初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中抽象思維能力的培養(yǎng)
——以函數(shù)概念教學(xué)為例

戴 旭

(渤海大學(xué) 教育與體育學(xué)院，遼寧 錦州 121000)

初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中抽象思維能力的培養(yǎng)
——以函數(shù)概念教學(xué)為例

戴 旭

(渤海大學(xué) 教育與體育學(xué)院，遼寧 錦州 121000)

數(shù)學(xué)抽象思維能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)概念教學(xué)是培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象思維能力的重點(diǎn)。八年級(jí)是學(xué)生形象思維能力與抽象思維能力的過渡階段，函數(shù)概念教學(xué)是初中教師需要關(guān)注的教學(xué)重點(diǎn)，也是培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力的最好時(shí)機(jī)。

抽象思維；函數(shù)概念；函數(shù)教學(xué)；思維能力；培養(yǎng)

初中生在對(duì)知識(shí)的理解方面大多數(shù)是接近本質(zhì)的或者可以作出自己理解的一些解釋。他們往往可以將之前學(xué)過的具體實(shí)例抽象成可以用數(shù)學(xué)語言來描述的問題。八年級(jí)以后可以很好地掌握一些抽象概念的本質(zhì)屬性，也就是說在知識(shí)理解以及教學(xué)的過程中，需要更加恰當(dāng)?shù)匕l(fā)展學(xué)生的抽象思維，為以后的學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。抽象思維就是讓學(xué)生學(xué)會(huì)將感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，通過具體實(shí)例的抽象概括過程。

概念教學(xué)是數(shù)學(xué)知識(shí)的細(xì)胞，也是初中學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中賴以思維的基礎(chǔ)。本文以“函數(shù)”概念教學(xué)為例，說明在抽象思維能力培養(yǎng)過程中采取的方式以及需要注意的問題。

一、概念教學(xué)中的抽象思維能力培養(yǎng)

概念教學(xué)是一種教學(xué)類型，教師在教學(xué)中常常機(jī)械地灌輸給學(xué)生概念的定義，讓學(xué)生直接背下來，這讓學(xué)生在接受知識(shí)時(shí)，客觀地知道知識(shí)的存在，卻沒有理解知識(shí)的來源，而且學(xué)生的思維培養(yǎng)在概念教學(xué)中更加重要。首先，初中生對(duì)數(shù)學(xué)概念的深刻理解具有惰性、連續(xù)性、順序性和遲緩性，這就需要教師對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維的引導(dǎo)。其次，初中生對(duì)數(shù)學(xué)概念的深刻理解主要是和上位概念、上上位概念聯(lián)系，然后再聯(lián)系到上位概念相關(guān)概念的下位概念，從而形成一個(gè)多次歸納總結(jié)的過程，這樣與之前所學(xué)知識(shí)進(jìn)行聯(lián)系時(shí)，就需要著重培養(yǎng)學(xué)生對(duì)已有知識(shí)轉(zhuǎn)化的認(rèn)識(shí)。

在概念教學(xué)中,仍然存在很多問題。教師過度地追求獨(dú)特的教學(xué)方式而忽略學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的掌握。思維能力在數(shù)學(xué)中是一種抽象性很強(qiáng)的能力，一些教師為了訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，過度重視不同的解決問題模式而忽略方法的歸納與總結(jié)。學(xué)生思維能力中的抽象思維就是要讓學(xué)生通過大量的實(shí)際例子來形成自己思維中可以調(diào)動(dòng)的知識(shí)。要知道抽象并不等于憑空想象，現(xiàn)實(shí)中的具體實(shí)例就是過渡到抽象概念的一個(gè)必經(jīng)之路。也就是說，概念教學(xué)中應(yīng)該著重培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力。

二、函數(shù)概念教學(xué)中知識(shí)性的抽象思維能力培養(yǎng)

小學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備很少，所以需要運(yùn)用具體形象思維進(jìn)行教學(xué)。但在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中要把握好運(yùn)用形象思維與抽象思維的度，從數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)來看，在初中階段最終還是要培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力。

把“函數(shù)”(北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第四章第一節(jié))作為函數(shù)學(xué)習(xí)的開頭，是因?yàn)閷W(xué)生在七年級(jí)下冊(cè)第四章已經(jīng)學(xué)習(xí)了“變量之間的關(guān)系”，對(duì)于變量間互相依存的關(guān)系有了一定的認(rèn)識(shí)，但是對(duì)于變量間的變化規(guī)律尚不明確。如何在思維方面提高學(xué)生對(duì)于函數(shù)概念的理解并用這些抽象的概念去理解現(xiàn)實(shí)中的實(shí)例呢？這也是本節(jié)課的重點(diǎn)。

