液壓缸非線性剛度約束系統(tǒng)的混沌預測及控制

劉 彬 李 鵬 劉 飛 劉浩然 姜甲浩

1.燕山大學電氣工程學院，秦皇島，0660042.燕山大學信息科學與工程學院，秦皇島,066004

液壓缸非線性剛度約束系統(tǒng)的混沌預測及控制

劉 彬1李 鵬1劉 飛2劉浩然2姜甲浩1

1.燕山大學電氣工程學院，秦皇島，0660042.燕山大學信息科學與工程學院，秦皇島,066004

針對液壓缸非線性剛度約束系統(tǒng)的混沌問題，建立了一種液壓缸非線性剛度約束系統(tǒng)的動力學控制模型，通過Melnikov方法得到了液壓缸非線性剛度約束系統(tǒng)發(fā)生Smale馬蹄變換意義下混沌的臨界條件。通過仿真分析發(fā)現，當線性控制參數發(fā)生變化時，系統(tǒng)發(fā)生混沌的臨界條件也會發(fā)生變化，同時當線性控制參數增大時，系統(tǒng)的穩(wěn)定性會得到提高。

液壓缸；約束系統(tǒng)；Melnikov方法；混沌；控制

0 引言

在實際液壓系統(tǒng)中，整個系統(tǒng)所有的元部件都具有非線性，只是所呈現的程度略有不同，因此理想的線性系統(tǒng)是不存在的。在液壓系統(tǒng)中，含有許多非線性因素,例如閥的靜態(tài)特性、死區(qū)、飽和、非線性增益、齒隙和摩擦等，所以液壓系統(tǒng)是一個非線性動力學系統(tǒng)，其運行過程中因油液的可壓縮性而形成的動態(tài)液壓剛度、液壓剛度的非線性會使運動過程中系統(tǒng)的固有頻率不恒定，響應穩(wěn)定區(qū)域變得復雜，從而影響系統(tǒng)的穩(wěn)定運行[1-2]。

國內外學者對液壓系統(tǒng)動態(tài)特性的研究所依據的理論多是經典控制理論和線性動力學理論。其中，SEO等[3]采用反饋線性化控制液壓傳動系統(tǒng)，替代真實系統(tǒng)中非線性因素，同時改善了PID控制的精度和瞬態(tài)響應。傅曉云等[4]以某水下航行器舵機液壓伺服系統(tǒng)為研究對象，通過簡化建立了舵機液壓系統(tǒng)的線性化模型，對該液壓伺服系統(tǒng)的動態(tài)響應特性、抗干擾能力進行了仿真分析。文獻[5-7]以控制閥為研究對象，從單一元件的角度分析問題，探索了因控制閥相關參數的改變而引起的自激振動、分岔和混沌等非線性動力學行為[5-7]。王林鴻等[8-9]用混沌理論中的相空間重構、關聯(lián)維數和最大Lyapunov指數等非線性動力學研究方法，對貌似隨機的液壓缸運行的動態(tài)時間序列信號進行分析，揭示了其混沌振動特征。

本文以液壓缸非線性剛度約束作用下的系統(tǒng)為研究對象，建立了一種液壓缸非線性剛度約束系統(tǒng)的動力學控制模型，著重研究了液壓缸非線性剛度約束系統(tǒng)的混沌預測，同時引入線性控制參數，分析了線性控制參數對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

1 液壓缸非線性彈簧力

本文主要考慮一類雙作用單活塞液壓缸非線性剛度約束系統(tǒng)的振動特性，該種液壓缸只在活塞的一側裝有活塞桿，因而兩腔的有效面積不同，往返的運動速度和作用力也不相等，液壓缸活塞運動改變了兩腔液體的有效長度，引起了液壓油的剛度變化。由于活塞桿的彈性模量是液壓油彈性模量的近百倍，故可將活塞桿視為剛體，液壓缸等效剛度主要表現為液壓油的剛度。其變化規(guī)律為[8]

(1)

