]、神經(jīng)網(wǎng)絡[7]等新方法被應用于載荷反求領域.Kim等人[8]利用結構動力學關系構建載荷反求動力學方程，通過頻響函數(shù)求逆法進行載荷反求，用奇異值分解法(SVD)改善頻響函數(shù)求逆過程中的矩陣病態(tài)問題；Choi等人[9-10]運用最小二乘的Tikhonov正則化方法解決矩陣的病態(tài)問題，在提高載荷反求結果穩(wěn)定性與抗干擾性方面效果良好，并對比分析了不同正則化參數(shù)選擇方法對載荷反求精度的影響.國內(nèi)在正則化反求法方面做了很多研究[11-13]，其中應用較廣的是Tikhonov正則化反求法.郭榮等[14]綜合運用Tikhonov正則化與奇異值分解的反求方法，有效提高了結構載荷反求精度.

然而Tikhonov等正則化反求法存在其自身的缺陷，由于該方法對反求載荷有平滑的作用，導致在響應測試噪聲水平較高，或者系統(tǒng)線性程度不高的情況下，在反求信號的峰值處將很難得到較好結果[12].對此，結合文獻[15]中室內(nèi)試驗臺架驅(qū)動文件生成方法，提出新的載荷反求方法.其基本流程是，將Tikhonov正則化所反求的載荷重新激勵系統(tǒng)，將獲得的響應與真實期望響應對比，通過誤差反饋補償來逐步修正Tikhonov正則化反求法所得到的載荷信號，以提高在載荷峰值處的反求精度.考慮到在實際工程中，所研究的對象往往是復雜結構仿真模型，迭代中頻繁的正向求解過程相當耗時，甚至導致反求過程難以實現(xiàn).對此，本文結合模型減縮技術，對大型有限元結構進行降階處理，得到規(guī)模較小的等價模型，在保證響應計算精度的同時，極大縮短正問題的求解時間，提高計算效率.

1 虛擬迭代載荷反求原理

1.1 Tikhonov正則化理論

對于線性系統(tǒng)，在待反求載荷f(t)的作用下，系統(tǒng)的響應可以由單位脈沖響應函數(shù)與動態(tài)載荷的卷積分形式表示為：

(1)

式中：y(x,t)為結構測點x處的響應，可以是位移、速度、加速度等；f(t)為載荷的時間歷程；G(x,t)是相應的載荷作用點到響應點的Green函數(shù)，即單位脈沖響應.

考慮零初始條件系統(tǒng)，可將式(1)中的卷積分在時域內(nèi)進行n個等間隔時間點離散，可化為一組線性方程組:

(2)

簡記為：

Y=GF

(3)

式中：yi，Gi，fi分別為在時刻t=iΔt的響應、Green函數(shù)和待反求的載荷；G為下三角矩陣.

對于多源載荷，采用單源載荷相同的方法，將其離散為線性方程組的形式，根據(jù)線性疊加原理，將多源載荷問題表示為矩陣形式

(4)

式中：n為載荷源的個數(shù)；Gij為載荷源Fj到測點Yi之間響應Green函數(shù).為了表述方便，也可將其簡記為式(3)的形式.通常情況下，當矩陣G是秩虧或者病態(tài)時，對式(3)進行簡單的矩陣求逆操作所得到的結果往往是不適定性的.正則化方法是解決此類病態(tài)問題的有效途徑，Tikhonov正則化因其不用進行奇異系的計算，計算量小，而得到較多的關注.其實質(zhì)是通過增加約束信息，增強求解的適定性，從而保證結果的準確穩(wěn)定.

實際測試中，測量誤差不可避免.記帶有測量誤差的響應為Yδ(下標δ表示含有測量誤差).建立目標函數(shù)：

(5)

式中：α為正則化參數(shù).這種處理使得反求過程包含殘值的?！珿F-Yδ‖與解的模‖F(xiàn)‖兩類約束，從而同時保證解的精確性和穩(wěn)定性.顯然，所謂的正則化方法其實質(zhì)是一種帶約束的最小二乘法.式(5)的Tikhonov正則化解為：

Fα=(GTG+αI)-1GTYδ

(6)

不同的參數(shù)α可調(diào)節(jié)殘差的?！珿F-Yδ‖與解的?！現(xiàn)‖的相對大?。害猎酱髣t解的穩(wěn)定性越好，解的逼近性越差；α越小則情形正好相反.因此需要選擇合適的正則化參數(shù)α來平衡這一矛盾，達到最佳反求效果.本文采用應用廣、適應性強的L曲線法來確定最佳的正則化參數(shù)α.

