理錯(cuò)教學(xué)：為數(shù)學(xué)理解而教

◎楊萬(wàn)東

理錯(cuò)教學(xué)：為數(shù)學(xué)理解而教

◎楊萬(wàn)東

在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，理解學(xué)生差錯(cuò)不僅僅是一門(mén)藝術(shù)，更是一門(mén)學(xué)問(wèn)。于是，我們進(jìn)行了小學(xué)數(shù)學(xué)“理錯(cuò)教學(xué)”的實(shí)踐研究。近年來(lái)，我和團(tuán)隊(duì)成員們致力于“理錯(cuò)教學(xué)”的實(shí)踐研究，在“理錯(cuò)”課堂中與學(xué)生一起共生共長(zhǎng)。

一、理錯(cuò)教學(xué)的內(nèi)涵詮釋

《說(shuō)文解字》中說(shuō)：“理，治玉也?！币簿褪前延駨氖屑庸こ鰜?lái)。在數(shù)學(xué)課堂上，學(xué)生的差錯(cuò)就是璞玉。理錯(cuò)就是把學(xué)生的錯(cuò)誤資源當(dāng)作一塊“璞玉”，老師及時(shí)進(jìn)行剖析、加工、引導(dǎo)，從而讓學(xué)生的錯(cuò)誤資源成為學(xué)生成長(zhǎng)的媒介。所謂“理錯(cuò)教學(xué)”，是指把學(xué)生在課堂教學(xué)中出現(xiàn)的差錯(cuò)作為一種教學(xué)資源，及時(shí)理睬學(xué)生的差錯(cuò)資源，讓學(xué)生“理會(huì)”差錯(cuò)資源的來(lái)龍去脈，通過(guò)教師的“理答”，引導(dǎo)學(xué)生將差錯(cuò)“理整”，建構(gòu)自己的知識(shí)體系，進(jìn)而讓學(xué)生“理解”差錯(cuò)，實(shí)現(xiàn)少出錯(cuò)乃至不出錯(cuò)的目的。

二、理錯(cuò)教學(xué)的價(jià)值訴求

（一）理解教育的縱向拓展

理解教育為全國(guó)教學(xué)論專業(yè)委員會(huì)副主任、華東師范大學(xué)理解教育研究所所長(zhǎng)、博士生導(dǎo)師熊川武教授所開(kāi)創(chuàng)。他認(rèn)為，教育應(yīng)該“理解學(xué)生，教在心靈；理解老師，勤學(xué)奮進(jìn)；理解自己，塑造人生；理解他人，和諧共存”。隨著理解教育研究的深入，“理解型學(xué)習(xí)”的概念逐漸被廣大研究者和一線教師所認(rèn)可。理解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)差錯(cuò)，成為一個(gè)很有必要且十分重要的研究話題。從這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)，理錯(cuò)教學(xué)是理解型學(xué)習(xí)的具體闡釋，也是理解教育的實(shí)踐表達(dá)。

（二）化錯(cuò)教學(xué)的橫向補(bǔ)充

“化錯(cuò)教學(xué)”是全國(guó)著名特級(jí)教師華應(yīng)龍老師的教學(xué)主張。其核心要義就是教師能夠藝術(shù)地處理隨機(jī)生成的差錯(cuò)，巧妙地彰顯了差錯(cuò)的寶貴價(jià)值，促進(jìn)學(xué)生身心化入到創(chuàng)造性學(xué)習(xí)活動(dòng)中。他把化錯(cuò)教學(xué)分為三個(gè)階段，即“容”“融”“榮”。培養(yǎng)學(xué)生直面錯(cuò)誤、超越錯(cuò)誤的求真人格，從而將教學(xué)活動(dòng)引向心靈深處。理錯(cuò)教學(xué)，就是從兒童立場(chǎng)的另一個(gè)視角出發(fā)，探尋適合學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的存在方式，達(dá)到既提高教學(xué)質(zhì)量又提升育人質(zhì)量的目的。

