第57屆IMO平面幾何題命題賞析

江蘇省南京市鼓樓實(shí)驗(yàn)中學(xué) (210000) 陳 婧

第57屆IMO平面幾何題命題賞析

江蘇省南京市鼓樓實(shí)驗(yàn)中學(xué) (210000) 陳 婧

圖1

原題 如圖1，⊙O1與⊙O2相交于E、M兩點(diǎn)，⊙O2與⊙O3相交于F、X兩點(diǎn)，⊙O1與⊙O3相交于D、B兩點(diǎn)，且三圓心O1、O2、O3不在同一條直線上.證明：直線BD、FX、ME三線共點(diǎn)．

證明：令BD與ME相交于點(diǎn)P，連結(jié)FP并延長FP，交⊙O2于點(diǎn)X1，交⊙O3于點(diǎn)X2，由相交弦定理，得PF·PX1=PM·PE=PB·PD=PF·PX2，即知PX1=PX2，故X1與X2是同一點(diǎn)，這個點(diǎn)只能是⊙O2與⊙O3的公共點(diǎn)X，于是直線BD、FX、ME三線共點(diǎn)(這點(diǎn)稱為⊙O1、⊙O2、⊙O3的根心)．

這道經(jīng)典習(xí)題實(shí)質(zhì)就是著名的根心定理，此定理是全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試所要考察的重要定理．下面，讓我們來看看這道經(jīng)典名題是如何被比利時奧賽命題專家巧妙演繹為國際數(shù)學(xué)奧林匹克(IMO)平面幾何試題的.

先將圖1特殊化：令⊙O1與⊙O2的半徑相等，并且點(diǎn)F、D在連心線O1O2上，點(diǎn)M與圓心O3重合(參見圖2).

圖2

再將特殊化后的圖2進(jìn)行演繹：

連結(jié)EF、FB、EB、ED、DX、EX、MB、MF、MD、MX，注意到⊙O1與⊙O2是等圓并且分別關(guān)于直線FD、ME對稱，知四邊形EFMD是菱形，故∠FEM=∠DEM=∠FME=∠DME．

令∠FEM=∠DEM=∠FME=∠DME=α，注意到點(diǎn)M與圓心O3重合，知∠BEM=∠MDB=∠MBD=∠DEM=∠FEM=α，∠XEM=∠MFX=∠MXF=∠FEM=∠DEM=α，故E、F、B三點(diǎn)共線，E、D、X三點(diǎn)共線．

設(shè)直線FM交⊙O1于另一點(diǎn)A，交⊙O3于另一點(diǎn)C，連結(jié)AE、AD、AB、BC、CD，即知∠EAD=∠DAC=∠CAB=∠DCA=∠ABE=∠ADE=∠EDA=α，于是AC為∠DAB的平分線，AD為∠EAC的平分線，DA=DC，EA=ED，F(xiàn)A=FB，AC∥ED．

注意到∠EAC=∠XMC=∠DAB=∠DBA=2α，即知DB=DA=DC(點(diǎn)D是ΔABC的外接圓圓心)，AE∥MX，結(jié)合AC∥ED，知四邊形AMXE為平行四邊形．

再注意到點(diǎn)M與圓心O3重合，即知M為線段CF的中點(diǎn)，∠FBC=90°(ΔBCF是直角三角形)．

數(shù)學(xué)競賽的關(guān)鍵是命題，而命題的關(guān)鍵是創(chuàng)新．

為創(chuàng)建一個陌生且全新的高水準(zhǔn)試題，可擦去⊙O1、⊙O2、⊙O3以及線段BM、線段O1O2的痕跡，于是2016年7月在中國香港舉行的第57屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克(IMO)的第1道賽題立即生成：

賽題 在ΔBCF中，∠B為直角．在直線CF上取點(diǎn)A，使得FA=FB，且F在點(diǎn)A和C之間；取點(diǎn)D，使得DA=DC，且AC為∠DAB的平分線；取點(diǎn)E，使得EA=ED，且AD為∠EAC的平分線．設(shè)M為線段CF的中點(diǎn)，取點(diǎn)X，使得AMXE為平行四邊形，AM∥EX，AE∥MX．證明：直線BD、FX、ME三線共點(diǎn)．

對于一些經(jīng)典名題與著名定理，作為參賽選手要能夠熟練應(yīng)用，而作為參賽選手的教練，不僅要指導(dǎo)學(xué)生會靈活運(yùn)用其解題，還要從三個方面著力思考：一是挖掘經(jīng)典名題與著名定理的深層內(nèi)涵嘗試進(jìn)行命題實(shí)踐，二是拓寬與推廣經(jīng)典名題與著名定理嘗試進(jìn)行命題實(shí)踐，三是向比利時奧賽命題專家學(xué)習(xí)，對經(jīng)典名題與著名定理特殊化后不斷演繹，嘗試進(jìn)行命題實(shí)踐．

輔導(dǎo)與命題是教練員的雙翼，缺一不可．

[1]第57屆IMO試題[J].中等數(shù)學(xué)，2016，8.

[2]熊斌．第57屆IMO試題解答[J].中等數(shù)學(xué)，2016，9.