一道模擬調(diào)研填空題的多視角求解

江蘇省常州市田家炳高級(jí)中學(xué) (213000) 徐 穎

一道模擬調(diào)研填空題的多視角求解

江蘇省常州市田家炳高級(jí)中學(xué) (213000) 徐 穎

美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說(shuō)過(guò)，掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題.當(dāng)遇到一個(gè)新問(wèn)題，總想用熟悉的題型去“套”，這僅僅只是解出來(lái)，并沒(méi)有真正意義上弄懂它，只有對(duì)數(shù)學(xué)思想方法理解透徹，會(huì)舉一反三時(shí)，才能提出新看法、巧解法.近年數(shù)學(xué)高考十分重視對(duì)于數(shù)學(xué)思想方法的考查，尤其突出對(duì)能力的考查，其解答過(guò)程都蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法.我們要有意識(shí)地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法去分析問(wèn)題、解決問(wèn)題.高中數(shù)學(xué)思想方法有很多，這里重點(diǎn)說(shuō)說(shuō)換元法.

換元法又稱為“變量代換法、輔助元素法”.換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等價(jià)代換，目的是變換對(duì)象，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化在新對(duì)象的知識(shí)背景下去研究， 把分散的條件聯(lián)系起來(lái)，把隱含的條件顯露出來(lái)，把條件和結(jié)論聯(lián)系起來(lái)，把非標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化，復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，陌生問(wèn)題熟悉化[1].本文將以南通等市的2016屆高三調(diào)研卷上的一道填空題為例，淺談幾種換元法的妙用.

1.試題呈現(xiàn)

2.解法探究

2.1 目標(biāo)換元法

處理最值時(shí)，通常將目標(biāo)函數(shù)看作一個(gè)未知變?cè)?，通過(guò)它與已知條件建立等式或不等式.

注意，當(dāng)u=4時(shí)，8u2+(4-6t)u+t2=t2-24t+144=(t-12)2≥0,故只需要

評(píng)注：本解法實(shí)際上經(jīng)過(guò)了2次換元，第1次從目標(biāo)函數(shù)入手，通過(guò)消元，建立t,x的新關(guān)系；第2次換元是降次，關(guān)于x的四次方程難以解決，于是考慮換元成熟悉的二次，但在此過(guò)程中，需要再次注意新元的范圍，后面是一個(gè)二次方程有解問(wèn)題，易錯(cuò).開(kāi)頭的目標(biāo)換元應(yīng)該是學(xué)生比較容易想到的，在線性規(guī)劃這塊用得較多.雖然入手容易，但是后面較難解決.所以很多學(xué)生半途而廢.

2.2 “1”的妙用

分析：注意到所求的表達(dá)式是二次齊次式，而題意條件給出也是齊次式，還是常數(shù)1，于是考慮用“1的代換”.

2.3 比值換元[2]

如果已知條件為比例式子或者可以看作比例，那么用比值代入可使其簡(jiǎn)化.本題給出的條件是二元齊次式，不妨引入?yún)?shù)k，考慮用正比例函數(shù)將兩個(gè)變量的依存關(guān)系表示出來(lái)，從而使二元變量的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一元變量的最值.

2.4 三角換元

2.5 和差換元

若x,y∈R,則可設(shè)x=a+b,y=a-b,特別地，若x+y=2a,則可設(shè)x=a+t,y=a-t,(t∈R)，這樣的換元我們稱之為和差換元.

2.6 極坐標(biāo)換元

3x2-2xy=3(ρcosθ)2-2ρcosθ·ρsinθ

=ρ2(3cos2θ-2cosθ·sinθ)

評(píng)注：轉(zhuǎn)換視角，置于不同的坐標(biāo)系，有創(chuàng)意！這個(gè)解法精妙之處在于題干和所求均為齊二次式，否則處理難度便會(huì)加大.極坐標(biāo)變換是理科生學(xué)習(xí)的內(nèi)容，所以這個(gè)解法對(duì)于文科生的學(xué)習(xí)能力要求較高.

2.7 局部換元

3.解題反思

至此，筆者給出了一道調(diào)研模擬題的7種換元解法.在分析問(wèn)題時(shí)，需要關(guān)注條件及所求結(jié)論的特點(diǎn)和相互聯(lián)系，從不同視角尋找問(wèn)題的突破口. 我們使用換元法解題時(shí)要注意以下兩點(diǎn)：(1)選擇合適的變量進(jìn)行換元，要遵循有利于運(yùn)算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則；(2)換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對(duì)應(yīng)于原變量的取值范圍，要注意挖掘隱含的限制條件，還要根據(jù)題設(shè)條件來(lái)進(jìn)一步驗(yàn)證. 換元引參思想內(nèi)涵豐富，如果學(xué)生能掌握上述這些方法，以后遇到類似的二元變量最值問(wèn)題就可以順利解決了.

[1]陳躍. 淺談?chuàng)Q元法在求最值問(wèn)題中的應(yīng)用[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2015(19)：119.

[2]傅建紅.從一道高考題看二元條件最值問(wèn)題的求解策略[J].數(shù)學(xué)教育研究.2011(5)，55-56.