（三）有效學(xué)習(xí)的有機(jī)整合

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，“錯(cuò)”字當(dāng)頭，能否容納，取決于數(shù)學(xué)教師的見(jiàn)識(shí)和胸懷。理錯(cuò)教學(xué)首先要求教師尊重學(xué)生。不管孩子在課堂上出現(xiàn)什么差錯(cuò)，教師都應(yīng)該尊重他們的想法，給他們自主探究的空間。這就要求教師給學(xué)生創(chuàng)造可以出錯(cuò)的時(shí)空。這既是對(duì)出錯(cuò)過(guò)程的深刻反思，也是對(duì)差錯(cuò)育人的獨(dú)特欣賞。因此，加強(qiáng)小學(xué)數(shù)學(xué)理錯(cuò)教學(xué)的研究，不僅有助于提高學(xué)生有效學(xué)習(xí)的效度，而且有助于提高小學(xué)生的質(zhì)疑品質(zhì)與創(chuàng)新意識(shí)。

三、理錯(cuò)教學(xué)的實(shí)踐樣態(tài)

“理錯(cuò)教學(xué)”包括“理踩”—“理會(huì)”—“理答”—“理整”—“理解”五個(gè)階段。這是理錯(cuò)教學(xué)的教學(xué)過(guò)程，也是理錯(cuò)教學(xué)的操作策略。

（一）第一階段：理睬——遇見(jiàn)“錯(cuò)”

數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)：“天下只有啞巴沒(méi)有說(shuō)過(guò)錯(cuò)話，天下只有白癡沒(méi)有錯(cuò)過(guò)問(wèn)題，天下沒(méi)有數(shù)學(xué)家沒(méi)算錯(cuò)過(guò)題。”在數(shù)學(xué)課堂上，學(xué)生出錯(cuò)是一件正常的事。學(xué)生出錯(cuò)，教師要像發(fā)現(xiàn)新大陸一樣，以積極的態(tài)度及時(shí)理睬差錯(cuò)資源，善于發(fā)現(xiàn)差錯(cuò)資源背后隱藏的獨(dú)特價(jià)值，為后續(xù)教學(xué)過(guò)程做好鋪墊。例如，一年級(jí)學(xué)生在解答這道題：“小朋友們排成一隊(duì)去操場(chǎng)，從前往后數(shù)，小明是第5個(gè)，從后往前數(shù)，小明是第4個(gè)，一共有多少個(gè)小朋友？”常常有學(xué)生列出“5+4=9（個(gè)）”的錯(cuò)誤算式，對(duì)此教師不必生氣。教師要能正確地預(yù)見(jiàn)學(xué)生的錯(cuò)誤結(jié)果，并以寬容的心態(tài)甚至欣賞的眼光去對(duì)待學(xué)生。羅杰斯先生說(shuō)過(guò)：“只有心理安全、心理自由，才能創(chuàng)造?！睂W(xué)生心理安全了，教師才能傾聽(tīng)到孩子內(nèi)心深處最真實(shí)的想法。課堂上有差錯(cuò)，實(shí)質(zhì)性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)才會(huì)真正發(fā)生。理睬，讓課堂上的差錯(cuò)資源這塊“璞玉”，得以發(fā)現(xiàn)，得到關(guān)注。

（二）第二階段：理會(huì)——懂得“錯(cuò)”

