基于擴(kuò)展目標(biāo)先驗(yàn)的貝葉斯壓縮感知成像

王天云， 劉冰， 叢波， 凌曉冬

(中國衛(wèi)星海上測控部， 江蘇江陰 214431)

0 引言

近年來，高分辨率成像雷達(dá)因其在民用領(lǐng)域和軍用領(lǐng)域的巨大應(yīng)用潛力，成為雷達(dá)領(lǐng)域的重要發(fā)展方向之一。其中值得一提的是，基于壓縮感知(Compressed Sensing, CS)理論的高分辨率成像技術(shù)因?yàn)樵趦H需較少的觀測樣本就能獲得非常高的成像效果，受到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。當(dāng)前已有研究文獻(xiàn)利用目標(biāo)自身的稀疏先驗(yàn)信息，對(duì)CS成像方法(如貪婪算法、統(tǒng)計(jì)優(yōu)化算法等)進(jìn)行了廣泛而深入的研究[1-2]。

然而，上述成像方法在處理過程中通?；谌缦虑疤帷茨繕?biāo)自身的稀疏性非常好?？紤]到實(shí)際情形中，尤其是大型剛體目標(biāo)(如飛機(jī)、艦船等)，其距離維及方位維通常存在擴(kuò)展特性造成成像場景的散射點(diǎn)較多且呈區(qū)域性分布[3-5]，此時(shí)目標(biāo)空間域的稀疏性相對(duì)較差，因此直接應(yīng)用傳統(tǒng)CS成像方法，會(huì)導(dǎo)致傳統(tǒng)稀疏重構(gòu)方法的成像性能受限，尤其是在信噪比較低或者CS測量數(shù)目較少情形時(shí)，目標(biāo)的形狀或輪廓信息不能得到較好的反演[6-7]。這是因?yàn)樗鼈冊(cè)谀繕?biāo)稀疏重構(gòu)的過程中沒有考慮擴(kuò)展目標(biāo)圖像的結(jié)構(gòu)信息。

對(duì)擴(kuò)展目標(biāo)而言，成像區(qū)域除了散射點(diǎn)滿足稀疏性之外，還存在一些額外的先驗(yàn)信息，比如目標(biāo)連續(xù)區(qū)域邊界也滿足稀疏性等。這些因素在以往的CS成像方法[6-7]中均被忽略。因此如何有效地利用目標(biāo)圖像的結(jié)構(gòu)信息來進(jìn)一步提高成像質(zhì)量，并拓展已有的稀疏成像方法，是本文研究的重點(diǎn)。

基于此背景，本文在傳統(tǒng)目標(biāo)稀疏先驗(yàn)基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮利用擴(kuò)展目標(biāo)圖像的結(jié)構(gòu)信息，在貝葉斯框架下利用目標(biāo)場景連續(xù)性分布的先驗(yàn)特性，提出基于擴(kuò)展目標(biāo)先驗(yàn)分布的貝葉斯壓縮感知成像技術(shù)。具體做法如下：首先，對(duì)每個(gè)網(wǎng)格上目標(biāo)散射點(diǎn)賦予伯努利-高斯(Bernoulli-Gaussian)先驗(yàn)概率[8]以促進(jìn)目標(biāo)稀疏性；然后，根據(jù)散射點(diǎn)服從的不同的連續(xù)模式(即用來刻畫擴(kuò)展目標(biāo)圖像的連續(xù)特性)推導(dǎo)各參數(shù)服從的后驗(yàn)概率估計(jì)；最后，再利用變分貝葉斯(Variational Bayesian, VB)[9]方法交替迭代求解，直至收斂，即能重構(gòu)目標(biāo)圖像。仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提方法的有效性，并展示在相同雷達(dá)系統(tǒng)配置模式下相比傳統(tǒng)稀疏重構(gòu)方法的優(yōu)勢(shì)。

1 信號(hào)模型

1.1 雷達(dá)成像模型簡介

眾所周知，在波恩弱散射近似條件下，雷達(dá)成像問題可以利用下述線性方程進(jìn)行統(tǒng)一表征[10]：

y=Aσ+n

(1)

傳統(tǒng)稀疏重構(gòu)方法一般是將式(1)轉(zhuǎn)化為如下優(yōu)化問題的求解：

(2)

式中，φ(σ)可以為l1范數(shù)(如BP方法)[11]、lp范數(shù)(如FOCUSS方法)[12]約束等。

根據(jù)前面分析，對(duì)大型剛體目標(biāo)進(jìn)行成像時(shí)，其距離維及方位維通常存在一定的擴(kuò)展特性，此時(shí)成像場景中的散射點(diǎn)較多且呈區(qū)域性分布，因此目標(biāo)空間域的稀疏性將大大減弱，采用式(2)對(duì)應(yīng)的傳統(tǒng)CS成像方法所能獲得的目標(biāo)稀疏重構(gòu)結(jié)果常常并不理想[7-8]，這是因?yàn)樗鼈冊(cè)谙∈柚貥?gòu)過程中沒有考慮擴(kuò)展目標(biāo)圖像的結(jié)構(gòu)信息。