1.2 迭代反求算法

當線性時不變系統(tǒng)響應噪聲水平不高時，采用最優(yōu)正則化參數(shù)的Tikhonov方法可較精確地反求激勵載荷，但是當系統(tǒng)響應噪聲水平較高時，即使是最優(yōu)的正則化參數(shù)，也難以平衡解的逼近性與穩(wěn)定性這對矛盾；且在工程實際中，系統(tǒng)的各個環(huán)節(jié)，如汽車的襯墊等連接部件，在一定程度上都存在非線性因素，導致反求難度增大.對此，采用迭代的方法，根據(jù)響應誤差反饋補償，逐步修正所求載荷信號，使其達到要求[16].

首先，對一個已知系統(tǒng)，其響應信號Yδ，由上述Tikhonov正則化方法反求，計算出初始載荷信號為：

Fα0(t)=(GTG+αI)-1GTYδ(t)

(7)

下一步用初始載荷信號Fα0(t)重新激勵系統(tǒng)，同時采集此時激勵所得響應信號Y1(t)，計算Y1(t)與原始期望響應信號Yδ(t)的誤差:

ε1(t)=Y1(t)-Yδ(t)

(8)

由迭代誤差的收斂準則來判斷此次時間歷程響應誤差是否滿足收斂條件，若滿足，則此次反求迭代結束；若不滿足則進行反饋修正，設第i次迭代采集到的系統(tǒng)響應為Yi(t),那么響應誤差為：

εi(t)=Yi(t)-Yδ(t)

(9)

則本次迭代反求載荷的修正信號為：

ΔFαi(t)=(GTG+αI)-1GTεi(t)

(10)

由正則化特性可知，式(10)的計算可對所求載荷修正信號進行一定的降噪和平滑作用，且不會增加原信號的噪聲干擾，優(yōu)于傳統(tǒng)的迭代方法[17].把修正信號ΔFαi(t)加到上一次迭代的反求載荷Fα(i-1)(t)上去，就得到本次修正后新的載荷信號，再用新得到的載荷信號激勵系統(tǒng)，反復迭代，直到響應誤差滿足收斂條件為止.為了防止過載，控制迭代不發(fā)散，應當對式(10)計算出的修正信號加以適當衰減：

Fαi(t)=Fα(i-1)(t)+

diag(λ1,λ2,…,λni)ΔFαi(t)

(11)

式中：λ1,λ2,…,λni為衰減系數(shù)，迭代初期，誤差較大時，應當選取較小衰減系數(shù)，隨著迭代次數(shù)增加，趨近于迭代收斂時，衰減系數(shù)應當接近于1.0[18].

1.3 減縮技術

載荷的迭代反求過程，需要反復計算仿真系統(tǒng)的動響應，仿真系統(tǒng)通常用有限元的方式表達.但對于有限元模型，通常網(wǎng)格越密仿真精度越高，但密集的網(wǎng)格會導致響應求解時間增長，尤其在反復迭代計算過程中，正問題的求解時間過長是影響迭代的重要因素.對此，采用模型減縮技術，對原始有限元模型進行降階等效，再對降階模型進行迭代響應計算，從而解決計算精度與計算效率之間的矛盾.本文采用的減縮方法是IRS[19]方法.

IRS減縮方法是一種基于Guyan靜力減縮法并考慮慣性力影響的改進方法.系統(tǒng)的運動方程可以表示為：

(12)

式中：M為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣；K為系統(tǒng)的剛度矩陣；F為系統(tǒng)的載荷向量；x為系統(tǒng)的位移向量.對矩陣進行分塊處理，并且假定沒有載荷作用在從自由度上時，可以將運動方程寫為：

(13)

式中：下標m和s分別代表主自由和從自由度，Guyan減縮后可得質(zhì)量矩陣與剛度矩陣分別為：

(14)

(15)

式中：Ts為Guyan轉(zhuǎn)換矩陣.將Guyan法得到的減縮后質(zhì)量矩陣MR和剛度矩陣KR代入動力學方程得：

ω2MRxm=KRxm

(16)

考慮動力模型減縮方法，用動剛度表示的平衡方程為：

(17)