心理學(xué)家蓋耶指出：“誰(shuí)不考慮嘗試錯(cuò)誤，不允許學(xué)生犯錯(cuò)誤，就將錯(cuò)過(guò)最富有成效的學(xué)習(xí)時(shí)刻?！闭n堂是允許孩子出錯(cuò)的地方。有益的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，是一個(gè)不斷嘗試錯(cuò)誤的學(xué)習(xí)過(guò)程。“一花一世界，一葉一菩提?！蓖坏李}，不同的學(xué)生，有著不同的思維。教師要引導(dǎo)學(xué)生充分暴露錯(cuò)誤的思維過(guò)程，讓學(xué)生們?cè)诒容^、辨析、思辨中發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤。例如，教學(xué)“平行四邊形的面積計(jì)算”一課，課始教師創(chuàng)設(shè)教學(xué)情景后，組織學(xué)生猜想平行四邊形的面積的計(jì)算公式。不少學(xué)生猜想“平行四邊形面積是兩條相鄰的邊的乘積”，這是因?yàn)殚L(zhǎng)方形和正方形的面積計(jì)算都是用相鄰兩條邊相乘得到的。學(xué)生的這種錯(cuò)誤思維是受到頭腦中思維定勢(shì)（長(zhǎng)方形和正方形的面積計(jì)算公式）影響的。當(dāng)教師弄清楚學(xué)生出現(xiàn)差錯(cuò)背后的原因后，就能有的放矢地引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)差錯(cuò)，從而將教學(xué)活動(dòng)引向深入。理會(huì)，讓學(xué)生充分暴露數(shù)學(xué)思維過(guò)程，使教師明白學(xué)生的困惑，進(jìn)而有效地幫助學(xué)生。

（三）第三階段：理答——糾正“錯(cuò)”

波普爾說(shuō)：“那些不愿冒著被證偽的危險(xiǎn)去發(fā)表自己觀點(diǎn)的人，不能參加科學(xué)游戲?！北┞稊?shù)學(xué)思維過(guò)程，有些學(xué)生能夠主動(dòng)發(fā)現(xiàn)差錯(cuò)的根源，但有些學(xué)生無(wú)法明白。這時(shí)，教師的理答尤為必要。學(xué)生講解思維過(guò)程后，教師要及時(shí)進(jìn)行反應(yīng)和處理。有效的理答直接關(guān)系到學(xué)生對(duì)差錯(cuò)資源的深化。在課堂教學(xué)中，面對(duì)不同類型的學(xué)生，教師進(jìn)行智慧的理答就不僅僅是簡(jiǎn)單的表?yè)P(yáng)和激勵(lì)，還包括思維的幫助，智慧的啟迪，善意的提醒，嚴(yán)格的要求和良好習(xí)慣的培養(yǎng)。例如，教學(xué)“256－199”時(shí)，有的學(xué)生計(jì)算結(jié)果是55，思考過(guò)程是這樣的：256－200－1=56－1=55。學(xué)生在講解的過(guò)程中并沒(méi)有發(fā)現(xiàn)計(jì)算過(guò)程出錯(cuò)。怎么辦？教師可以分兩個(gè)層次來(lái)處理：一是從檢驗(yàn)的角度，讓學(xué)生想辦法來(lái)驗(yàn)算。學(xué)生容易想到：199+55，這時(shí)學(xué)生意識(shí)到，個(gè)位數(shù)字相加后末尾數(shù)字是4不是6，正確結(jié)果應(yīng)該是254不是256，原來(lái)的計(jì)算結(jié)果是錯(cuò)誤的。二是從算理的角度，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系生活實(shí)際來(lái)了解算理，比如創(chuàng)設(shè)到超市購(gòu)物的情景，小明帶了256元，買(mǎi)東西用去199元，付給營(yíng)業(yè)員200元，營(yíng)業(yè)員找回1元，現(xiàn)有257元。這樣的引導(dǎo)，情境合情合理，算理通俗易懂?？夏峄ず抡f(shuō)：“教學(xué)的藝術(shù)在于如何恰當(dāng)?shù)靥岢鰡?wèn)題和巧妙地引導(dǎo)學(xué)生作答?！睌?shù)學(xué)是一門(mén)具有理性美的學(xué)科。數(shù)學(xué)課堂上，教師話不在多，在于精。教師“理”在難點(diǎn)處，“問(wèn)”在關(guān)鍵處，學(xué)生的思維才能直抵差錯(cuò)根源的核心地帶。

（四）第四階段：理整——建構(gòu)“錯(cuò)”