1.2 基于擴(kuò)展目標(biāo)先驗(yàn)的貝葉斯壓縮感知成像

借鑒文獻(xiàn)[13]的思想，本文首先構(gòu)建了如圖2所示的擴(kuò)展目標(biāo)稀疏貝葉斯先驗(yàn)?zāi)Ｐ停唧w描述如下。

圖2 擴(kuò)展目標(biāo)稀疏貝葉斯先驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

1.2.1 目標(biāo)稀疏先驗(yàn)?zāi)Ｐ?/h3>

p(σi|ωi,αi)=(1-ωi)δ(|σi|)+

(3)

式中，1≤i≤UV，ωi為伯努利分布的參數(shù)，服從貝塔分布(因?yàn)樨愃植寂c伯努利分布成共軛先驗(yàn))，即ωi～Beta(a,b)，a,b是貝塔分布的參數(shù)，表達(dá)式為

(4)

(5)

再假定各散射點(diǎn)的散射系數(shù)σi滿足獨(dú)立同分布，則目標(biāo)散射系數(shù)矢量σ的概率分布為

(6)

1.2.2 噪聲模型

(7)

進(jìn)一步，假定噪聲功率倒數(shù)αn服從參數(shù)為gn,hn的伽馬(Gamma)分布：

(8)

1.2.3 改進(jìn)的貝葉斯壓縮感知成像算法

由圖2所示的擴(kuò)展目標(biāo)貝葉斯稀疏模型，利用基于最大后驗(yàn)(Maximum A Posteriori, MAP)準(zhǔn)則[14]得到回波矢量y的后驗(yàn)概率分布：

p(σ,ω,α,αn|y)∝p(y|σ,αn)·

p(σ|ω,α)p(ω)p(α)p(αn)∝

(9)

根據(jù)之前賦予相關(guān)參數(shù)的先驗(yàn)概率分布，通過式(9)可以直接計(jì)算出各隨機(jī)變量服從的后驗(yàn)概率密度函數(shù)。

步驟1：σi的后驗(yàn)概率為

p(σi|σ/σi,y,ω,α,αn)∝

式中，

(11)

步驟2： 在求解αi的后驗(yàn)概率時(shí)，文獻(xiàn)[13]考慮了3種可能的目標(biāo)連續(xù)性模式，如圖3所示的model 1～model 3。本文將其推廣至6種可能的連續(xù)性模式，如圖3所示的model 1～model 6，其中圖中陰影方塊表示該處的散射系數(shù)值不為0，白色方塊表示該處的散射系數(shù)值為0。

圖3 表征擴(kuò)展目標(biāo)散射點(diǎn)分布的6種連續(xù)模式

1) 若第i個(gè)散射點(diǎn)(即第(u,v)個(gè)網(wǎng)格)符合第3種連續(xù)模式，那么αi的后驗(yàn)概率為

(12)

(13)

經(jīng)推導(dǎo)，αi的均值為

(14)

2) 若第i個(gè)散射點(diǎn)滿足第1或第2種連續(xù)模式，那么αi的后驗(yàn)概率為

(15)

(16)

經(jīng)推導(dǎo)，αi均值為

(17)

3) 若第i個(gè)散射點(diǎn)不滿足第1,2,3種連續(xù)模式但滿足第6種連續(xù)模式，那么αi的后驗(yàn)概率為

(18)

(19)

經(jīng)推導(dǎo)，αi均值為

(20)

4) 若第i個(gè)散射點(diǎn)不滿足第1,2,3種連續(xù)模式但滿足第4或第5種連續(xù)模式，那么αi的后驗(yàn)概率為

(21)

(22)

經(jīng)推導(dǎo)，αi均值為

(23)

5) 若第i個(gè)散射點(diǎn)不滿足任意一種連續(xù)模式，類似地，得到αi的后驗(yàn)概率為

(24)

經(jīng)推導(dǎo)，αi均值為

(25)

步驟3： 在求解ωi的后驗(yàn)概率時(shí)，與文獻(xiàn)[13]的做法類似，本文考慮了如下3種可能的稀疏模式：

1) 稀疏模式1：第i個(gè)散射點(diǎn)周圍的點(diǎn)散射系數(shù)都為0，設(shè)置ωi先驗(yàn)概率中的參數(shù)a,b滿足a0

2) 稀疏模式2：第i個(gè)散射點(diǎn)周圍的點(diǎn)滿足任意一種連續(xù)模式，設(shè)置ωi先驗(yàn)概率中的參數(shù)a,b滿足a1>b1，此時(shí)ωi趨于1，即σi趨于非0。