從自由度的選取應滿足沒有系統(tǒng)外部載荷輸入，即Fs=0，可得下述方程：

[Ksm-ω2Msm]xm+[Kss-ω2Mss]xs=0

(18)

此時，將方程(17)進行變形處理，用主自由度將從自由度表示出來，從而解得xm和xs之間的關系：

(19)

可得IRS法轉(zhuǎn)換矩陣為：

TIRS=-K-1Ksm+

(20)

在計算得到轉(zhuǎn)換矩陣TIRS后，很容易計算得到減縮后系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣:

(21)

(22)

式中：矩陣MIRS，KIRS分別為IRS法減縮后的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣.以此減縮后的模型數(shù)據(jù)來進行上述迭代響應計算.

1.4 迭代收斂條件

上述Tikhonov迭代正則化算法可用流程框圖表示，如圖1所示.

圖1 迭代算法流程圖

其中如何制定迭代誤差判斷迭代是否終止尤為重要.作為收斂準則，既要科學地體現(xiàn)響應對比的逼近程度，又要簡單易收斂，顯然收斂準則選擇得好與壞,將直接影響到算法是否收斂以及收斂得快與慢.本文用一種加權誤差來定義收斂準則[18]，如下:

(23)

式中：第1項為響應誤差與原始期望響應信號均方值的比值，反應了響應誤差在整個時間段上的相對大??；第2項為響應最大偏差與原始期望信號最大值之比，反應了響應信號中是否存在奇異點.由此可以看出，該迭代誤差定義為相對值，不受響應幅值影響，能比較科學地體現(xiàn)計算響應與原始期望響應的逼近程度，是一較好的收斂準則.

2 數(shù)值算例

為了驗證上述迭代法對Tikhonov正則化反求結果的優(yōu)化作用，以及模型減縮技術對迭代效率改善的正確性與有效性，下面給出幾種不同載荷形式的算例進行仿真對比分析.選用一塊帶約束的平板，在ABAQUS中建立如圖2所示的有限元模型,平板一邊兩端用螺栓夾緊固定，模型中平板的彈性模量為210GPa，密度為7.85g/cm3,厚度為4mm，邊長為500mm.

圖2 平板有限元模型

2.1 模型減縮應用及結果分析

為提高響應計算速度以及迭代效率，對該模型進行減縮降階，在確保模型精度不受影響的情況下，用近似的低階模型代替原來復雜的高階系統(tǒng)模型來進行迭代反求.對該有限元模型，質(zhì)量矩陣和剛度矩陣通過ABAQUS被直接導出，在模型上選取包括激振點與拾振點在內(nèi)共 176個節(jié)點，用IRS減縮法在MATLAB中對平板模型進行模型減縮，并用模態(tài)置信度(MAC值)分析減縮前后模型模態(tài)振型吻合程度，驗證該減縮模型的精度[20].

2.1.1 減縮前后振型對比

模態(tài)置信度(modalassurancecriterion,MAC)表達式如下：

(24)

式中：φri表示減縮后模型的第i階模態(tài)振型；φrj表示減縮后模型的第j階模態(tài)振型；φi表示原模型第i階模態(tài)振型；φj表示原模型第j階模態(tài)振型；T表示共軛轉(zhuǎn)置.MAC是一個元素值介于0～1之間的方陣，當其對角元素接近1，非對角元素接近0時，則可認為模型減縮前后的各階模態(tài)振型對應良好.

應用MAC矩陣，對比了模型減縮前后的前40階振型模態(tài)向量，如圖3所示，對角線上除個別點外，其余值為1；非對角值基本為0.可以認為減縮模型能夠較好保留原模型的柔性特征.

圖3 模型減縮前后MAC值

2.1.2 動響應計算效率分析

在載荷反求過程中往往需要反復多次求取系統(tǒng)響應，因此動響應計算效率是衡量反求實際效果的重要標準.分別對算例原模型、IRS減縮模型求動態(tài)響應，比較相同時間歷程的動態(tài)響應所消耗實際CPU時間，結果如圖4所示.

響應時間/s

圖4中，橫坐標表示不同響應時間歷程，縱坐標表示計算相應時間歷程的響應實際所需時間.具體數(shù)據(jù)如表1所示.

