借用成語感悟解題

江蘇省新沂市第一中學(xué)高二(13) (221400) 晏一箐

借用成語感悟解題

江蘇省新沂市第一中學(xué)高二(13) (221400) 晏一箐

進(jìn)入高中近兩年時(shí)間了，數(shù)學(xué)新課已學(xué)習(xí)大半，總感覺就是前學(xué)后忘，沒有章法，老師還會在班上經(jīng)常說：一道數(shù)學(xué)題目評講過、練習(xí)過多次，可當(dāng)再次出現(xiàn)時(shí)，為什么還會出錯？作為學(xué)生自己也很苦惱.偶然的機(jī)會發(fā)現(xiàn)語文老師上課很喜歡用成語，感覺有些成語可以加深數(shù)學(xué)題的理解，借用成語感悟數(shù)學(xué)的解題過程就能產(chǎn)生“碰撞”，“碰撞”越猛烈，認(rèn)識就越深刻.簡述之.

一、看似“規(guī)范嚴(yán)謹(jǐn)”，實(shí)則“漏洞百出”

題目1 求過點(diǎn)(0,1)的直線，使它與拋物線y2=2x僅有一個(gè)交點(diǎn).

錯因分析：此處解法共有三處錯誤：

第一，設(shè)所求直線為y=kx+1時(shí)，沒有考慮k=0與斜率不存在的情形，實(shí)際上就是承認(rèn)了該直線的斜率是存在的，且不為零，這是不嚴(yán)密的.

第二，題中要求直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，它包含相交和相切兩種情況，而上述解法沒有考慮相切的情況，只考慮相交的情況.原因是對于直線與拋物線“相切”和“只有一個(gè)交點(diǎn)”的關(guān)系理解不透.

第三，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立后得一個(gè)一元二次方程，要考慮它的判別式，所以它的二次項(xiàng)系數(shù)不能為零，即k≠0,而上述解法沒作考慮，表現(xiàn)出思維不嚴(yán)密.

正確解法：①當(dāng)所求直線斜率不存在時(shí)，即直線垂直x軸，因?yàn)檫^點(diǎn)(0,1)，所以x=0,即y軸，它正好與拋物線y2=2x相切.

②當(dāng)所求直線斜率為零時(shí)，直線為y=1平行x軸，它正好與拋物線y2=2x只有一個(gè)交點(diǎn).

二、看似“眼花繚亂”,實(shí)則“有章可循”

題目2 已知函數(shù)f(x)的定義域D={x|x≠0}，且滿足對于任意的x1，x2∈D，有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).

(1)求f(1)的值；

(2)判斷f(x)的奇偶性并證明；

(3)如果f(4)=1，f(3x+1)+f(2x-6)≤3，且f(x)在(0，+∞)上是增函數(shù)，求x的取值范圍.

思維引導(dǎo)：

(2)f(x)為偶函數(shù)，證明如下：令x1=x2=-1，得f[(-1)×(-1)]=f(-1)+f(-1)，解得f(-1)=0.令x1=-1，x2=x，得f(-x)=f(-1)+f(x)，所以f(-x)=f(x)，所以f(x)為偶函數(shù).

(3)由題設(shè)得f(4×4)=f(4)+f(4)=2，f(16×4)=f(16)+f(4)=3.由f(3x+1)+f(2x-6)≤3，變形為f[(3x+1)(2x-6)]≤f(64).(*)

因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f(-x)=f(x)=

精要點(diǎn)評：抽象函數(shù)的奇偶性就是要判斷-x對應(yīng)的函數(shù)值與x對應(yīng)的函數(shù)值之間的關(guān)系，從而得到函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)或y軸對稱.在利用單調(diào)性解決抽象不等式時(shí)，不僅要注意單調(diào)性的應(yīng)用，還要注意定義域的限制，以保證轉(zhuǎn)化的等價(jià)性.

三、看似“一帆風(fēng)順”，實(shí)則“暗藏殺機(jī)”

正確解法1：y=2csc2x+8sec2x=2(1+cot2x)+8(1+tan2x)=10+2(cot2x+4tan2x)≥10+

精要點(diǎn)評：簡單的均值不等式的應(yīng)用，但卻包含了一些容易被忽視的問題,我們對此進(jìn)行逐字逐句的分析發(fā)現(xiàn)，在用均值不等式求最值時(shí)，必須把握三點(diǎn)：一正、二定、三等，三個(gè)條件缺一不可，在利用均值不等式求最值時(shí)，必須死摳這六個(gè)字，并非一帆風(fēng)順，實(shí)則暗藏殺機(jī).

