關(guān)于高中數(shù)學(xué)新舊教材“集合概念”編寫方式的比較分析

重慶市渝中區(qū)教師進修學(xué)院 (400015) 王躍輝

關(guān)于高中數(shù)學(xué)新舊教材“集合概念”編寫方式的比較分析

重慶市渝中區(qū)教師進修學(xué)院 (400015) 王躍輝

集合論的語言是數(shù)學(xué)通用的標(biāo)準(zhǔn)化語言，集合的理論已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論．因此，不論是《全日制普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)教科書》(以下簡稱舊教材)，還是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書》(以下簡稱新教材)，都把它作為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的第一個內(nèi)容來安排．但是，新舊教材在處理“集合”概念這一內(nèi)容時，由于其描述方式和編寫方式的不同，導(dǎo)致教師的教學(xué)理念和學(xué)生的學(xué)習(xí)理解也會發(fā)生變化．為幫助教師更好地分析、理解教材和創(chuàng)造性地使用教材，在課堂教學(xué)中更好地體現(xiàn)新課程理念，達成課程預(yù)期目標(biāo)，本文將對其進行比較分析，進而給出在新課程背景下“集合”概念教學(xué)的一種設(shè)計流程圖，供大家教學(xué)時參考．

1．集合知識編排的處理分析

眾所周知，由于集合論具有高度的抽象性和概括性，因而學(xué)生很難對其理解、掌握和應(yīng)用．為了解決這些問題，現(xiàn)行的中小學(xué)數(shù)學(xué)教材把集合論的知識分成三個階段，讓學(xué)生逐步理解和掌握．

在小學(xué)階段，教材主要采用滲透集合思想的方式，用集合的圖示法讓學(xué)生直觀理解和體會集合思想方法的作用．如，小學(xué)在講數(shù)的加法時就用了集合的并集思想，在講數(shù)的減法時就用了集合的差集思想，而在講兩數(shù)的最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)時則用了集合的交集思想．在初中階段，教材進一步向?qū)W生介紹一些具體的集合，并用集合來定義數(shù)學(xué)概念，但不涉及集合的意義，只要求學(xué)生對集合有比較具體的認(rèn)識即可．如，在初中代數(shù)中向?qū)W生介紹了“自然數(shù)的集合”、“有理數(shù)的集合”、“不等式解的集合”等，在平面幾何中講圓的概念和線段的垂直平分線的概念時，都用集合來定義．到了高中階段，教材才讓學(xué)生系統(tǒng)地學(xué)習(xí)集合論的初步知識．這種螺旋式上升的處理方式既考慮了各個階段學(xué)生的年齡特點和心理特征，又考慮了學(xué)生的認(rèn)知水平和能力，對于學(xué)生理解和掌握集合起到了很好的作用．

2．集合概念描述的比較分析

集合是一個原始概念，不能用其它數(shù)學(xué)概念來加以嚴(yán)格定義，只能用自然語言給予描述和解釋．由于人們理解的角度不同，因而就有不同的描述或解釋方式，新舊教材也正好反映了這一事實．其中，舊教材把集合表述為“某些指定的對象集在一起就成為一個集合，簡稱集．集合中的每一個對象叫做這個集合的元素．”而新教材則把集合表述為“我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合，簡稱集．”這兩種表述，哪一種更能反映集合的本質(zhì)屬性，更有利于學(xué)生對集合概念的理解和掌握呢？試做如下比較分析：

從形式上看：一是兩種方式中集合與元素的描述順序相反．舊教材需要學(xué)生先把“對象”轉(zhuǎn)化為“元素”才能理解“集合”的概念，給學(xué)生造成理解障礙，而新教材卻不需要學(xué)生去進行這種“轉(zhuǎn)化”；二是舊教材的表述直觀，易被學(xué)生接受，而新教材的表述過于簡單，比較抽象，不如舊教材的表述直觀；三是新教材采用了“…叫做…”的表述方式，這是在對數(shù)學(xué)概念下定義，“描述”和“解釋”的味不如舊教材．

從內(nèi)容上看：一是舊教材用“集”來說明什么是“集”，其中前一個“集”是動詞，后一個“集”是名詞．這種多義詞在一個數(shù)學(xué)概念描述中同時出現(xiàn)，容易引起歧義，也有循環(huán)定義之嫌，不利于學(xué)生理解其概念；二是新教材的表述中，也存在兩個問題：首先是量詞“一些”用法不準(zhǔn)確，從字面上理解“一些”應(yīng)該是不止一個且有限，而集合中的元素個數(shù)可以只有一個或有限個(兩個以上)，甚至是有無限個，集合中也還可以不含任何元素；其次是定義中的“一些元素”沒有要求“具有某種共同屬性”，不能很好地反映集合的本質(zhì)屬性，容易使學(xué)生對“集合”概念造成錯誤的認(rèn)識．

為此，建議教材編寫者在對教材修訂時采用這樣一些描述方式： “一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，把某些確定的元素合在一起就成為一個集合”、“ 一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，把滿足某種條件的元素合在一起就成為一個集合”、“一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，把具有某種屬性的元素并在一起就成為一個集合”，……．

3．教材編寫方式的比較分析

3．1 開章引言的比較分析

新教材在開章引言中簡明扼要地對集合的本質(zhì)、地位和作用做了一些具體說明，讓學(xué)生了解集合論是數(shù)學(xué)研究的一個基本工具，使學(xué)生明白將要學(xué)習(xí)的集合知識對數(shù)學(xué)的后續(xù)學(xué)習(xí)的重要性．