表1 減縮前后模型動響應計算時間

由此可見，相比于原模型，IRS減縮模型大大減少了動響應計算時間，因此，模型減縮很大程度上提高了計算效率，所需計算響應時間歷程越長，效果越明顯.在本文數(shù)十次迭代計算動態(tài)響應過程中，IRS模型減縮技術的應用將極大地提高迭代計算響應效率.

2.2 載荷反求對比分析

在板面節(jié)點308#施加垂直于板面的單位載荷，選取響應節(jié)點62#垂直板面方向速度作為響應(如圖2所示).首先計算載荷點到響應節(jié)點對應的Green函數(shù)；再以不同形式載荷下的響應，進行載荷反求；最后對仿真得到的響應數(shù)據(jù)加入一定水平的隨機噪聲來模擬測試誤差.此時帶噪聲的速度響應可用下式來表示:

Yδ(t)=Y(t)+lnoisestd(Y(t))rand(-1,1)

(25)

在速度響應中加入15%的模擬噪聲，首先用傳統(tǒng)的Tikhonov正則化方法進行載荷反求，以L曲線法確定最優(yōu)正則化參數(shù)，得到待求載荷，計算反求精度；再以此反求載荷，作為初始激勵載荷，用上述虛擬迭代方法修正載荷信號，進行反求優(yōu)化，以達到精度要求；最后對比優(yōu)化前后載荷反求精度.

選用不同頻率、不同幅值周期正弦、正弦掃頻(10～100Hz)、三角波以及隨機激勵等形式的激振力激振進行載荷反求，反求結果如圖5-圖9所示.

由圖5-圖9可以看出，對不同形式的激勵，在一定噪聲水平情況下，傳統(tǒng)的L曲線法確定最優(yōu)參數(shù)的Tikhonov正則化方法能夠很好地抑制噪聲對反求結果的干擾，具有很強的穩(wěn)健性.但在載荷峰值處，反求誤差較大，反求整體精度受影響，這主要是由于正則化方法對反求載荷有平滑的作用，使得該方法在載荷峰值難以得到準確的反求結果.Tikhonov正則化方法對這幾種載荷反求的加權誤差為8.0%左右.而本文提出的迭代Tikhonov正則化方法不僅能夠繼承傳統(tǒng)正則化方法反求結果穩(wěn)健性的優(yōu)點，同時還可以改善其在載荷峰值處反求結果，提高反求精度，反求結果加權誤差最低可降至2.0%.迭代Tikhonov正則化方法無論對確定信號還是隨機載荷激勵都有很好的反求精度，且對如圖9所示中的高頻載荷段迭代反求也有很高的精度.

時間/s

時間/s

時間/s

時間/s

時間/s

3 結 論

本文在傳統(tǒng)Tikhonov正則化反求方法的基礎上，提出了一種新的迭代改進方案.結合有限元算例和模型減縮技術，分別采用傳統(tǒng)Tikhonov方法和本文迭代方法對三角、正弦以及隨機載荷等激勵進行載荷反求.結果表明：

1)本文提出的基于Tikhonov正則化迭代反求方法不僅能夠繼承傳統(tǒng)Tikhonov正則化反求法有效抑制噪聲的特點，同時還可以提高其在峰值載荷處的反求精度，整體反求精度高；

2)應用模型減縮技術可以提高動響應求解效率，有助于載荷反求迭代過程的開展，最終又快又好的求得激勵載荷.

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Load Identification of Virtual Iteration Based on Tikhonov Regularization and Model Reduction

ZHANG Bangji，ZHOU Shouyu, XIE Qingxi?，ZHANG Nong

(State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body,Hunan University, Changsha 410082, China)

The model reduction technique was applied to solve the dynamic response. In order to make the system show the actual responses of the expected signals, the iteration procedure was then used to modify the load signals based on Tikhonov regularization load identification. Furthermore, the accuracy of the load signals was identified. The comparison of the proposed method with the traditional Tikhonov method shows that the proposed method can retain a good anti-noise characteristic, and improve the precision of load identification. The accuracy of the load identification by the proposed method is much higher than that of the traditional method.

load identification; regularization; virtual reduction; iterative methods

1674-2974(2017)02-0053-07

10.16339/j.cnki.hdxbzkb.2017.02.008

2016-02-22

國家自然科學基金資助項目(51675152),National Natural Science Foundation of China(51675152)

張邦基(1967-)，男，湖南益陽人，湖南大學教授，博士

?通訊聯(lián)系人，E-mail:xieqingxi000@escience.cn

TP391.9

A