奧斯卡·維爾德說(shuō)：“經(jīng)驗(yàn)是人們給所犯的錯(cuò)誤取的名字?！苯處熞寣W(xué)生明白，不要害怕出錯(cuò)，更要知道出錯(cuò)的意義——出錯(cuò)、糾錯(cuò)，這是通向真理的必經(jīng)之路。在教學(xué)中，我們?yōu)槊课粚W(xué)生準(zhǔn)備了一本《錯(cuò)題集》，讓學(xué)生將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的差錯(cuò)記錄下來(lái)?！跺e(cuò)題集》格式包括“錯(cuò)題來(lái)源”“錯(cuò)誤結(jié)果”“錯(cuò)因分析”“正確過(guò)程”“解題注意點(diǎn)”“類似習(xí)題”。我們鼓勵(lì)學(xué)生改編或創(chuàng)編與原題類似的習(xí)題，幫助學(xué)生建構(gòu)更為穩(wěn)定的知識(shí)結(jié)構(gòu)和方法結(jié)構(gòu)。比如，解答“有兩根同樣長(zhǎng)的繩子，第一根剪去米，第二根剪去，哪一根剪去的長(zhǎng)一些？”時(shí)，有出錯(cuò)的學(xué)生編出這樣的“類似習(xí)題”：“有兩根同樣長(zhǎng)的木料，第一根用去米，第二根用去，哪一根剩下的長(zhǎng)一些？”變情境、變數(shù)據(jù)、變問(wèn)題，但思考問(wèn)題的方法沒(méi)有變。這樣的“類似習(xí)題”有助于檢驗(yàn)學(xué)生有沒(méi)有真正弄懂原題的核心知識(shí)。在教學(xué)中，教師還可以鼓勵(lì)孩子以題組訓(xùn)練的方式整理易錯(cuò)的差錯(cuò)資源，以便于學(xué)生從整體上建構(gòu)知識(shí)。

（五）第五階段：理解——提升“錯(cuò)”

佛家有三重境界：“山是山，水是水；山不是山，水不是水；山還是山，水還是水。”同樣，對(duì)學(xué)生的出錯(cuò)而言，也應(yīng)該有三重境界：“差錯(cuò)是差錯(cuò)，差錯(cuò)不是差錯(cuò)，差錯(cuò)還是差錯(cuò)?！蔽覀冋J(rèn)為，第一重境界對(duì)應(yīng)“一道題”，第二重境界對(duì)應(yīng)“一組題”，而第三重境界對(duì)應(yīng)“一類題”。通常在每個(gè)單元結(jié)束，我們讓學(xué)生根據(jù)出錯(cuò)原因?qū)⒉铄e(cuò)資源進(jìn)行分類整理，比如“知識(shí)缺陷”“方法不當(dāng)”“思維不足”等，這樣可以幫助學(xué)生站在單元知識(shí)系統(tǒng)的角度來(lái)理解知識(shí)。每?jī)?cè)教材結(jié)束，嘗試讓學(xué)生從數(shù)學(xué)思維的角度來(lái)梳理差錯(cuò)資源，并鼓勵(lì)學(xué)生分類匯編，或復(fù)印、或抄寫(xiě)，剪貼成習(xí)題庫(kù)，甚至還可以創(chuàng)編數(shù)學(xué)試卷。“知其然，又知其所以然。”遇到類似習(xí)題時(shí)，學(xué)生就能主動(dòng)領(lǐng)會(huì)知識(shí)要點(diǎn)，自覺(jué)建構(gòu)思維結(jié)構(gòu)，從而真正理解，以達(dá)到不出錯(cuò)的目的。

差錯(cuò)，猶如沙灘上美麗的貝殼。課堂上，不怕出錯(cuò)，允許出錯(cuò)，不是鼓勵(lì)出錯(cuò)，也不會(huì)提倡出錯(cuò)。少出錯(cuò)甚至不出錯(cuò)仍然是我們追求的目的。面對(duì)差錯(cuò)，教師要善于發(fā)現(xiàn)它的美麗價(jià)值，按照“理踩”“理會(huì)”“理答”“理整”“理解”的操作要點(diǎn)，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿生長(zhǎng)的智慧，從而實(shí)現(xiàn)從差錯(cuò)中掌握知識(shí)、習(xí)得方法、提升思維乃至擁有智慧的目的。

（作者單位：江蘇省南通經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)教師發(fā)展中心）

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）