電池放電問題數(shù)學(xué)模型的建立與求解

張儒奎

(隴南師范高等?？茖W(xué)校， 甘肅成縣 742500)

電池放電問題數(shù)學(xué)模型的建立與求解

張儒奎

(隴南師范高等?？茖W(xué)校， 甘肅成縣 742500)

本文利用最小二乘法并結(jié)合電磁學(xué)知識(shí)，對(duì)鉛酸電池放電問題建立了數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行了求解．

電池放電；最小二乘法；回歸分析

0 引言

鉛酸電池作為電源在工業(yè)、 軍事及日常生活中有著廣泛的應(yīng)用. 電池充電完成后， 在以恒定電流放電過程中， 使負(fù)荷繼續(xù)工作時(shí)間的計(jì)算是一個(gè)必須考慮的復(fù)雜但實(shí)際的問題. 鉛酸電池在放電過程中， 電壓隨放電時(shí)間單調(diào)下降. 本文根據(jù)采樣數(shù)據(jù)[1]， 利用最小二乘法并結(jié)合電磁學(xué)知識(shí)， 建立數(shù)學(xué)模型， 對(duì)電池放電時(shí)間進(jìn)行了詳細(xì)的研究.

1 模型要解決的問題

本文建立的模型要解決與電池放電相關(guān)的三個(gè)問題. 問題1： 依據(jù)模型得出不同電流下， 電池的放電曲線， 求出平均相對(duì)誤差(MRE)， 并根據(jù)所建立的模型， 計(jì)算以電流為30A、 40A、 50A、 60A和70A放電， 當(dāng)電壓達(dá)到9.8V時(shí)， 各自的剩余放電時(shí)間； 問題2： 計(jì)算電流在20～100A之間任意數(shù)值時(shí)的放電曲線， 然后用MRE評(píng)估模型精度， 并求得電流為55A時(shí)放電曲線及U-t數(shù)據(jù)； 問題3： 依據(jù)采樣數(shù)據(jù)， 預(yù)測電池在第3種衰減狀態(tài)時(shí)的剩余放電時(shí)間.

2 模型建立與問題求解

2.1 模型建立與問題求解

電池放電時(shí)， 電壓隨放電時(shí)間單調(diào)下降， 也就是說， 放電曲線是線性問題. 在分析線性問題時(shí)， 通常采用最小二乘法對(duì)變量進(jìn)行擬合， 從而得到變量的線性表達(dá)式.

2.1.1 最小二乘法原理

(1)

(2)

b稱為回歸系數(shù).

變量U，t之間的線性關(guān)系密切度用相關(guān)系數(shù)rtU來反應(yīng)， 定義：

(3)

2.1.2 問題1的求解

(1) 模型建立與求解.

對(duì)采樣數(shù)據(jù)分析， 可得到I=30A、 I=40A、I=50A、 I=60A、 I=70A時(shí)U-t圖像， 如圖1所示.

令

U=a+bt

(4)

(2)曲線擬合及放電時(shí)間求解

利用求解參數(shù)a,b及采樣時(shí)間t， 對(duì)電池電壓模擬數(shù)據(jù)和采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行比對(duì)， 如圖2所示.

注： 表1中字母E-004指10-4， 為方便比對(duì)， 未作修改， 下同.

由圖2可知， 擬合曲線和采樣曲線重合度較高， 也就是說， 該模型能較好地反應(yīng)電池在I=20A、 I=30A、 I=40A、 I=50A、 I=60A、 I=70A、 I=80A、 I=90A、 I=100A放電時(shí)的實(shí)際U-t關(guān)系. 需要說明的是， 圖2只給出了I=30A及I=60A兩種情況的擬合曲線， 其他情況由該模型均能夠得出， 并且曲線相似， 均能夠較好的重合.

當(dāng)電壓U=9.8V時(shí)， 由模型及采樣數(shù)據(jù)得出的剩余放電時(shí)間如表2所示.

由表2可知， 由該模型得出的當(dāng)電壓U=9.8V時(shí)， 電池能夠繼續(xù)放電的擬合時(shí)間與采樣數(shù)據(jù)得出的實(shí)際數(shù)值能夠較好的匹配， 具有較好的可信度.