教材中因?yàn)樵谄吣昙?jí)下冊(cè)“變量之間的關(guān)系”一章中，學(xué)生接觸了大量的生活實(shí)例，體會(huì)了變量之間的相互依賴關(guān)系的普遍性，感受了學(xué)習(xí)變量關(guān)系的必要性，也初步具備了一定的識(shí)圖能力和主動(dòng)參與、合作的意識(shí)和初步的觀察、分析、抽象概括的能力。在教材編寫中，開篇以生活實(shí)例：

(1)提問學(xué)生在游樂場(chǎng)是否坐過摩天輪？并且給出摩天輪離地高度與旋轉(zhuǎn)時(shí)間的圖像，填寫表格來觀察變量之間的變化規(guī)律。

(2)生活中罐頭盒等圓柱形的物體擺放形式，隨著層數(shù)的增加，物體的總數(shù)是如何變化的？填寫表格來觀察變量之間的變化規(guī)律。

(3)通過熱力學(xué)的溫度與攝氏度之間的關(guān)系，填寫表格觀察變量間的變化規(guī)律。

教科書中設(shè)計(jì)了游樂園中的摩天輪、圓柱形物體的堆放方式和熱力學(xué)溫度與攝氏溫度之間的關(guān)系等幾個(gè)現(xiàn)實(shí)生活中的函數(shù)原型，也就是教學(xué)中關(guān)注了原型的多樣性。在教學(xué)之前設(shè)立的知識(shí)技能目標(biāo)中就強(qiáng)調(diào)了知識(shí)要注重發(fā)展學(xué)生的抽象思維。同時(shí)對(duì)于函數(shù)這一知識(shí)而言，讓學(xué)生除了感受原型的多樣性，也要感受函數(shù)表達(dá)方式的多樣性，否則學(xué)生就會(huì)在單一的函數(shù)表示方式下，很容易將單一的表達(dá)方式作為函數(shù)的本質(zhì)屬性，形成對(duì)函數(shù)的片面理解，所以在教科書中的素材實(shí)例分別以圖像、表格、表達(dá)式三種形式呈現(xiàn)了幾個(gè)與生活相關(guān)的情境，這樣使得實(shí)例描繪出來的函數(shù)原型更利于學(xué)生的理解，且將理解函數(shù)概念的這一難點(diǎn)分解。教師用不同形式來表示使例子更加形象，這樣會(huì)減小學(xué)生的思維難度，在此基礎(chǔ)上來抽象出函數(shù)的概念，可以有效地培養(yǎng)一部分理解能力較差學(xué)生的抽象思維能力。

通過這樣的實(shí)際例子對(duì)學(xué)生的思維進(jìn)行培養(yǎng)，可以降低本節(jié)課的教學(xué)難度。教師教學(xué)方式中存在一個(gè)誤區(qū)，大多數(shù)教師有共同的特征就是根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)形成某些結(jié)論，這就是常見的習(xí)慣性思維。在函數(shù)概念知識(shí)的講解中，有些教師會(huì)直接將概念灌輸給學(xué)生，這種知識(shí)的灌輸性教學(xué)方法是不能夠復(fù)制的，它應(yīng)付不了意想不到的新情況。

追求發(fā)展學(xué)生的抽象思維，但是不能全然否定與排斥接受式學(xué)習(xí)。教育心理學(xué)研究表明，接受學(xué)習(xí)并不一定是被動(dòng)的，如舉一反三、融會(huì)貫通、觸類旁通就是能動(dòng)地接受學(xué)習(xí)的寫照。學(xué)習(xí)方式的被動(dòng)或主動(dòng)，關(guān)鍵不在于它是接受的或是發(fā)現(xiàn)的，而在于教學(xué)活動(dòng)中學(xué)生主體的數(shù)學(xué)思維參與程度。用生活實(shí)際的例子，讓學(xué)生調(diào)動(dòng)自己的思維對(duì)概念進(jìn)行的抽象化過程，可以降低整個(gè)抽象思維形成過程的難度。不是給出三個(gè)實(shí)際例子就可以給出函數(shù)概念的定義，而是讓學(xué)生經(jīng)歷了自己對(duì)問題的理解以及感受了函數(shù)定義形成的過程，思維里形成了變量之間的變化規(guī)律，才從本質(zhì)上理解了函數(shù)的定義。

學(xué)生的思維是看不見摸不著的東西，盡管用一些實(shí)際例子可以讓學(xué)生腦海里構(gòu)建起一定的知識(shí)模型，但是如何在學(xué)生腦海里構(gòu)建一定的支架使學(xué)生更好地分析這些實(shí)例是有一定難度的，所以要循序漸進(jìn)地發(fā)展學(xué)生的抽象思維。

