• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    第57屆IMO平面幾何題命題賞析

    2017-03-13 06:53:28江蘇省南京市鼓樓實(shí)驗(yàn)中學(xué)210000
    關(guān)鍵詞:名題平分線圓心

    江蘇省南京市鼓樓實(shí)驗(yàn)中學(xué) (210000) 陳 婧

    第57屆IMO平面幾何題命題賞析

    江蘇省南京市鼓樓實(shí)驗(yàn)中學(xué) (210000) 陳 婧

    圖1

    原題 如圖1,⊙O1與⊙O2相交于E、M兩點(diǎn),⊙O2與⊙O3相交于F、X兩點(diǎn),⊙O1與⊙O3相交于D、B兩點(diǎn),且三圓心O1、O2、O3不在同一條直線上.證明:直線BD、FX、ME三線共點(diǎn).

    證明:令BD與ME相交于點(diǎn)P,連結(jié)FP并延長FP,交⊙O2于點(diǎn)X1,交⊙O3于點(diǎn)X2,由相交弦定理,得PF·PX1=PM·PE=PB·PD=PF·PX2,即知PX1=PX2,故X1與X2是同一點(diǎn),這個點(diǎn)只能是⊙O2與⊙O3的公共點(diǎn)X,于是直線BD、FX、ME三線共點(diǎn)(這點(diǎn)稱為⊙O1、⊙O2、⊙O3的根心).

    這道經(jīng)典習(xí)題實(shí)質(zhì)就是著名的根心定理,此定理是全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試所要考察的重要定理.下面,讓我們來看看這道經(jīng)典名題是如何被比利時奧賽命題專家巧妙演繹為國際數(shù)學(xué)奧林匹克(IMO)平面幾何試題的.

    先將圖1特殊化:令⊙O1與⊙O2的半徑相等,并且點(diǎn)F、D在連心線O1O2上,點(diǎn)M與圓心O3重合(參見圖2).

    圖2

    再將特殊化后的圖2進(jìn)行演繹:

    連結(jié)EF、FB、EB、ED、DX、EX、MB、MF、MD、MX,注意到⊙O1與⊙O2是等圓并且分別關(guān)于直線FD、ME對稱,知四邊形EFMD是菱形,故∠FEM=∠DEM=∠FME=∠DME.

    令∠FEM=∠DEM=∠FME=∠DME=α,注意到點(diǎn)M與圓心O3重合,知∠BEM=∠MDB=∠MBD=∠DEM=∠FEM=α,∠XEM=∠MFX=∠MXF=∠FEM=∠DEM=α,故E、F、B三點(diǎn)共線,E、D、X三點(diǎn)共線.

    設(shè)直線FM交⊙O1于另一點(diǎn)A,交⊙O3于另一點(diǎn)C,連結(jié)AE、AD、AB、BC、CD,即知∠EAD=∠DAC=∠CAB=∠DCA=∠ABE=∠ADE=∠EDA=α,于是AC為∠DAB的平分線,AD為∠EAC的平分線,DA=DC,EA=ED,F(xiàn)A=FB,AC∥ED.

    注意到∠EAC=∠XMC=∠DAB=∠DBA=2α,即知DB=DA=DC(點(diǎn)D是ΔABC的外接圓圓心),AE∥MX,結(jié)合AC∥ED,知四邊形AMXE為平行四邊形.

    再注意到點(diǎn)M與圓心O3重合,即知M為線段CF的中點(diǎn),∠FBC=90°(ΔBCF是直角三角形).

    數(shù)學(xué)競賽的關(guān)鍵是命題,而命題的關(guān)鍵是創(chuàng)新.

    為創(chuàng)建一個陌生且全新的高水準(zhǔn)試題,可擦去⊙O1、⊙O2、⊙O3以及線段BM、線段O1O2的痕跡,于是2016年7月在中國香港舉行的第57屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克(IMO)的第1道賽題立即生成:

    賽題 在ΔBCF中,∠B為直角.在直線CF上取點(diǎn)A,使得FA=FB,且F在點(diǎn)A和C之間;取點(diǎn)D,使得DA=DC,且AC為∠DAB的平分線;取點(diǎn)E,使得EA=ED,且AD為∠EAC的平分線.設(shè)M為線段CF的中點(diǎn),取點(diǎn)X,使得AMXE為平行四邊形,AM∥EX,AE∥MX.證明:直線BD、FX、ME三線共點(diǎn).

    對于一些經(jīng)典名題與著名定理,作為參賽選手要能夠熟練應(yīng)用,而作為參賽選手的教練,不僅要指導(dǎo)學(xué)生會靈活運(yùn)用其解題,還要從三個方面著力思考:一是挖掘經(jīng)典名題與著名定理的深層內(nèi)涵嘗試進(jìn)行命題實(shí)踐,二是拓寬與推廣經(jīng)典名題與著名定理嘗試進(jìn)行命題實(shí)踐,三是向比利時奧賽命題專家學(xué)習(xí),對經(jīng)典名題與著名定理特殊化后不斷演繹,嘗試進(jìn)行命題實(shí)踐.

    輔導(dǎo)與命題是教練員的雙翼,缺一不可.

    [1]第57屆IMO試題[J].中等數(shù)學(xué),2016,8.

    [2]熊斌.第57屆IMO試題解答[J].中等數(shù)學(xué),2016,9.

    猜你喜歡
    名題平分線圓心
    二次曲線的一個類似圓心的性質(zhì)
    詠桂花
    玩轉(zhuǎn)角的平分線
    角平分線形成的角
    平面幾何兩個名題及其妙解
    多用角的平分線證題
    以圓周上一點(diǎn)為圓心作圓的圖的性質(zhì)及應(yīng)用
    折疊莫忘角平分線
    從課本例題走向世界名題
    數(shù)學(xué)美本質(zhì)上終究是簡單
    邻水| 波密县| 鹿泉市| 象州县| 陆川县| 逊克县| 杂多县| 建德市| 麻栗坡县| 循化| 勃利县| 北碚区| 甘德县| 科技| 喀喇| 陇南市| 德庆县| 措美县| 青岛市| 陆良县| 上蔡县| 霸州市| 新民市| 会东县| 特克斯县| 丰宁| 宜黄县| 景东| 中宁县| 玉林市| 蕲春县| 信丰县| 阿拉善左旗| 丹巴县| 台中市| 沭阳县| 宿迁市| 平原县| 洛隆县| 曲松县| 遂溪县|