3) 稀疏模式3：第i個(gè)散射點(diǎn)周圍的點(diǎn)不符合以上兩種情況，設(shè)置ωi先驗(yàn)概率中的參數(shù)a,b滿足a2=b2；此時(shí)ωi趨于1/2，即σi取0或者非0的概率相等。

相應(yīng)地，ωi的后驗(yàn)概率為

(26)

可以看出，ωi的后驗(yàn)概率是貝塔(Beta)分布的形式：

(27)

根據(jù)式(27)，得出ωi的均值為

(28)

步驟4： 最后求解噪聲功率倒數(shù)αn的后驗(yàn)概率，經(jīng)推導(dǎo)αn也服從伽馬(Gamma)分布：

p(αn|σ,gn,hn)=Γ(αn|gn+M,hn+

(29)

根據(jù)式(29)，得出αn的均值為

(30)

依據(jù)以上各隨機(jī)變量的后驗(yàn)概率分布和相應(yīng)的均值，本文采用VB方法求解式(9)對(duì)應(yīng)的貝葉斯推斷問題，通過交替迭代求解各隨機(jī)變量的均值，直至收斂，即能準(zhǔn)確重構(gòu)目標(biāo)圖像。與文獻(xiàn)[13]采用Gibbs求解方式相比，本文基于VB方法具有更高的參數(shù)提取精度，這可以通過后續(xù)的仿真結(jié)果對(duì)比看出。

綜上所述，基于擴(kuò)展目標(biāo)先驗(yàn)分布的貝葉斯壓縮感知成像算法流程如下：

輸入：y,A,lmax；

初始化：

①g=h=gn=hn=10-6；

② (a0,b0)=(1/M,1-1/M), (a1,b1)=(1/M,1/M), (a2,b2)=(1-1/M,1/M)；

③ 目標(biāo)散射系數(shù)σ的初始估計(jì)：〈σ〉(0)=AHy；

④α的初始估計(jì)：〈α〉(0)=1/AHy；

⑤ω的初始估計(jì)：〈ω〉(0)=1；

⑥αn的初始估計(jì)：〈αn〉(0)=1/var(y)×10-2；

⑦ 迭代次數(shù)：l=0；

循環(huán)：

① 下標(biāo)賦初值i=1；

③ 判斷σi周圍的點(diǎn)滿足何種連續(xù)模式，分別根據(jù)式(14)、式(17)、式(20)、式(23)、式(25)估計(jì)〈αi〉(l+1)；

④ 判斷σi周圍的點(diǎn)滿足何種稀疏模式，根據(jù)式(28)估計(jì)〈ωi〉(l+1)；

⑤ 如果i

⑥ 根據(jù)式(30)估計(jì)〈αn〉(l+1)；

⑦ 如果‖〈σ〉(l+1)-〈σ〉(l)‖ / ‖〈σ〉(l)‖≤10-6或l+1≥lmax程序終止，輸出結(jié)果；反之，令l=l+1，程序跳轉(zhuǎn)至循環(huán)第①步。

3 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

下面通過仿真驗(yàn)證所提成像方法的有效性。

實(shí)驗(yàn)1： 分布式無源雷達(dá)成像。系統(tǒng)仿真參數(shù)與文獻(xiàn)[15]保持一致。另外，設(shè)置回波通道的頻率采樣點(diǎn)數(shù)為10，接收回波SNR=10 dB。圖4給出了3個(gè)目標(biāo)示例的原始成像模型。針對(duì)此類型的擴(kuò)展目標(biāo)，圖5 (a)～圖5 (d)是分別采用MF、SBL、文獻(xiàn)[13]和ET-BCS方法的成像結(jié)果。可以看出MF方法的成像結(jié)果最差，這是由于空間譜的填充是稀疏且非均勻造成的。另外，傳統(tǒng)CS稀疏重構(gòu)方法(SBL)的成像效果也較差，并且存在較多“虛像”，這是由于目標(biāo)稀疏性較弱所導(dǎo)致。文獻(xiàn)[13]和ET-BCS方法由于利用了擴(kuò)展目標(biāo)的結(jié)構(gòu)信息，因而均能獲得較好的成像結(jié)果，如圖5 (c)、圖5 (d)所示。然而，通過對(duì)比箭頭所指區(qū)域，能夠看出本文方法在重構(gòu)擴(kuò)展目標(biāo)空間位置信息時(shí)具有更高的準(zhǔn)確性，這是因?yàn)镋T-BCS是文獻(xiàn)[13]方法的推廣，具有更強(qiáng)的適用性。