式中,a、b為液壓缸的工況參數；L為液壓缸的有效行程；βe為液壓油的體積模量；Ai為液壓缸活塞兩側的有效面積，i=1,2；L1為無桿腔的初始有效長度；x為系統(tǒng)顫振位移，為量綱一的量；Vil為閥與缸某一側之間液壓管路中液壓油的體積，i=1,2。

以式(1)所示的液壓缸動態(tài)剛度模型為例，對其在原點(液壓缸處于未工作狀態(tài)時活塞的位置，即活塞的初始位置)處進行泰勒級數展開：

(2)

式中，k1為無桿腔的等效剛度；k2為有桿腔的等效剛度。

彈簧彈性勢能U具有對稱性，可以表示為

(3)

則彈簧力可以表示為

(4)

彈簧力F1(x)可以表示為

F1(x)=κ1x+κ2x3

(5)

2 約束系統(tǒng)的動力學線性控制模型

考慮一類液壓缸非線性剛度約束作用，建立一類液壓缸非線性剛度約束作用下的系統(tǒng)動力學控制模型，如圖1所示，其中，m為系統(tǒng)的等效質量，c為系統(tǒng)的線性阻尼系數，k為系統(tǒng)的線性剛度系數，k(x)為液壓缸的非線性剛度，F為外激勵幅值，ηα為引入系統(tǒng)的控制輸入量，常數η為控制器輸入方向，α為控制器參數。根據廣義Lagrange原理，可以列出液壓缸非線性剛度約束系統(tǒng)量綱一動力學平衡方程如下：

(6)

圖1 系統(tǒng)動力學控制模型Fig.1 The dynamic control model of the system

圖1所示模型中考慮一類雙作用單活塞液壓缸非線性剛度k(x)的約束作用，同時系統(tǒng)加入線性控制輸入量ηα對系統(tǒng)進行反饋控制。

3 非線性剛度約束系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

為便于計算，將系統(tǒng)動力學方程(式(6))簡化成如下形式:

(7)

將式(7)寫為狀態(tài)方程形式：

(8)

其中,ε為一個小的量綱一參數。

當ε=0時，系統(tǒng)為一個Hamilton系統(tǒng)[10]，其Hamilton量為

(9)

由無阻尼未擾動方程

(10)

式(10)的微分形式為

(11)

可以得到系統(tǒng)的特征方程為

(12)

從而可得

(13)

由圖2可以看出：當τ<0、κ2>0時，系統(tǒng)有兩條同宿軌，同宿軌內部的奇點是中心，同宿軌內部的軌道是包圍一個中心的閉軌，而同宿軌外部的軌道是包圍三個奇點的閉軌。由圖3可以看出：當τ>0、κ2>0時，系統(tǒng)是一個單勢阱的系統(tǒng)，系統(tǒng)只有一個平衡點(0，0)——中心，此時系統(tǒng)做穩(wěn)定的周期運動，不存在Smale馬蹄意義下的混沌。因此，本文以下內容主要分析當τ<0、κ2>0時系統(tǒng)存在Smale馬蹄意義下混沌的情況。

(a)勢能曲面

(b)相軌跡圖2 當τ<0，κ2>0時系統(tǒng)的勢能曲面和相軌跡Fig.2 Potential energy surface and phase trajectory of the system when τ <0，κ2>0

(a)勢能曲面

(b)相軌跡圖3 當τ>0，κ2>0時系統(tǒng)的勢能曲面和相軌跡Fig.3 Potential energy surface and phase trajectory of the system when τ>0，κ2>0

4 系統(tǒng)的混沌預測

(14)

所以有

(15)

(16)

通過積分可得出兩條同宿軌道關于時間的表達式：

(17)

同宿軌道對應的Melnikov函數為

(18)

(19)

最后得到

(20)

當M(t0)=0時，可以得到

(21)

經過化簡可以得到

(22)

混沌無處不在，無時不有,只是它的顯現需要條件，當液壓系統(tǒng)超出所謂的常態(tài)時，液壓系統(tǒng)漸變或突變?yōu)榛煦鐮顟B(tài)。系統(tǒng)由常態(tài)轉變?yōu)榛煦绲呐R界值，稱為系統(tǒng)產生混沌的臨界條件。顯然，當式(23)成立時，所考慮的擾動系統(tǒng)具有Smale馬蹄變換意義下的混沌。據此可以計算出該系統(tǒng)發(fā)生混沌行為時的臨界參數值，進而根據系統(tǒng)參數與系統(tǒng)發(fā)生混沌的臨界條件關系，預測系統(tǒng)混沌的發(fā)生。

