兩道奧數(shù)題的簡潔解法

湖南省湘西州民族中學(xué) (416000) 劉文生

兩道奧數(shù)題的簡潔解法

湖南省湘西州民族中學(xué) (416000) 劉文生

本文給出2015年國際奧林匹克第5題與第6題的簡潔解法，供大家參考.

第5題 設(shè)R是全體實(shí)數(shù)的集合，求所有的函數(shù)f:R→R，滿足對任意實(shí)數(shù)x,y，都有f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)(1)

解：當(dāng)x=y=0時(shí)，由(1)得f(f(0))=0.據(jù)此，當(dāng)x=0,y=f(0)時(shí)，f(x+y)=f(f(0))=0，此時(shí)，(1)式成為f(0)+f(0)=f(0)f(0).

由此得f(0)=0或f(0)=2,當(dāng)f(0)=0時(shí)，令y=0，由(1)可知，對任意實(shí)數(shù)x，有f(x+f(x))=x+f(x)，顯而易見，f(x)=x.當(dāng)f(0)=2時(shí)，f(2)=f(f(0))=0，令y=0，由(1)可知,對任意實(shí)數(shù)x，有f(x+f(x))+2=x+f(x).

顯而易見x+f(x)=2，即f(x)=2-x.由上可知，所求函數(shù)為f(x)=x與f(x)=2-x.

第6題 整數(shù)序列a1,a2,……滿足下列條件：

(1)對每個(gè)整數(shù)j≥1，有1≤aj≤2015;

(2)對任意整數(shù)1≤k

證明：由(1)對每個(gè)整數(shù)j≥1，有1≤aj≤2015可知，存在正整數(shù)N,使得aN=2015.由(2)可知l>k時(shí)，al≥ak(由k+ak≠l+al，即al-ak≠k-l<0,所以al-ak≥0,al≥ak).

由上可知，題設(shè)中的10072可以改為任意的非負(fù)數(shù).