圖4擴(kuò)展目標(biāo)成像模型

(a)MF

(b)SBL

(c)文獻(xiàn)[13]方法

(d)ET-BCS圖5ET-BCS與其他方法的無源成像結(jié)果對(duì)比

實(shí)驗(yàn)2： ISAR成像。仿真使用的目標(biāo)模型如圖6 (a)所示，是由3DMAX軟件建模得到。其中艦船長度為28 m，寬度約為3.2 m，成像目標(biāo)與雷達(dá)系統(tǒng)的幾何空間構(gòu)型如圖6 (b)所示，機(jī)載雷達(dá)沿X負(fù)半軸方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為300 m/s，雷達(dá)成像時(shí)間為2.3 s，t=0時(shí)，雷達(dá)的初始坐標(biāo)為(5 268.5 m, 1 284.5 m, 4 266.5 m)。另外，雷達(dá)發(fā)射信號(hào)的載頻為5 GHz，帶寬為1 GHz，脈沖持續(xù)時(shí)間為100 μs，脈沖總數(shù)為256，脈內(nèi)采樣點(diǎn)數(shù)為128，其他參數(shù)見文獻(xiàn)[16]。接著將雷達(dá)系統(tǒng)參數(shù)、成像空間構(gòu)型和目標(biāo)參數(shù)模型代入GRECO圖形電磁仿真軟件，即能得到相應(yīng)的模擬回波數(shù)據(jù)。本文在進(jìn)行ISAR成像之前事先進(jìn)行了平動(dòng)補(bǔ)償處理，這里選取前32個(gè)脈沖和前32個(gè)脈內(nèi)采樣點(diǎn)作為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，并額外加入高斯噪聲使得最終的接收回波滿足SNR=5 dB。

(a)3DMAX艦船建模

(b)成像構(gòu)型圖63DMAX艦船模型及與成像系統(tǒng)空間構(gòu)型

圖7(a)～(h)依次是RD,FOCUSS,SBL,YALL1,SL0,TVAL3,文獻(xiàn)[13]和ET-BCS方法的成像結(jié)果，其中圖中的線框表示艦船的基本輪廓?？梢钥闯鯮D方法的分辨率最低，這是由于回波數(shù)據(jù)的欠采樣特性引起；另外，F(xiàn)OCUSS，SBL，YALL1，SL0等傳統(tǒng)CS方法的成像結(jié)果中存在較多虛像，這是由于艦船目標(biāo)的稀疏性較差所導(dǎo)致。TVAL3方法雖然基于TV正則化技術(shù)，可以較好地保護(hù)圖像的邊緣特性，但該方法沒有進(jìn)一步利用目標(biāo)稀疏先驗(yàn)信息，因此成像結(jié)果也不理想。圖7(g)、圖7(h)展示了文獻(xiàn)[13]和ET-BCS方法的成像結(jié)果對(duì)比。由于這兩種方法均額外利用了擴(kuò)展目標(biāo)的結(jié)構(gòu)信息，故成像質(zhì)量相比其他方法要好很多，并且?guī)缀醪淮嬖谌魏翁撓?。但是相比而言，ET-BCS在艦船目標(biāo)的輪廓、邊緣等信息提取上具有更多的優(yōu)勢(shì)，可以提取到一些額外的強(qiáng)散射點(diǎn)，見圖7(g)～(h)中箭頭的指示區(qū)域。這是因?yàn)镋T-BCS是文獻(xiàn)[13]方法的推廣，它考慮了更多的目標(biāo)連續(xù)模式，并且利用VB求解方法要比Gibbs抽樣方法取得更高的參數(shù)提取精度。

(a)RD (b)FOCUSS (c)SBL (d)YALL1 (e)SL0 (f)TVAL3 (g)文獻(xiàn)[13]方法 (h)ET-BCS圖7ET-BCS與其他方法的ISAR成像結(jié)果對(duì)比

4 結(jié)束語

大型剛體目標(biāo)的距離維及方位維通常存在擴(kuò)展特性，造成成像場景的散射點(diǎn)較多且呈區(qū)域性分布，此時(shí)目標(biāo)空間域的稀疏性相對(duì)較差，因此會(huì)導(dǎo)致傳統(tǒng)稀疏重構(gòu)方法的成像性能受限。據(jù)此，本文在傳統(tǒng)目標(biāo)稀疏先驗(yàn)基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮利用擴(kuò)展目標(biāo)圖像的結(jié)構(gòu)信息，在貝葉斯框架下基于目標(biāo)圖像的連續(xù)性分布特征，提出了基于擴(kuò)展目標(biāo)先驗(yàn)分布的貝葉斯壓縮感知成像技術(shù)。仿真驗(yàn)證了所提方法的有效性，并展示在相同系統(tǒng)配置模式下相比傳統(tǒng)稀疏重構(gòu)方法的優(yōu)勢(shì)。

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