5 仿真分析

針對式(6)液壓缸非線性剛度約束作用下系統(tǒng)量綱一動力學平衡方程，取仿真參數m=1、c=0.3、k=0.2、κ1=-1.2、κ2=1、ω=1.2。以下對液壓缸非線性剛度約束作用下的系統(tǒng)混沌特性進行仿真分析。

5.1 混沌預測分析

根據式(22)所示的系統(tǒng)發(fā)生混沌的臨界條件關系，在其他參數不變情況下，選取不同的控制輸入量ρ，分析系統(tǒng)混沌臨界條件的變化規(guī)律。按照式(22)所示的混沌預測條件可計算得到控制參數ρ取不同值時的混沌發(fā)生條件，如表1所示。

表1 不同控制參數下的混沌條件Tab.1 Chaotic conditions under different control parameters

當選取不同控制參數ρ時，以外激勵幅值F為分岔參數，通過系統(tǒng)的分岔圖，分析不同控制參數下系統(tǒng)發(fā)生混沌的臨界條件。

從圖4～圖7可以看出，當控制參數ρ=-0.4時，系統(tǒng)分岔行為隨外激勵幅值F變化而變化。隨著外激勵幅值F的增大，系統(tǒng)的分岔行為如下：周期運動→陣發(fā)性混沌→倍周期運動→混沌運動。由表1可以看出，當控制參數ρ=-0.4時，計算得到系統(tǒng)發(fā)生Smale馬蹄變換意義下混沌的外激勵幅值條件為F≥0.2527，通過將此時的系統(tǒng)分岔圖與表1對照分析可知系統(tǒng)在F≥0.2527時進入混沌。

圖4 ρ=-0.4時的系統(tǒng)分岔圖Fig.4 System bifurcation diagram when ρ=-0.4

由圖5可以看出，當控制參數ρ=0時，系統(tǒng)分岔行為隨外激勵幅值F的變化而變化。隨著外激勵幅值F的增大，系統(tǒng)的分岔行為如下：周期運動→陣發(fā)性混沌→倍周期運動→混沌運動→倍周期運動→混沌運動。由表1可以看出，當控制參數ρ=0時，計算得到系統(tǒng)發(fā)生Smale馬蹄變換意義下混沌的外激勵幅值條件為F≥0.3182，通過將此時的系統(tǒng)分岔圖與表1對照分析可知系統(tǒng)在F≥0.3182時進入混沌。

由圖6可以看出，當控制參數ρ=0.4時，系統(tǒng)分岔行為隨外激勵幅值F變化而變化。隨著外激勵幅值F的增大，系統(tǒng)的分岔行為如下：周期運動→倍周期運動→混沌運動→倍周期運動→混沌運動。由表1可以看出，當控制參數ρ=0.4時，計算得到系統(tǒng)發(fā)生Smale馬蹄變換意義下混沌的外激勵幅值條件為F≥0.3914，通過將此時的系統(tǒng)分岔圖與表1對照分析可知系統(tǒng)在F≥0.3914時進入混沌。

圖5 ρ=0時的系統(tǒng)分岔圖Fig.5 System bifurcation diagram when ρ=0

圖6 ρ=0.4時的系統(tǒng)分岔圖Fig.6 System bifurcation diagram when ρ=0.4

結合表1的計算結果和圖4～圖6所示的分岔圖可知，隨著線性控制參數ρ的增大，系統(tǒng)發(fā)生混沌的臨界外激勵幅值F增大。

圖7 ρ變化時的分岔特性Fig.7 Bifurcation characteristic when the ρ changes

5.2 控制分析

圖7～圖10為線性控制參數ρ不同時系統(tǒng)的分岔特性圖。當F=0.3時，以線性控制參數ρ為分岔參數，通過系統(tǒng)的分岔圖、相圖和Poincare截面，分析系統(tǒng)隨線性控制參數ρ變化的規(guī)律。

