例析矛盾分析法在多變量數(shù)學(xué)問題中的運(yùn)用

西安交通大學(xué)蘇州附屬中學(xué) (215028) 王麗利

例析矛盾分析法在多變量數(shù)學(xué)問題中的運(yùn)用

西安交通大學(xué)蘇州附屬中學(xué) (215028) 王麗利

馬克思主義哲學(xué)原理告訴我們：矛盾存在于一切事物的發(fā)展過程中，一切事物都是運(yùn)動(dòng)的，在運(yùn)動(dòng)過程中存在著各種矛盾，它們的地位和作用又不盡相同，在矛盾系統(tǒng)中居于支配地位、對(duì)事物發(fā)展過程起決定作用的矛盾，我們稱為主要矛盾，其它矛盾則稱為次要矛盾.我們?cè)诰C合把握事物的矛盾系統(tǒng)時(shí)，一方面要注意整個(gè)事物中諸多矛盾的協(xié)同發(fā)展，另一方面又要分清主次，著重抓主要矛盾，這樣才能理清事物發(fā)展的主要線索.

矛盾分析法對(duì)數(shù)學(xué)解題具有重大的指導(dǎo)意義.在一個(gè)多變量數(shù)學(xué)問題中，我們選擇一個(gè)變量作為主要變量，而將其余變量當(dāng)作次要變量(或常數(shù))，通過對(duì)主要矛盾的研究、分析，確定解題方向，這種方法我們稱為主元法.

例1 (日本高考題)設(shè)不等式2x-1>m(x2-1)對(duì)滿足|m|≤2的一切m的值成立，求x的范圍.

分析:不等式mx2-2x+1-m<0中有兩個(gè)變量x，m，受思維定勢(shì)影響，我們習(xí)慣上把x作為主要變量，將不等式變形為mx2-2x+1-m<0，撇開不等式難解不說，即使解得x的范圍，也必然與m有關(guān)，因此你的解題才走到中途點(diǎn)，還要繼續(xù)考慮恒成立的條件，徹底擺脫變量m；如果由構(gòu)造函數(shù)y=mx2-2x+1-m，但x的范圍是解題目標(biāo)，也就是說你無法預(yù)先確定定義域，因而你構(gòu)造的是一座空中樓閣.

多次受挫，怎么辦？以m為主要變量如何？

原不等式變形為m(x2-1)-(2x-1)<0,令f(m)=(x2-1)m-(2x-1)(-2≤m≤2).

因此以m為主要變量構(gòu)造函數(shù)f(m)，情況大為改觀了，此時(shí)函數(shù)f(m)的定義域確定了，有了穩(wěn)固的大本營(yíng)，解題可以暢通無阻地推進(jìn)了.

例2 (課后習(xí)題改編)x、y、z∈R,在△ABC中，求證：x2+y2+z2≥2xycosC+2zxcosB+2yzcosA.

分析:本題中有六個(gè)變量x、y、z與A、B、C，可謂復(fù)雜.我們選擇x為主要變量，則原不等式整理為

x2-2(ycosC+zcosB)x+y2+z2-2yzcosA≥0.

抓住了主要矛盾，也就能駕馭事物的發(fā)展過程，因此只要驗(yàn)證上式的判別式△≤0.

△=4(ycosC+zcosB)2-4(y2+z2-2yzcosA)=4(-y2sin2C-z2sin2B+2yzcosBcosC+2yzcosA)=4[-y2sin2C-z2sin2B+2yzcosBcosC-2yzcos(B+C)]=4(-y2sin2C-z2sin2B+2yzsinBsinC)

=-4(ysinC-zsinB)2≤0.

評(píng)注:正是抓住了主要矛盾，一個(gè)復(fù)雜問題迎刃而解了.例2被稱為三角形鑲嵌不等式，通過取特殊值，我們可以成批地得到三角不等式.如：

例3 (全國(guó)競(jìng)賽題)求一切實(shí)數(shù)p，使三次方程5x3-5(p+1)x2+(71p-1)x+1=66p的三個(gè)根均為自然數(shù).

分析:原方程變形為5x3-5(p+1)x2+(71p-1)x+1-66p=0.即5x2(x-1)-(x-1)-p(5x2-71x+66)=0,(x-1)(5x2-1)-p(x-1)(5x-66)=0,(x-1)(5x2-5px+66p-1)=0.

很多選手都是這樣求解，實(shí)際上沒有捕捉到主要矛盾，本題的焦點(diǎn)是：兩根x1,x2均是自然數(shù)，因而x1,x2是優(yōu)先于p的主要變量，通過對(duì)x1,x2的分析，才能更好地確定解題方向.

由②③消去p得5x1x2=66(x1+x2)-1,即(5x1)(5x2)=66(5x1+5x2)-5,(5x1-66)(5x2-66)=1×4351=19×229=(-1)×(-4351)=(-19)×(-229),故5x1-66與5x2-66是4351的約數(shù)，共可列出8個(gè)方程組，易得p=76，滿足①，即存在唯一實(shí)數(shù)p=76，使原方程有三個(gè)自然數(shù)解.

在日常教學(xué)中,引導(dǎo)學(xué)生接觸哲學(xué),教會(huì)學(xué)生利用哲學(xué)的思想方法解決數(shù)學(xué)問題,這對(duì)于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率、培養(yǎng)適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格與關(guān)鍵能力都是很有好處的.培養(yǎng)學(xué)生的探究精神和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中逐步形成的，不能只流于形式和口號(hào)，而要扎扎實(shí)實(shí)地落實(shí)在教師的教學(xué)實(shí)踐和學(xué)生學(xué)習(xí)的每一個(gè)環(huán)節(jié)、每一處細(xì)節(jié)之中.