三、函數(shù)教學(xué)過程中的抽象思維能力培養(yǎng)

在函數(shù)教學(xué)過程中，要注重課前教案的設(shè)置復(fù)習(xí)引入環(huán)節(jié)，學(xué)生自主合作分析過程和總結(jié)定義過程。

首先，學(xué)生在七年級(jí)已經(jīng)了解了變量間的依存關(guān)系，但是重點(diǎn)要掌握變量間的變化規(guī)律。在生活中創(chuàng)設(shè)情境復(fù)習(xí)變量的概念：我們生活在一個(gè)充滿變化的世界里，以成長(zhǎng)為例，隨著時(shí)間的推移，我們的年齡增長(zhǎng)了，身高、體重增加了，知識(shí)增多了。學(xué)生在八年級(jí)時(shí)，從字面理解變量的含義，也就是不斷變化的量，但是函數(shù)概念卻是很抽象的名詞，教師需要講解。

在創(chuàng)設(shè)情境的基礎(chǔ)之上，可以給出問題:圓的面積S與半徑r的關(guān)系是S=πr2和正方形的周長(zhǎng)C與邊長(zhǎng)a的關(guān)系是C=4a，讓學(xué)生判斷出什么是變量，什么是常量，并且指出自變量與因變量，加強(qiáng)學(xué)生新舊知識(shí)的聯(lián)系。教師通過幾何畫板，動(dòng)態(tài)展示當(dāng)半徑和邊長(zhǎng)發(fā)生改變時(shí)，觀察面積和周長(zhǎng)的變化，讓學(xué)生從直觀角度去感受這些變化，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生知道這些概念的實(shí)際意義。同時(shí)也復(fù)習(xí)了變化的量之間的依存關(guān)系。

以此為基礎(chǔ)，可以給出教科書中游樂園的摩天輪、圓柱形物體的堆放方式和熱力學(xué)溫度與攝氏溫度之間的關(guān)系等生活實(shí)例，觀察圖像和填寫表格，用不同的表征方式讓學(xué)生從數(shù)據(jù)上看到變化的量即變量之間的聯(lián)系，也就是從對(duì)生活實(shí)例的感性認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)化到用數(shù)據(jù)去描繪的理性認(rèn)識(shí)，這也是學(xué)生在思維上的轉(zhuǎn)變，從不同角度去思考，教會(huì)學(xué)生怎樣思維。同時(shí)對(duì)這三個(gè)生活實(shí)例也要多次地對(duì)學(xué)生進(jìn)行循環(huán)提問，第二個(gè)環(huán)節(jié)由學(xué)生小組自主探索，讓學(xué)生在不斷地提問中理解與函數(shù)概念有關(guān)的定義，并且教師更容易突破本節(jié)課的難點(diǎn)。讓學(xué)生通過這三個(gè)例子掌握這些變量之間的關(guān)系以及變化的規(guī)律，歸納出實(shí)例的共同特征：(1)在一個(gè)“變化”過程中；(2)存在兩個(gè)變量；(3)給定其中一個(gè)變量(自變量)的值，相應(yīng)地確定了另一個(gè)變量(因變量)的值，對(duì)于x的每一個(gè)值，變量都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)。由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想使學(xué)生在自主學(xué)習(xí)中很好地發(fā)展抽象思維。

四、初中生抽象思維能力培養(yǎng)過程的反思

數(shù)學(xué)抽象思維的本質(zhì)就是將具體的事物找到它們的共同之處，并且從表面特征來挖掘到具體事物的本質(zhì)特征，由特殊到一般的思維處理過程。數(shù)學(xué)抽象思維方法就是對(duì)事物進(jìn)行抽象簡(jiǎn)化的思維方法。教給學(xué)生知識(shí)，就要教給學(xué)生學(xué)會(huì)思考的方法。所以，要將接受式學(xué)習(xí)與自主式學(xué)習(xí)相結(jié)合，讓學(xué)生在更好地學(xué)習(xí)知識(shí)的同時(shí)，掌握好的思考方法，抽象思維能力才會(huì)得以發(fā)展。

[1]曹才翰，章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,1999.

[2]林崇德.學(xué)習(xí)與發(fā)展[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2000:190.

[3]張本陸.談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力——以“變量與函數(shù)”的教學(xué)為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2014(1):9—10.

〔責(zé)任編輯：錢曉玲〕

10.3969/j.issn.1008-6714.2017.01.040

2016-10-26

戴旭(1992—)，女，遼寧朝陽人，從事學(xué)科教學(xué)(數(shù)學(xué))研究。

G633.6

1008-6714(2017)01-0085-02