從圖7可以看出，當線性控制參數ρ處于區(qū)間-0.5～1.5時，隨著線性控制參數ρ的增大，系統(tǒng)的分岔行為由混沌運動逐漸轉變?yōu)橹芷谶\動。在圖8～圖10中，當線性控制參數ρ=-0.2時，系統(tǒng)Poincare截面是一些有界的離散點集，表明系統(tǒng)是混沌運動。當線性控制參數ρ=0.22時，系統(tǒng)出現倍周期運動，而對應的Poincare截面為一個孤立的點。當線性控制參數ρ=0.4時，可看出系統(tǒng)相圖為一封閉曲線，在Poincare截面上表現為一孤立的點，說明此時系統(tǒng)為周期運動。

(a)相圖

(b)Poincare截面圖8 ρ=-0.2時系統(tǒng)的相圖和Poincare截面Fig.8 Phase diagram and Poincare section of the system when ρ=-0.2

結合圖7～圖10的分岔圖、相圖和Poincare截面可以發(fā)現，適當地增大系統(tǒng)的線性控制參數ρ，可以提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

6 結論

(1)考慮液壓缸的非線性剛度約束作用，建立了一種液壓缸非線性剛度約束系統(tǒng)的動力學控制模型。

(a)相圖

(b)Poincare截面圖9 ρ=0.22時系統(tǒng)的相圖和Poincare截面Fig.9 Phase diagram and Poincare section of the system when ρ=0.22

(a)相圖

(b)Poincare截面圖10 ρ=0.4時系統(tǒng)的相圖和Poincare截面Fig.10 Phase diagram and Poincare section of the system when ρ=0.4

(2)在此動力學控制模型的基礎上，建立了系統(tǒng)的量綱一動力學平衡方程，通過系統(tǒng)Melnkikov函數得到了系統(tǒng)發(fā)生Smale馬蹄變換意義下混沌的臨界條件。仿真分析了不同線性控制參數ρ對系統(tǒng)發(fā)生Smale馬蹄變換意義下混沌臨界條件的影響。

(3)分析了線性控制參數ρ變化下系統(tǒng)的分岔特性，得到了在一定范圍內，隨著線性控制參數ρ的增大，系統(tǒng)逐漸由混沌運動轉變?yōu)榉€(wěn)定的周期運動。研究結果為這一類液壓缸非線性約束系統(tǒng)的動力學控制提供了理論參考。

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(編輯 王艷麗)

Chaotic Prediction and Control of Hydraulic Cylinder Nonlinear Stiffness Constraint System

LIU Bin1LI Peng1LIU Fei2LIU Haoran2JIANG Jiahao1

1.School of Electrical Engineering, Yanshan University, Qinhuangdao, Hebei, 066004 2.School of Information Science and Engineering, Yanshan University, Qinhuangdao, Hebei,066004

For the chaos of nonlinear stiffness constraint system of a hydraulic cylinder, a kind of dynamic control model of hydraulic cylinder nonlinear stiffness constraint system was established. The critical conditions of chaos in nonlinear stiffness constraint system of the hydraulic cylinder in the sense of Smale’s horseshoe transformation were obtained by Melnikov method. Through simulation analyses, it is found that when the linear control parameters are changed, the critical conditions for the occurrence of chaos in the system will also change. At the same time, the stability of the system may be improved when the linear control parameters are increased.

hydraulic cylinder; constraint system; Melnikov method; chaos; control

2016-04-19

河北省自然科學基金資助項目(E2015203349)

TH113；O322

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.05.009

劉 彬，男，1953年生。燕山大學電氣工程學院教授、博士研究生導師。主要研究方向為軋機振動及測量技術。發(fā)表論文50余篇。E-mail：liubin@ysu.edu.cn。李 鵬，男，1990年生。燕山大學電氣工程學院碩士研究生。劉 飛，男，1986年生。燕山大學信息科學與工程學院博士研究生。劉浩然，男，1980年生。燕山大學信息科學與工程學院副教授。姜甲浩，男，1991年生。燕山大學電氣工程學院碩士研究生。