四、不經(jīng)“千錘百煉”，怎能“千古流芳”

五、沒有“咬文嚼字”，哪有“成功彼岸”

(1)設(shè)進(jìn)水量選用第n級，寫出在t時(shí)刻水的存有量；

(2)問進(jìn)水量選擇第幾級，既能保證該廠用水(水塔中水不空)又不會使水溢出.

審題中咬文嚼字：題目涉及的關(guān)鍵詞比較多：生活用水量、工業(yè)用水量、水的存有量、進(jìn)水量、原有量.其數(shù)量關(guān)系為：存有量=進(jìn)水量-用水量+原有量，而用水量=生活用水量+工業(yè)用水量.第一問的關(guān)鍵點(diǎn)是求“進(jìn)水量選用第n級”.第二問的關(guān)鍵點(diǎn)是“水塔中水不空不溢”轉(zhuǎn)化為“存有量∈(0，300)”.

精要點(diǎn)評：學(xué)習(xí)不喜歡“咬文嚼字”，拿到一道題之后，匆匆忙忙過目一下，在還沒有完全理解題意的時(shí)候，就解題了，往往是速度快，正確率低.只有在解題過程中養(yǎng)成仔細(xì)推敲，耐心思考的習(xí)慣.要善于抓住題目中關(guān)鍵的字、詞或句，準(zhǔn)確理解其表達(dá)的意義，才能真正理解題意，才能達(dá)到成功彼岸.

六、只有“舉一反三”，方可“觸類旁通”

題目6 求與圓O1:(x+1)2+y2=16相內(nèi)切，且經(jīng)過定點(diǎn)A(1，0)的動圓圓心P的軌跡方程.

圖1

分析：如圖1，由于|PO1|+|PA|=|PO1|+

變題1 求與圓O1:(x+1)2+y2=16相外切，且經(jīng)過定點(diǎn)A(5，0)的動圓圓心P的軌跡方程.

分析：此題動圓圓心P的軌跡是以O(shè)1，A為焦點(diǎn)的雙曲線的右支.

變題2 求與圓O1:(x+1)2+y2=16相外切，且經(jīng)過定點(diǎn)A(-6，0)的動圓圓心P的軌跡方程.

分析：此題動圓圓心P的軌跡是以O(shè)1，A為焦點(diǎn)的雙曲線的左支.

變題3 求與圓O1:(x+1)2+y2=16相切，且經(jīng)過定點(diǎn)A(m，0)的動圓圓心P的軌跡方程.

分析：(1)當(dāng)-53時(shí)，①若動圓與圓O1相外切，則P的軌跡是以O(shè)1，A為焦點(diǎn)的雙曲線的右支；②若動圓與圓O1相內(nèi)切，則P的軌跡是以O(shè)1，A為焦點(diǎn)的雙曲線的左支；②若動圓與圓O1相內(nèi)切，則P的軌跡是以O(shè)1，A為焦點(diǎn)的雙曲線的右支；

變題4 求與圓O1:x2+(y-2)2=1相外切且與直線y=-1相切的動圓圓心P的軌跡方程.

分析：此題動圓圓心P的軌跡為拋物線.

變題5 求與兩定圓O1:(x+5)2+y2=49和圓O2：(x-5)2+y2=1都相外切的動圓圓心P的軌跡方程.

分析：此題動圓圓心P的軌跡為雙曲線的一支.

精要點(diǎn)評：改變題目的條件和結(jié)論或變換其形式與內(nèi)容，使問題發(fā)展和深化，不同方向來理解問題的實(shí)質(zhì)，到廣闊的范圍中探求“新”的數(shù)學(xué)知識，真正起到“舉一反三、觸類旁通”的作用.

與老師的交流中，老師的一段話讓我記憶猶新：現(xiàn)在數(shù)學(xué)在高中教育中的地位越來越高，好多人包括一些老師，都認(rèn)為學(xué)好數(shù)學(xué)要靠多做題目，其實(shí)這是誤區(qū)，許多學(xué)生做了千千萬萬的題目，用的功夫，吃的苦都不少，學(xué)習(xí)成績就是上不來，其實(shí)學(xué)數(shù)學(xué)最重要的是掌握了一種解題方法，就猶如擁有了一張網(wǎng).所以，“學(xué)數(shù)學(xué)”與“學(xué)好數(shù)學(xué)”的區(qū)別就在于你是擁有了一條魚，還是擁有了一張網(wǎng).這樣才萬變不離其宗旨，以不變應(yīng)萬變.