2.1.3 問題2的模型建立與求解

(1)模型建立

將該鉛酸電池視為電容， 由于電池為同一批次生產(chǎn)， 電池所能夠容納的電荷量Q不變. 由電磁學(xué)知識(shí)

(5)

(6)

已知， 該電池Um=9V， 從采樣數(shù)據(jù)分析， 并求均值可得出新電池電壓U0=11.1292V， 則ΔU=U0-Um=2.1292V， 即電池在某一電流放電時(shí)， 電壓差值為2.1292V.

此外， 從采樣數(shù)據(jù)中， 能夠讀出在恒定電流下， 放電過程持續(xù)時(shí)間(即放電周期T).由式(5)可求得電池電壓下降ΔU時(shí)， 電池所釋放的電荷量ΔQ

ΔQ=IT

(7)

對(duì)不同電流放電情況， 多次求平均可得到ΔQ=1063.407F.

由式(6)得

(8)

由(5)-(8)式， 可得任意恒定電流放電時(shí)， 電壓U隨時(shí)間t的變化關(guān)系為

(9)

(2)模型精度分析與求解

利用(9)式對(duì)I=50A、 I=60A時(shí)電池放電時(shí)間進(jìn)行求解， 并與采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行比對(duì)， 對(duì)比曲線如圖3所示.

對(duì)采樣數(shù)據(jù)與模型結(jié)果進(jìn)行MRE計(jì)算， 結(jié)果如表3所示.

由表3可知， 當(dāng)電流I在60A附近時(shí)， MRE值較小， 模型放電剩余時(shí)間能較好地反應(yīng)實(shí)際電池的放電時(shí)間.

I=55A時(shí)，U-t擬合曲線如圖4所示.

2.1.4 問題3的求解

利用軟件對(duì)衰減狀態(tài)3已采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行分析， 如圖5所示.

U=10.4799-1.1233×10-3t

(10)

利用式(10)對(duì)該狀態(tài)下U-t關(guān)系進(jìn)行模擬， 可得到U-t擬合數(shù)據(jù)及變化關(guān)系如圖6所示.

從圖中可明顯看出， 模型解與采樣數(shù)據(jù)重合度相當(dāng)高， 可以用該模型來求解該狀態(tài)下的剩余放電時(shí)間. 另外， 從采樣數(shù)據(jù)中， 可讀出當(dāng)電壓達(dá)到Um=9V時(shí)， 放電時(shí)間為1317min.

3 模型評(píng)價(jià)

基于最小二乘法原理， 對(duì)電池放電剩余時(shí)間建立模型并求解. 從求解結(jié)果中可看出， 問題1、 3的模型能非常好地反應(yīng)電池實(shí)際放電時(shí)U-t關(guān)系， 并且放電周期T與采樣數(shù)據(jù)匹配度極高， 有一定的可信度. 問題2的模型建立基于電磁學(xué)的理論知識(shí)推導(dǎo)， 模型可信度高， 但由于C及ΔQ未知， 在采樣數(shù)據(jù)組有限的情況下， 近似求得C、ΔQ值并進(jìn)行了求解， 本身存在誤差， 因此匹配度較差， 但由于C、ΔQ值和I=60A時(shí)單次采樣數(shù)據(jù)接近， 因此I=55A時(shí)求得的結(jié)果仍然具有可信度. 若已知C、ΔQ或有更多組采樣數(shù)據(jù)的情況下， 該模型能更好地與采樣數(shù)據(jù)匹配.

[1] 趙培正，趙林治，王建革，李中東，郭建峰. 組合Cd/Ni電池的記憶效應(yīng)[J].洛陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2006(5).

[2] 數(shù)學(xué)手冊編寫組.數(shù)學(xué)手冊[M].北京.高等教育出版社，2011, 7.

[3] 楊述武，趙立竹, 等,普通物理實(shí)驗(yàn)[M].北京.高等教育出版社，2007, 12.

[4] 阮曉青，周義倉.數(shù)學(xué)建模引論[M].北京:高等教育出版社，2005, 7.

[5] 馮杰.數(shù)學(xué)建模原理與案例[M].北京.科學(xué)出版社，2007, 5.

[責(zé)任編輯 胡廷鋒]

The Mathametic Modelling of Battery Discharge Problem and Solution

ZHANG Ru-kui

(Longnan Teachers College, Cheng County 742500, China)

On the basis of least square method and electromagnetics, this paper establishes the mathametic model of lead-acid battery discharge problem and provides a solution.

battery discharge; least squre method; regression analysis

2016-11-23

張儒奎(1986—)， 男， 甘肅成縣人， 碩士， 講師.

O29

A

1009-4970(2017)02-0045-04