舊教材在開章引言中以問題“學(xué)校舉辦了一次運動會，某班有8名同學(xué)參賽；又舉辦了一次球類運動會，這個班有12名同學(xué)參賽，兩次運動會這個班共有多少名同學(xué)參賽？”著手，讓學(xué)生通過問題的解決了解將要學(xué)習(xí)的新知識是與生活有關(guān)的，它可以幫助我們解決生活中類似的問題．這個問題情境的設(shè)計，較好體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)對教材編寫的建議:“教材應(yīng)注意創(chuàng)設(shè)情境,從具體實例出發(fā),展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識發(fā)生,發(fā)展的過程,使學(xué)生能夠從中發(fā)現(xiàn)問題,提出問題,經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程,了解知識的來龍去脈.”不僅讓學(xué)生一進入高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就明白高中數(shù)學(xué)知識是有用的，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的求知欲，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自覺性，而且也在小學(xué)數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)之間建立了一定的聯(lián)系，使小學(xué)數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的銜接自然、流暢．

由上可知，新教材重理論體系，給學(xué)生傳遞的信息是為了學(xué)好后繼知識而學(xué)數(shù)學(xué)．舊教材盡管僅以“集合的初步知識是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)”一帶而過，沒有對其進行具體闡述，但是所給問題情境卻把新知識與生活聯(lián)系了起來，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與生活的關(guān)系，發(fā)展了學(xué)生的應(yīng)用意識，凸顯了數(shù)學(xué)向生活世界回歸．因此，在開章引言的處理方式上舊教材比新教材要好．

3．2 正文編寫的比較分析

舊教材首先指出：“在初中數(shù)學(xué)中，我們已經(jīng)接觸過‘集合’一詞．”然后列舉了初中數(shù)學(xué)代數(shù)和幾何中的一些具體集合，最后給出集合概念的描述．

新教材則是首先指出：“在小學(xué)和初中，我們已經(jīng)接觸過一些集合．”然后列舉了初中數(shù)學(xué)代數(shù)和幾何中的一些具體集合，同時還從數(shù)學(xué)的角度、生活的角度、生產(chǎn)的角度和科技的角度等列舉了8個集合的例子，然后給出集合概念的描述．

下面就這兩種不同的處理方式做如下分析：

第一，兩種教材都注重初高中數(shù)學(xué)知識的銜接，新教材還注意新知識與小學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系，但兩種教材的導(dǎo)言都存在表述不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)那闆r．一方面，從前面對中小學(xué)數(shù)學(xué)教材中集合內(nèi)容的處理方式分析可知，在小學(xué)只是向?qū)W生滲透了集合的思想方法，學(xué)生在運用集合思想方法的過程中并沒有“接觸過一些集合”；另一方面，學(xué)生在初中數(shù)學(xué)中不僅知道了一些具體的集合，而且還知道了一些用集合定義的數(shù)學(xué)概念，不僅僅只是“接觸過‘集合’一詞”．

第二，兩種教材都關(guān)注學(xué)生的已有知識經(jīng)驗，尤其是新教材還關(guān)注學(xué)生的生活經(jīng)驗．因此，它們都要求教師的教學(xué)要從學(xué)生的已有經(jīng)驗出發(fā)，通過對已有的一些具體集合實例的分析與研究，去揭示集合的本質(zhì)屬性．

第三，兩種教材都采用特殊與一般的方法來編寫，注重對數(shù)學(xué)思想方法的滲透．它要求教師的教學(xué)要從具體實例中抽象概括出集合的概念，向?qū)W生滲透特殊與一般的數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生經(jīng)歷概念的抽象概括過程．

由上可知，舊教材從例子到集合概念是一個從數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué)的過程，它關(guān)注的是學(xué)科本身．盡管它對學(xué)生的數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)有一定的幫助，但缺少數(shù)學(xué)與生活、與社會、與相關(guān)學(xué)科和與科技領(lǐng)域等的聯(lián)系．陶行之先生說：“沒有生活做中心的教育是死教育．沒有生活做中心的學(xué)校是死學(xué)校．沒有生活做中心的書本是死書本．”然而，新教材在這方面卻做了很好的彌補．這兩種不同的編寫方式也正反映了兩種不同的教材觀．

4．教學(xué)設(shè)計流程建議

根據(jù)以上分析，我們給出如下圖所示的教學(xué)設(shè)計流程圖，供大家教學(xué)時參考．

第一步，創(chuàng)設(shè)問題情境：教師根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗創(chuàng)設(shè)一個能采用集合的圖示法解決的問題，以此引出本節(jié)課的課題．

第二步，列舉集合實例：包括日常生活、相關(guān)學(xué)科、科技領(lǐng)域等方面的例子．

第三步，研究集合中的對象：主要讓學(xué)生通過對所列集合實例的研究，揭示集合的本質(zhì)屬性，讓學(xué)生明確“集合”與組成集合的“元素”具體是什么對象無關(guān)緊要，但同一個集合中的元素都具有共同的屬性或滿足相同的條件，為概念的形成做準(zhǔn)備．

第四步，描述集合概念：要求學(xué)生采用特殊與一般的方法給出集合的描述性定義．